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3. La similitude et congruence des triangles• Congruence (isométrie): figures identiques; conserve les mesures des côtés et d'angles entre 2 figures. La translation, réflexion et rotation sont des isométries.• Similitude (homothétie): figures ayant la même forme, donc les angles sont congrus. Cependant, les côtés correspondants n'ont pas nécessairement la même mesure, mais les rapports de mesure des côtés homologues sont proportionnels.3.1. Les cas de congruence des triangles.Quand deux triangles sont identiques (mêmes côtés et mêmes angles), on dit qu’ils sont congrus. Il existe 3 cas de congruences de triangle : CCC , CACe t ACA. C e sont des conditions minimales qui permettent de dire que 2 triangles sont congrus.• Côté-côté-côté (CCC) On peut avoir congruence entre deux triangles par CCC. Deux triangles ayant tous leurs côtés homologues égaux sont automatiquement congrus. Ex: Le triangle ABC et le triangle EFG ont les mêmes mesures de côtés; ils sont donc congrus. • Côté-angle-côté (CAC) Deux triangles ayant un angle congru compris entre 2 côtés homologues congrus sont congrus. * Il est essentiel que l’angle congru se trouve ENTRE le s 2côtés homologues congrus. * Ex: Les triangles ABC et EFG ont deux côtés homologues congrus : ___ ___AB est congru à FG ___ ___ BC est congru à EF Puisque l’angle congru (83,2 °) est compris entre ces 2 côté congrus, le triangle ABC et le triangle E FGsont congrus. Le ...

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• Publié par: Shyot
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• Langue: Français

Extrait

3. La similitude et congruence des triangles

•Congruence (isométrie): figures identiques; conserve les mesures des côtés et d'angles entre 2 figures. Latranslation, réflexion et rotation sont des isométries.

•Similitude (homothétie): figures ayant la même forme, donc les angles sont congrus. Cependant, les côtés correspondants n'ont pas nécessairement la même mesure, mais les rapports de mesure des côtés homologues sont proportionnels.

3.1. Les cas de congruence des triangles.

Quand deux triangles sont identiques (mêmes côtés et mêmes angles), on dit qu’ils sont congrus. Il existe 3 cas de congruences de triangle :CCC,CACetACAsont des conditions minimales qui. Ce permettent de dire que 2 triangles sont congrus.

•Côté-côté-côté (CCC) On peut avoir congruence entre deux triangles par CCC. Deux triangles ayant tous leurs côtés homologues égaux sont automatiquement congrus.

Ex: Le triangle ABC et le triangle EFG ont les mêmes mesures de côtés; ils sont donc congrus.

•Côté-angle-côté (CAC) Deux triangles ayant un angle congru compris entre 2 côtés homologues congrus sont congrus. * Il est essentiel que l’angle congru se trouve ENTRE les 2 côtés homologues congrus. *

Ex: Les triangles ABC et EFG ont deux côtés homologues congrus : ___ ___ ABest congru àFG ___ ___ BCest congru àEF

Puisque l’angle congru (83,2 °) est compris entre ces 2 côté congrus, le triangle ABC et le triangle EFG sont congrus.

Le géométrie, page1

Faux exemple de cas CAC Ici, l’angle congru aux 2 triangles N'EST PAS ENTRE 2 côtés homologues congrus : ___ ___ ABN'EST PAS congru àFG ___ ___ BCest congru àEF

Onnepeut doncpasaffirmer que les 2 triangles sont congrus.

•Angle-côté-angle (ACA) Un autre cas de congruence du triangle :lorsqu'un côté congru à 2 triangles est compris entre 2 angles homologues congrus, les deux triangles sont forcément congrus.  ______ Le côtéABest congru au côtéDE Les angles enAet enDsont congrus, de même que les angles enCet enE.

Comme le côté congru est situé ENTRE deux paires d'angles congrus, les 2 triangles sont forcément congrus.

3.2. Les cas de similitude des triangles.

Deux triangles qui ont les mêmes angles et des rapports de côtés homologues égaux sont dits semblables. Cela signifie qu'ils ont la même forme, mais pas nécessairement la même grandeur. On peut déterminer si deux triangles sont semblables sans connaître toutes leurs dimensions. Il existe 3 cas de similitude nommés CCC, CAC et AA.

•Côté-côté-côté (CCC)

Lorsque les rapports des 3 côtés homologues des triangles sont égaux, ces triangles sont semblables.

Puisque les rapports des côtés homologues sont égaux (tous égaux à 2), les deux triangles sont semblables.

Le géométrie, page2

•Côté-angle-côté (CAC) Deux triangles sont semblables lorsqu’un angle congru est compris entre deux côtés homologues proportionnels.

L'angle congru (90°) se trouve entre 2 côtés dont les rapports sont égaux (les rapports égalent 2); les deux triangles sont semblables.

•Angle-angle (AA) Deux triangles qui partagent 2 angles égaux sont forcément semblables.

Puisque la somme des angles intérieurs d’un triangle est 180°, deux triangles qui ont deux angles congrus ont aussi un troisième angle congru.

Les deux triangles ont des angles intérieurs dont la somme est 180 °.

Le grand triangle doit forcément avoir un troisième angle de 51,7 °, comme le petit triangle pour que la somme de ses angles intérieurs soit 180 °.

3.3. Les relations métriques dans les triangles rectangles.

Dans untriangle rectangle,il y a 5 relations métriques que nous pouvons remarquer. Elles sont bien utiles dans certains problèmes de géométrie. 2 h =b' ● c'→ La hauteur est moyenne proportionnelle entre les deux segment qu’elle détermine sur l’hypoténuse. 2 b =a ● b'→ La cathète est moyenne proportionnelle entre l’hypoténuse et sa projection sur cette dernière. 2 c =a ● c' La cathète est moyenne proportionnelle → entre l’hypoténuse et sa projection sur cette dernière. b ● c = h ● a → Le produit des cathètes est égal au produit de la hauteur par l’hypoténuse. b² + c² = a²→ Par Pythagore.

Le géométrie, page3

3.4. Formule de Héron

Cette formule permet de calculer l'aire d'un triangle quelconque en connaissant les trois longueurs de celui-ci. Considérons quea, b et csont les longueurs des côtés d'un triangle. Considérons aussi quepest ledemi-périmètredu triangle. c abc a Donc, p= 2

L'aire du triangle est donc, selon Héron :

3.5. Des triangles particuliers

b

•Les triangles équilatéraux. Ils possèdent 3 angles de 60°. •Les triangles rectangles isocèles.Ils possèdent 2 angles de 45°et un angle de 90°. •Les triangles rectangles possédant un angle de 30°. La mesure du côté opposé à l'angle de 30°Naturellement, ils possèdent aussi un angleest toujours la moitié de celle de l'hypoténuse. de 60°.

3.6. La trigonométrie

À l'aide des rapports trigonométriques, il est possible de trouver les mesures manquantes dans des triangles rectangles. Ilest utile de bien connaître les définitions des rapports trigonométriques et de a ccb maîtriser la méthode du produit croisé (proportions; si = , alors a= ). b dd Soit le triangle rectangle suivant: •Les côtésAetBsont les cathètes b C •Le côtéCest l'hypoténuse. A •L'angleaest opposé au côtéAet adjacent au côtéB. •L'anglebest opposé au côtéBet adjacent au côtéA. a Il existe 6 rapports trigonométriques dans le triangle rectangle. B Ces rapports existent via le biais des propriétés des triangles semblables, car souvenons-nous, les rapports des côtés homologues entre 2 triangles semblables est le même! Cette année, nous étudierons les 3 rapports suivants: Sinus= CôtéOpposé ÷Hypoténuse (Ex:Sin a = A/C) Cosinus=CôtéAdjacent ÷HCos a = B/C)ypoténuse (Ex: Tangente=CôtéOpposé ÷ATan a = A/B)djacent (Ex:

Les autres rapports sont la sécante (H/A), cosécante (H/O) et la cotangente (A/O) **Il est important que la calculatrice soit en mode « degré » pour ce chapitre**

Le géométrie, page4

Voici un mot aide mémoire pour se rappeler les définitions des rapports trigonométriques : SOH CAH TOA

Ce groupe de lettres permet de mémoriser plus facilement la définition de trois rapports trigonométriques: sinus, cosinus, tangente.

3.6.1. Trouver la mesure d’un côté sachant la mesure d’un angle et d’un autre côté.

Il est important de toujours identifier ce qu'on cherche et les informations que nous connaissons. Par exemple, si je cherche la mesure du côté CA du triangle suivant.

•Le côté CAQue cherche-t-on? •La mesure de l'angle A et leQu'est-ce que je connais? côté BC, opposé à l'angle A. •Quel rapport trigonométrique puis-je utiliser?Comme je connais l'angle A , la mesure de son côté opposé et que je cherche la mesure du côté adjacent à l'angle A, j'utiliserai la tangente. 3 tan 30= •. Parle produit croisé (et en supposant CA que le dénominateur de tan 30 est 1), je peux trouver la 3×1 mesure de CA en effectuant l'opération suivante: =CA=5,196 tan 30

3.6.2. Trouver la mesure d’un angle connaissant la mesure de 2 côtés d’un triangle rectangle.

Même principe qu'au point 3.6.1 via le questionnement. Par exemple, si je cherche la mesure de l'angle A du triangle suivant.

•La mesure de l'angle A.Que cherche-t-on? •Qu'est-ce que je connais? Les mesures des côtés opposés et adjacents à l'angle A. •Quel rapport trigonométrique puis-je utiliser?La tangente. 6 A= • tan . Pourisoler la valeur de l'angle A, je 3 -1 dois utiliser la fonction inverse (arctan ou tan). −1 6 Dans ce cas, avec la calculatrice, je ferai: tan =63,4349° 3

Le géométrie, page5

3.6.3. La loi du sinus Cette loi est utilisé pour effectuer des calculs trigonométriques dans des A triangles pas nécessairement rectangles. Soit le triangle ABC suivant. b sinAsinBsinC c La loi du sinus est: = = a b c B a C La loi est utile dans les cas minimum suivants: • On connait 2 angles et un côté • On connait 2 côtés et un angle opposé à l'un des 2 côtés. Par exemple, trouvons la mesure du segmentbsi l'angle A = 36°, l'angle B = 100°et que le côtéc mesure 4 cm. • Je déduis que l'angle C = 44°car 180 – (100 + 36) = 44. sin 44sin 100 = • Je pose la loi du sinus de la façon suivante: 4b 4×sin 100 b= • = 5,67 cm.Par produit croisé, j'isole b: sin 44

-1 Si je cherche un angle, j'utiliserai la fonction inverse (soit sin) pour trouver l'angle. Notez que si on cherche un angle et qu'on sait qu'il est obtus (> 90°), il faut faire180 – réponse, car l'inverse du sinus ne donne que des mesures comprises entre 0 et 90 degrés.

3.6.4. La loi du cosinus

La loi du cosinus est: a²=b²c²−2×b×c×cosA (pour trouver un côté) −1 a²−b²−c²  OU A=cos (pour trouver un angle) −2×b×c Toujours avec des triangles quelconques, cette loi est utilisée dans les 2 cas suivants: • On connait les 3 côtés et on cherche un angle • On connaît 2 côtés et l'angle qui n'est pas opposé à l'un des 2 côtés.

Par exemple, les 3 côtés d'un triangle sont respectivement de 5, 6 et 7 cm et je cherche l'angle opposé au côté de 7 cm. Pour trouver l'angle, je n'ai qu'à entrer les nombres dans la formule, mais en tenant compte que l'angle −1 7²−6²−5² −1 −12 recherché est opposé au côté de 7cm, donc A=cos = A=cos = 78,46°. −2×6×5−60

Notez que ces 2 lois ne sont pas nécessaires, car il est toujours possible de tracer la hauteur dans un triangle quelconque, histoire de former 2 triangles rectangles.À l'aide des notions vues précédemment, il est possible de trouver les mesures manquantes.

Le géométrie, page6

3.7. Le théorème de Thalès

Soit deux droites parallèles coupées par deux droites sécantes : Ces quatre droites forment deux triangles : •le grand triangle ABC; •et le petit triangle ADE. Le théorème de Thalès s'énonce ainsi :

Le rapport du petit segment sécant sur le grand segment sécant égale le rapport du petit segment parallèle sur le grand segment parallèle. AD AE DE Partant de l'illustration, on l'écrit ainsi mathématiquement : = = AB AC BC En fait, le théorème de Thalès repose sur les rapports de proportions des côtés homologues des triangles semblables.

Le théorème de Thalès s'applique aussi bien quand les sécantes se croisent entre ou sous les droites parallèles.L'illustration est composée d'une paire de droites parallèles qui coupent une paire de droites sécantes. AD AE DE Les mêmes rapports sont donc valables : = = AB AC BC

Exemples. Trouve le côté manquant, sachant que les droites rouges sont parallèles. AD AE DE = = •.Par Thalès, je sais que AB AC BC •On cherche la mesure du segment BC.Je peux utiliser l'un des rapport AE DE2 4 de proportion, ce qui donne: = = = . AC BC4BC 4×4 •Par le produit c =8 roisé, . 2

Le théorème de Thalès permet aussi de déterminer si des droites sont parallèles.

Le géométrie, page7