2006-STPI-cours-chap3

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6Universit´e de Nantes Licence STPI L1 Rem : il se peut que f admette un DL (x ) avec n> 2 sansn 0Module Math´ematiques 2 Ann´ee 2005/2006 ˆetre n-fois d´erivable en x . La fonction f d´efinie surR par0 3 1x sin si x = 0x(1/3)Chap III : D´eveloppements Limit´es f(x) =0 si x = 0admet un DL (0) sans ˆetre 2-fois d´erivable en 0.III.1-Les fonctions “ε(x)” 2D´ef 3.1 : Lorsque f est une fonction d´efinie sur un intervallecontenant 0 telle que limf(x) = 0, on ´ecrira f(x) = ε(x) et onx→0dira que f(x) est un “ε(x)”. III.3-Obtention des d´eveloppements limit´esTh´eo 3.8 : “IMPORTANT”Rem : 1) On ´ecrira f(x) = a + ε(x− x ) pour signifier que0Si f est continue sur un intervalle I de R et si f admet unlim f(x) = a.x→x0 DL (x ) de la forme :k n 02) On peut rencontrer la notation f(x) = o(x ) : on dira quek 2 n nf(x) est “un petit o de x ”. f(x +h) = a +a h+a h +···+a h +h ε(h)0 0 1 2 nOn a la correspondance suivante ε(x) = o(1) et plusk k et si F est une primitive de f alors F admet pour DL (x ) :n+1 0g´en´eralement x ε(x) = o(x ).2 3 n+1h h h n+1Prop 3.2 : Soient f et g des fonctions d´efinies sur un intervalle F(x +h) = F(x )+a h+a +a +···+a +h ε(h)0 0 0 1 2 n2 3 n+1ouvert I contenant 0. On a les propri´et´es suivantes1)SOMME:Sif(x)=ε(x)etg(x)=ε(x),alors(f+g)(x)=ε(x).Attention : on n’a pas le droit de d´eriver (sans pr´ecaution) un2) MULTIPLICATION PAR UNE CONSTANTE : Si λ∈R etd´eveloppement limit´e ... mais on a le r´esultat suivantf(x) = ε(x), alors (λf)(x) ...

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Universit´edeNantesLicenceSTPIL1 Rem :il se peut quefadmette unDLn(x0) avecn>2 sans ModuleMath´ematiques2Anne´e2005/2006 ˆetrenf-iodse´iravlbneex0. La fonctionfe´deinrusRpar  3 1 xsin six6= 0 x ChapIII:D´eveloppementsLimite´s(1/3)f(x) = 0 six= 0 III.1-Les fonctions “ε(x)admet unDL2ne.0´dsiof-2elbavire)s(0reetsˆan De´f3.1:Lorsquefonctiondestunefinurretnne´useillvae contenant 0 telle quelimf(xacriron´e)=0,f(x) =ε(x) et on x0 dira quef(x) est un “ε(x)”. III.3-eveloppeiondesd´bOettne´tistnemmils Rem :)O1ecn´rarif(x) =a+ε(xx0) pour signifier queORMPNTTA3.eoI8:´hTlimf(x) =a. Sifest continue sur un intervalleIdeRet sifadmet un xx0 DL(x) de la forme : k n0 2) On peut rencontrer la notationf(x) =o(x) : on dira que k f(x) est “un petit o dex”. 2n n f(x0+h) =a0+a1h+a2h+∙ ∙ ∙+anh+h ε(h) On a la correspondance suivanteε(x) =o(1) et plus k k et siFest une primitive defalorsFadmet pourDLn+1(x0) : ge´ne´ralementx ε(x) =o(x). 2 3n+1 h hh n+1 Prop 3.2 :Soientfetgctonsfdelleervanintusurinse´deoisn F(x0+h) =F(x0)+a0h+a1+a2+∙ ∙ ∙+an+h ε(h) 2 3n+1 ouvertIesntvauintenco.Onaant0orrpelpse´ss´ite 1) SOMME : Sif(x) =ε(x) etg(x) =ε(x), alors (f+g)(x) =ε(x). Attention :drletdoinonasap(rassnrpdee´irevn)un´ecautio 2) MULTIPLICATION PAR UNE CONSTANTE : SiλRet d´eveloppementlimit´e...maisonaler´esultatsuivant f(x) =ε(x), alors (λf)(x) =ε(x). n0 ´ 3) MULTIPLICATION PAR UNE FONCTION BORNEE : SiProp 3.9 :Sifest de classeCau voisinage de 0, alorsf f(x) =ε(x) etgsrol(´nroa,eeonctionbestuneff g)(x) =ε(x). admetunDLn1(0). En particulier, si leDLn(0) defs´ecrit: n0 4) COMPOSITION : Sif(x) =ε(x) etg(x) =ε(x), alorsf(x) =P(x) +x ε(x), alors leDLn1(0) defest de la forme : 0 0n1 (gf)(x) =ε(x).f(x) =P(x) +x ε(x). n Rappel :fest dite de classeCsur un intervalleIsifest III.2-´eiGtsrelae´´n (n) nablesursi´drevi-ofIetfest continue surI. D´ef3.3:SoitnN. On dit quef:IRmpupomredneellet3m.iotpi:eF´10adrmPetund´evelopoorylTaolspleursemoˆny. a`lordrenen0 (unDLneustxilei)s0)(emnyoˆpnloPa`tioSPˆomeolyneci`aco´reenestededslte´egrf´inieerouurpnu coecientsr´eelstelquee´gala`n. Alors pour toutaetxo,anr´eels n (?)deg(P)6netxI, f(x) =P(x) +x ε(x).n (k) X P(a) k P(x) =(xa) On dit queg:JRulnidmi´te´vee`loppaedmmeenttak! k=0 (n) l’ordrenenx0(unDLn(x0ilsisex))moˆnenuetylopQa`0P(a)n =P(a) +P(a)(xa) +∙ ∙ ∙+ (xa) n! coecientsre´elstelque n (??)deg(Q)6netxJ, g(x) =Q(xx0)+(xx0)ε(xx0). Rem :snetmrenaunci,o1)Iupe´emeredietitnqurisaealntebg´ reste(biensˆur,c¸avautsilonaprissoindel´ecrirea`unordre Rem :1E)pnartique,onseram`enerpeeuqstsysame´qutienemt aumoins´egalaudegr´edupolynoˆmeconsid´er´e). au voisinage de 0 en posantxa=uet en cherchant unDLnSi on veut le(0) 2)DLk(a) dePaveck < deg(P), on aura un k def(x) =g(a+u). terme reste (xa)ε(xa) : 2)Onr´e´ecritparfoisle´galite´de(??) sous la forme k X (q) P(a) q k n P(x() =xa) +(xa)ε(xa) f(x0+h) =Q(h) +h ε(h). q! q=0 Prop/De´f3.4:Sifadmet unDLnecsrola,)0(ntpemeelopd´ev Theo 3.11 : Formule de Taylor-Young. limite´estUNIQUE. n Sifest de classeCsurIetx0I, alorsfadmet unDLn(x0) LuniquepolynoˆmeP´evari(nt?paep´lest)ela partie donn´epar: r´eguli`ereduDLn(0) def. n X (k) f(x0)k n Prop 3.5 :TRONCATURE f(x0+h) =h+h ε(h) k! Sifadmet unDLngulier´e`ere()0raitd,peP, alors pour toutk=0 00(n) f(x) 00)f(x0n n kN, 06k6n,fadmet unDLkertiaraptlon)d(0ere`iluge´ 2 =f(x0)+f(x0)h+h+∙ ∙ ∙+h+h ε(h) 2n! est obtenue en tronquantPuaedrge´ktdansanneenenpr,.ca`d. Psemrededleuqetseni´frge´ruuoreeil`a´egak. ` Rem :1) CetteFormuleest TRES IMPORTANTE, elle permet Prop 3.6 :Soitfune fonction admettant unDLn(0) de partiex d’obtenir “facilement” lesDLn(0) des fonctions usuelles :e, r´eguli`ereP.1α cos(x), sin(x), sh(x+), ,ou encore (1x) (voirles formules 1+x Sifest une fonction paire (resp. impaire), alors la partie `alandeceChapitre). r´egulie`rePest PAIRE (resp. IMPAIRE). 2)Onre´e´critparfoiscetteformulecommesuit Prop 3.7 :1)fadmet unDL0(x0) si et seulement sifest n X k (ba) continue enx0.(k)n f(b) =f(a) +o((ba) ) On a alorsf(x) =f(x0) +ε(xx0).k! k=0 2)fadmet unDL1(x0) si et seulement sif´dreetselnevibax0. 0 On a alorsf(x) =f(x0) +f(x0)(xx0) + (xx0)ε(xx0des points). pouraetbdeI. (Ici,b=x0+heta=x0).
III.4-´eraItIionIOpseriatneme´le´s.5.C-Branche infinie et position deGfpar rapport a`cesasymptotes Prop 3.12 :Soientn>1,fetgdeux fonctions qui admettent desDLnpectives0)(padeierte´rsilugere`sersPetQ. Alorsasysioetetspmot3.efD´dres:l16 1) (f+g) admet unDLndo0)((rtpalantluge´reitseere`iP+QSoit). 1)f:]a;b[R, on dit queGfa une asymptote verticale 2) siλR, (λf) admet unDLntdreesli`ee´ugitrep0a(rda)noltoneq´tiuax=asi limf(x) =±∞. + xa (λP). 2) Soitf: [0;+[R, on dit que la droitey=ax+best 3) (f g) admet unDLnueseottbneugile`er´eertiaraptlon)d0( asymptote au grapheGf(si limf(x)axb) = 0. en tronquant le produitP Qeduae´rgn. x+Lorsquea= 0, on a une asymptote horizontale. Prop 3.13 :Sifadmet unDLn(x0) etgadmet unDLn(f(x0)), ? SiaRetbR, on parle d’une asymptote oblique. alorsgfnueeds`ospDLn(x0). Rem :1) On peut aussi parler de droite asymptote au graphe 1 Cor 3.14 :Sifadmet unDLn(0) etf(0)6admet= 0, alors fd’une fonction en−∞. f(x) unDLntilieutu)Onp2poepvelese´deslr.)(0´eitesdntmeimslruop x de´terminerl´equationdeladroiteasymptoteetsapositionpar Deux cas applications importantes de la Prop 3.13 : rapport`aGflueitrcilare,rnoltat´esuant:suivpaEn. 1)De´terminerleDLn(0) des fonctions de la formex7→g(λx). Avecf(x) =λxpourλR, sigadmet pourDLn(0),g(x) =Prop 3.17Sif+ep`ssoe,edvoauinisedag,el´dvelepoepment n P k nsuivant akx+x ε(x), alorsgfadmet pourDLn(0) k=0  c1 1 f(x) =ax+b+k+kε x xx n X k kn ? gf(x) =g(λx) =λ akx+x ε(x) aveckNetc6= 0, alors i) la droiteDnoitauqe´dy=ax+bptote`aestasymGfau k=0 pvoisinage de +. 2)De´terminerleDLn(0) des fonctions de la formex7→g(x). pii) De plus, au voisinage de +, on aura ? Avecf(x) =xpourpN, sigadmet pourDLn(0),g(x) = n P k n Gfest au dessus deDsic >0 akx+x ε(x), alorsgfadmet pourDLnp(0) k=0 Gfest en dessous deDsic <0. n X p kpnp gf(x) =g(x) =akx+x ε(x) k=0 III.6-cuveAuspleunpedrpe´icisno D´ef3.18:Lorsquefsuieniruerntllvafeenutcnodnoine´est f(x) contenant 0 telle que le quotientknadresteborn´equxtend x k vers0,on´ecriraf(x) =O(x) et on dira quef(x) est “un grand k III.5-tnemmilsleveeppo´eitsAacitppilse´dnodso dex”. III.5.A-see´nalCmitiseeducsledlsd´etermiformesink k Rem :Sif(x) =o(x), alorsf(x) =O(x´earprci.M)slaiqoeu III.5.B-Position deGftsnaedesuaenro`tppraarpesgent n’est pas vraie. Theo 3.15 :Soitfune fonction admettant unDLn(a) avec Theo3.19:FormuledeTayloravecResteInt´egral. n>2 de la formen+1 SoientnNetfune fonction de classeCsur un intervalle n nouvertIdeR. f(x) =f(a) +c1(xa) +cn(xa() +xa)ε(xa) Pour toutaIetbI, on a (2) aveccn6= 0.f(a) 02 f(b) =f(a) +f(a)(ba() +ba) +∙ ∙ ∙ AlorsGfadmet au point (a, f(a)) une tangenteTad´qeaution 2! Z (n)b n (bx) y=f(a) +c1(xa).f(a)n(n+1) + (ba) +f(x)dx Sinsee´´tpoirdeespruxrsloalonAPtsa,RIen!an! Sic >0, alors au voisinage du point (a, f(a)) le grapheGfest au-dessus deTa. Rem :yhophte`Suolssesultatprsesdur´eno,tarua´ce´nede Sic <0, alors au voisinage du point (a, f(a)) le grapheGfest lin´egalit´e en dessous deTa. n Sinest IMPAIR, alors au voisinage du point (a, f(a)),Gftra-X k n+1 (ba) (ba) (k) (n+1) f(b)f(a)6supf(x) verse sa tangente. On dit que (a, f(a)) est unpoint d inflexion.k!(n+ 1)!x[a;b] k=0 Rem :e`emrticEnpa1)elsupyhseiluos,rthduor´eh`oteses ci-dessus, sinIR,onaalestIMPAupsi.311-uavneqTheoecleasmeitse´e´etnsulpnoitesdeorslocpuroinuaxdpOrn n+1 Sicn>0, alors au voisinage du point (a, f(a)), le grapheGfcioiquaretseetsedacnpe´rainsueteqstteleerrm±C(ba) . au-dessus deTapourx > a, et en dessous deTapourx < acscesa.o,vn´aceirDearn Sicn<0, alors au voisinage du point (a, f(a)), le grapheGfest n k X   (ba) en dessous deTapourx > a, et au-dessus deTapourx < a.(k)n+1 f(b) =f(a) +O(ba) 2)Sousleshypothe`sesduthe´or`emeci-dessus,sinest PAIR etk! k=0 c1= 0, alors on dit quefadmet un extremum local ena. Pluspr´ecis´ement:
sicn>0, on dit quefadmet un minimum local ena sicn<0, on dit quefadmet un maximum local ena.
Licence STPI L1 ModuleMathe´matiques2
Anne´e2005/2006 Chap III(2/3)