af-cours

Description

Chapitre 2ESPACES LOCALEMENTCONVEXESVersiondu27juin2004Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 8577772.1 Semi-normes2.1 Semi-normeseDEFINITION 1 On dit qu une fonction p : F R est une fonctionnelle et quelle estsous-linØaire si elle possŁde les deux propriØtØs suivantes :(a) positivement homogŁnep(α•ϕ)=α•p(ϕ) pour tout α∈R et ϕ∈F ,+(b) sous-additivep(ϕ+ψ)6p(ϕ)+p(ψ) pour tout ϕ,ψ∈F .Nous dØsignerons parSL(F) l ensemble de toutes les fonctionnelles sous-linØaires sur F .On dit que p est une forme sous-linØaire si cest une fonctionnelles sous-linØaires sur F àvaleurs dansR et que c est une semi-norme si elle prend ses valeurs dansR et si elle est+(c) absolument homogŁnep(α•ϕ)=|α|•p(ϕ) pour tout α∈K et ϕ∈F ,On dit que cest un norme si en plus elle est(d) sØparantep(ϕ)=0 ϕ=0 pour tout ϕ∈F .Nous dirons qu un espace vectoriel F muni d une semi-norme p est un espace semi-normØ .S il faut prØciser nous Øcrirons (F,p) . Rappelons que lo’ n dit espace normØ s il est muni d unenorme.EXEMPLE 1 Pour toute forme linØaire µ : F K , la fonction ϕ |µ(ϕ)| est unesemi-norme sur F .ParexemplesiX est un ensemble et x ∈ X , alors la forme linØaire d’Øvaluation en xXε :K K : ϕ ϕ(x)xXdØÞnit une semi-norme surKXK R : ϕ |ϕ(x)| .+Si X est un espace topologique sØparØ et µ une intØgrale de Radon sur X,alorsfl flZfl fl1 fl flL (µ) R : ϕ ϕd + fl fl86 ESPACES LOCALEMENT CONVEXES Claude Portenier−→ −→−→ −→−→ −→−→ −→⇐⇒’’’ −→7777777Semi-normes 2.11est ...

Informations

• Publié par: Methong
• Nombre de lectures: 50
• Langue: Français

Extrait

lCuaedoPtrenie

Chapitre 2

ESPACES LOCALEMENT

r

CONVEXES

ANALYSEFONCTIONNELLE

Version du 27 juin 2004

85

2.1

2.1 Semi-normes

Semi-normes

e DEFINITION 1On dit quune fonctionp:F−→Rest unefonctionnelleet quelle est sous-linéairesi elle possède les deux propriétés suivantes : (a)positivement homogène p(α·ϕ) =α·p(ϕ)pour toutα∈R + etϕ∈F, (b)sous-additive p(ϕ+ψ)6p(ϕ) +p(ψ)pour toutϕ,ψ∈F. Nous désignerons parSL(F)lensemble de toutes les fonctionnelles sous-linéaires surF. On dit quepest uneforme sous-linéairesi cest une fonctionnelles sous-linéaires surFà valeurs dansRet que cest unesemi -normesi elle prend ses valeurs dansR + et si elle est (c)absolument homogène p(α·ϕ) =|α| ·p(ϕ)pour toutα∈Ketϕ∈F, On dit que cest unnormesi en plus elle est (d)séparante p(ϕ) = 0⇐⇒ϕ= 0pour toutϕ∈F.

Nous dirons quun espace vectorielFmuni dune semi-normepest unespace semi-normé. Sil faut préciser nous écrirons(F, p). Rappelons que lon ditespace normésil est muni dune norme.

EXEMPLE 1Pour toute forme linéaireµ:F−→K, la fonctionϕ7−→|µ(ϕ)|est une semi-norme surF. Par exemple siXest un ensemble etx∈X, alors la forme linéaire d évaluationenx ε x :K X −→K:ϕ7−→ϕ(x) déÞnit une semi-norme surK X K X −→R + :ϕ7−→|ϕ(x)|. SiXest un espace topologique séparé etµune intégrale de Radon surX, alors L 1 (µ)−→R + :ϕ7−→ ¯ Z ϕdµ ¯

86

ESPACES LOCALEMENT CONVEXES Claude Portenier

Semi-normes

2.1

est une semi-norme surL 1 (µ),nest pas une norme puisquil existe en général des fonctionsqui µ-intégrables telles que Z ϕdµ= 0confondre cette semi-norme avec la norme. Il ne faut pas k·k 1 := Z |·|dµ.

EXEMPLE 2SoitPun ensembleÞni de formes sous-linéaires ou de semi-normes surFet (α p ) p∈P ⊂R + . Alors maxP:ϕ7−→max p∈P p(ϕ)et X α p ·p:ϕ7−→ X α p ·p(ϕ) p∈P p∈P sont des formes sous-linéaires ou respectivement des semi-normes surF.

EXEMPLE 3SiPest une famille de fonctionnelles sous-linéaires surF, alors supP:ϕ7−→sup p∈P p(ϕ) est une fonctionnelle sous-linéaire. Ceci est également vrai pour les formes sous-linéaires ou les semi-normes, pour autant quesupPsoitÞnie !

EXEMPLE 4Soient(F, p),(G, q)des espaces semi-normés ets∈[1,∞[. Alors 1 p× s q: (ϕ,γ)7−→(p(ϕ) s +q(γ) s ) s etp× ∞ q: (ϕ,γ)7−→max (p(ϕ), q(γ)) sont des semi-normes surF×G. La fonction p+q:ϕ7−→p |F∩G (ϕ) +q |F∩G (ϕ) est une semi-norme surF∩G.

EXEMPLE 5SoitXun ouvert deR n . Pour toutϕ∈C (∞) (X), toute partie compacte K⊂X, toutα∈N n et toutk∈N, on pose p K,k (ϕ) := max α∈N n ,|α| 1 6k k∂ α ϕk ∞,K et q K,α (ϕ) :=k∂ α ϕk ∞,K . On vériÞe immédiatement que ce sont des semi-normes surC (∞) (X).

EXEMPLE 6Pour simpliÞer lécriture introduisons la fonction indéÞniment dérivable hidi:= 1 +|id| 2 :R n −→R ∗ + :x7−→1 +|x| 2 . Pour toutϕ∈C (∞) (R n )etk∈Nposons p k (ϕ) := max α∈N n ,|α| 1 6k ° hidi k ·∂ α ϕ ° ∞ ∈R + et q k (ϕ) := max α∈N n ,|α| 1 6k ° hidi k ·∂ α ϕ ° 2 ∈R + .

Claude Portenier ESPACES LOCALEMENT CONVEXES

87

2.1

Semi-normes

On vériÞe immédiatement que ces fonctionnelles sont absolument homogènes et sous-ad- ditives. Il est alors clair que S(R n ) := © ϕ∈C (∞) (R n ) ¯ p k (ϕ)<∞pour toutk∈N ª et S 2 (R n ) := © ϕ∈C (∞) (R n ) ¯ q k (ϕ)<∞pour toutk∈N ª sont des sous-espaces vectoriels deC (∞) (R n )et que les restrictions correspondantes dep k etq k sont des normes. LespaceS(R n )étant très important dans les applications, on dit quune fonctionf∈ L ∞ (R n )està décroissance rapidesi, pour toutk∈N, on a ° hidi k ·f ° <∞. ∞ On désigne parL r ∞ ap (R n )lensemble de ces fonctions. On dit quune fonctionf∈C (∞) (R n )estdéclinantesi toutes ses dérivées sont à décroissance rapide, i.e. sif∈S(R n ). Nous montrerons en 2.3 queS 2 (R n ) =S(R n )! Nous dirons que cest l Schwartzespace de.

LEMMEPour toutx, y∈R n , on a hx+yi6hxi ·(1 +|y|) 2 62· hxi · hyi et hxi62· hx+yi · hyi. En effet comme1,|x|61 +|x| 2 , il vient hx+yi= 1 +|x+y| 2 61 +|x| 2 + 2|x| · |y|+|y| 2 6 61 +|x| 2 + 2 ¡ 1 +|x| 2 ¢ · |y|+ ¡ 1 +|x| 2 ¢ · |y| 2 = = ¡ 1 +|x| 2 ¢ · ¡ 1 + 2|y|+|y| 2 ¢ =hxi ·(1 +|y|) 2 . Dautre part il est clair que(1 +|y|) 2 62 ¡ 1 +|y| 2 ¢ = 2hyi. Finalement hxi=hx+y−yi62· hx+yi · h−yi= 2· hx+yi · hyi. ¤ On dit que2· hidiest unpoids sous-multiplicatif.

e PROPOSITIONSoitp:F−→R. (i) Sipest une fonctionnelle sous-linéaire, on a p(ϕ)>−p(−ϕ)pour toutϕ∈F. (ii) Sipest une forme sous-linéaire, on a |p(ψ)−p(ϕ)|6max [p(ψ−ϕ), p(ϕ−ψ)]pour toutϕ,ψ∈F. (iii) Sipest une semi-normep, on a |p(ϕ)−p(ψ)|6p(ϕ−ψ)pour toutϕ,ψ∈F. En effet on a

88

0 = 0·p(0) =p(0) =p(ϕ−ϕ)6p(ϕ) +p(−ϕ),

ESPACES LOCALEMENT CONVEXES Claude Portenier

Semi-normes

donc (i). Sipest sous-linéaire, remarquons tout dabord que p(ψ) =p(ψ−ϕ+ϕ)6p(ψ−ϕ) +p(ϕ), donc que p(ψ)−p(ϕ)6p(ψ−ϕ). On en déduit alors que |p(ψ)−p(ϕ)|= max [p(ψ)−p(ϕ), p(ϕ)−p(ψ)]6max [p(ψ−ϕ), p(ϕ−ψ)], ce quiÞnit de prouver (ii). La dernière assertion est alors immédiate. ¤

2.1

DEFINITION 2Si(q j ) j∈J ⊂SL(F), on pose ϕ∈F. j∈ ^ J q j (ϕ=:) ( ϕ j ) j∈J ∈F in , f P j∈J ϕ j =ϕ j∈ X J q j ¡ ϕ j ¢ ∈Rpour tout (J) SiXest un ensemble,Aune partie deXetf:A−→R, on désigne parf ∞ la fonction surXobtenue en prolongeantfpar∞hors deA. On écritq 1 ∧q 2 à la place de V j∈{1,2} q j .

THEOREMESoientp∈SL(F)et(q j ) j∈J ⊂SL(F). (i) On ap6q j pour toutj∈Jsi, et seulement si,p6 V j∈J q j . (ii) Si V j∈J q j >−∞surF, alors V j∈J q j ∈SL(F). Si tous lesq j sont absolument homogènes, il en est de même de V j∈J q j . e (iii) SoientCun sous-cône convexe deFetr:C−→Rune fonctionnelle positivement e homogène et sous-additive. Alors la fonctionneller ∞ :F−→Rappartient àSL(F).

Démonstration de (i)Cette assertion est importante, puisquelle ramène un problème à plusieurs inégalités (même une inÞ à un problème à une seule inégalité. Etant donnénité !) ϕ∈Fet ¡ ϕ j ¢ j∈J ∈F (J) tels que P j∈J ϕ j =ϕ, si pour toutj∈J, on ap6q j , alors p(ϕ) =p à j∈ X J ϕ j ! 6 j∈ X J p ¡ ϕ j ¢ 6 j∈ X J q j ¡ ϕ j ¢ , doncp(ϕ)6 V j∈J q j (ϕ)en passant à linÞmum. Réciproquement étant donnék∈J, on a p(ϕ)6 ^ q j (ϕ)6q k (ϕ) j∈J en considérant la famille ¡ ϕ j ¢ j∈J déÞnie par  ϕ j :=   ϕ 0 si j sin = o k n . Démonstration de (ii)Pour toutα∈R ∗ + etϕ∈F, on a tout dabord j∈ ^ J q j (α·ϕ) = inf  ( ϕ j ) j∈J ∈F (J) , P j∈J ϕ j =α·ϕ j∈ X J q j ¡ ϕ j ¢ =

Claude Portenier ESPACES LOCALEMENT CONVEXES

89

Semi-normes

2.1 =α· ( ifn ϕ j ) j∈J ∈F (J) , P j∈J α ϕ j =ϕ X q j ³ α ϕ j ´ =α· ^ q j (ϕ). j∈J j∈J On en déduit que −∞< ^ q j (0) = ^ q j (2·0) = 2· ^ q j (0)60, j∈J j∈J j∈J donc V j∈J q j (0) = 0. Si en plus chaqueq j est absolument homogène, il est clair que V j∈J q j lest aussi. Finalement, pour toutϕ,ψ∈Fet ¡ ϕ j ¢ j∈J , ¡ ψ j ¢ j∈J ⊂F (J) tels que P j∈J ϕ j =ϕet P j∈J ψ j =ψ, il vient P j∈J ¡ ϕ j +ψ j ¢ =ϕ+ψ, donc ^ q j (ϕ+ψ)6 X q j ¡ ϕ j +ψ j ¢ 6 X q j ¡ ϕ j ¢ + X q j ¡ ψ j ¢ j∈J j∈J j∈J j∈J et par suite ^ q j (ϕ+ψ)6 ^ q j (ϕ) + ^ q j (ψ), j∈J j∈J j∈J ce qui montre que V j∈J q j est sous-additive. Démonstration de (iii)Cest immédiat. ¤ EXEMPLE 7SoientFetGdes sous-espaces vectoriels deH,petqdes semi-normes respectivement surFetG. Alorsp ∞ ∧q ∞ est une semi-norme surF+G. Remarquons que, pour toutθ∈F+G, on a p ∞ ∧q ∞ (θ) = inf{p(ϕ) +q(ψ)|ϕ∈F ,ψ∈Getϕ+ψ=θ}. Cest immédiat, puisquep ∞ ∧q ∞ >0.

90

ESPACES LOCALEMENT CONVEXES

Claude Portenier

Espaces polynormés 2.2 2.2 Espaces polynormés DEFINITION 1Soitpest une semi-norme surF. Siϕ∈Fetr∈R ∗ + , on pose B p (ϕ, r) :={ψ∈F|p(ψ−ϕ)6r} et D p (ϕ, r) :={ψ∈F|p(ψ−ϕ)< r}. SoitPun ensemble de semi-normes surF. Pour toute partieÞnieP⊂Petr P := (r p ) p∈P ⊂R ∗ + , on dit que B P (ϕ, r P ) := \ B p (ϕ, r p )etD P (ϕ, r P ) := \ D p (ϕ, r p ) p∈P p∈P sont respectivement uneboule ferméeet uneboule ouverte de centreϕ(par rapport àP). On dit quune partieO⊂Festouverte(par rapport àP) si, pour toutϕ∈O, il existe une boule ferméeBde centreϕcontenue dansO. On peut remplacer boule fermée par boule ouverte. Il suffit de remarquer que lon a B P ³ ϕ, r 2 P ´ ⊂D p (ϕ, r P )⊂B p (ϕ, r P ). PROPOSITIONLensembleT P des parties deFouvertes par rapport àPest une topologie surF. Cest facile (cf. cours dAnalyse [17], proposition 10.12). ¤ DEFINITION 2On dit que(F,P)est unespace polynorméet queT P est latopologie associée, ou bien latopologie déÞnieparP. Nous utiliserons les notions topologiques (cf. appendice 1). Elles sont calquées sur celles qui ont été développées dans le cours dAnalyse [17], chapitre 10, dans le cadre des espaces métriques. REMARQUE 1En écrivantψ=ϕ+ (ψ−ϕ), on voit que B P (ϕ, r P ) =ϕ+B P (0, r P ) =ϕ+ \ − p 1 ([−r p , r p ]) p∈P et D P (ϕ, r P ) =ϕ+D P (0, r P ) =ϕ+ \ − p 1 (]−r p , r p [). p∈P Ceci montre en particulier quune translation ¦−ϕ:F−→F:ψ7−→ψ−ϕ Claude Portenier ESPACES LOCALEMENT CONVEXES 91

2.2

Espaces polynormés

est continue, puisque pour tout ouvertOdeF, on a(¦−ϕ) −1 (O) =ϕ+Oet cet ensemble est ouvert.

REMARQU P p , on a E 2En posantq:= max p∈ r p B P (ϕ, r P ) =B q (ϕ,1). En effet les inégalités p(ψ−ϕ)6r p pour toutp∈P sont équivalentes à m ∈ a P x p r p (ψ−ϕ)61. p

REMARQUE 3Siqest une semi-norme surF, alors F= [ B q (0, r) = [ D q (0, r). r∈R ∗ + r∈R ∗ +

REMARQUE 4Siqest une semi-norme surF, alors{q= 0}est un sous-espace vectoriel, qui peut être de dimension inÞ On anie ! {q= 0}= \ B q (ϕ, r) = \ D q (ϕ, r). r∈R ∗ + r∈R ∗ + Siqest une semi-norme continue surF, alors{q= 0}=q −1 ({0})est un sous-espace vectoriel fermé deF, puisque{0}est fermé dansR + .

REMARQUE 5Remarquons quune partieVdeFest un voisinage deϕ∈F, i.e. queϕ est un point intérieur àVsi, il existe une boule de centresi, et seulement ϕcontenue dansV.

EXEMPLETout espace normé est évidemment un espace polynormé. Voici une liste des espaces normés, les quatre premiers sont des espaces de Banach, que nous supposons connus. (a) ³ K n ,|·| p ´ . (b) Exercice : SoientXun ensemble etp∈[1,∞]: ` p (X) :=L p (#) = ( f∈K X ¯ kfk p p := x∈ X |f(x)| p <∞ ) X muni de la norme f7−→kfk p :=kfk p,# = Ã x∈ X X |f(x)| p ! 1 p , où#désigne lintégrale de comptage surXmuni de la métrique discrète. Cest donc un cas particulier de lexemple (d). (c) SoitXun espace topologique séparé :C 0 (X)⊂C b (X)⊂` ∞ (X)munis de la norme uniformek·k ∞ (cf. cours dAnalyse [17], § 10.5 et 10.19).

92

ESPACES LOCALEMENT CONVEXES Claude Portenier

Espaces polynormés

2.2

(d) SoientXun espace topologique séparé,µune intégrale de Radon surXetp∈[1,∞]: ³ L p (µ),k·k p ´ (cf. cours dAnalyse [17], § 15.13 et 15.14). (e) SoientF, Gdes espaces normés : (F×G,kpr 1 k F +kpr 2 k G ),(F×G,max (kpr 1 k F ,kpr 2 k G )). (f) Exercice : SoientFun espace normé etHsous-espace vectoriel fermé deF:F /H(cf. proposition 2.8).

LEMMESoientpune semi-norme etqune fonctionnelle sous-linéaire surF. Pour queq soit majorée parM∈R + surB p (0,1), il faut et il suffit que q6M·p. Dans ce cas, la plus petite des constantesM∈R + satisfaisant à cette inégalité est supq(ϕ). ϕ∈F,p(ϕ)61 La condition est nécessaire, car pour toutϕ∈Ftel quep(ϕ)>0, on ap ³ p( ϕ ϕ) ´ = 1, donc ·q(ϕ) =q µ ϕ ¶ 6M 1 p(ϕ)p(ϕ) , ce qui prouve linégalité dans ce cas. Sip(ϕ) = 0, on ap(α·ϕ) =α·p(ϕ) = 0pour tout α∈R + , doncα·q(ϕ) =q(α·ϕ)6M∈R + , ce qui montre queq(ϕ)60et prouve aussi linégalité dans ce cas. La réciproque et la dernière assertion sont triviales. ¤

COROLLAIRESoient(F,P)un espace polynormé etqune forme sous-linéaire surF. Les propriétés suivantes sont équivalentes : (i)qest continue. (ii)qest continue en0. (iii) Il existe une boule de centre0sur laquelleqest majorée. (iv) Il existec∈R + et un ensembleÞniP⊂Pde semi-normes tels que q6c·maxP.

(i)⇒(ii)Cest évident. (ii)⇒(iii)Siqest continue en0, il existe une partie ouverteOcontenant0telle que q(O)⊂]−1,1[. Par déÞnition dune partie ouverte, on a bien (iii). (iii)⇒(iv)Siqest majorée parM∈R + surB P (0, r P ), en posantr:= min p∈P r p et c:= r M , alorsqest majorée parcsurB maxP (0,1). En effet pour toutϕ∈B maxP (0,1), il vientp(r·ϕ)6r6r p , donc r·ϕ∈B P (0, r P ), et par suiter·q(ϕ)6M. Linégalité découle donc de la proposition.

Claude Portenier ESPACES LOCALEMENT CONVEXES

93

2.2

Espaces polynormés

(iv)⇒(i)Montrons queqest continue enϕ∈F. Pour toutψ∈F, la proposition 2.1.(ii) et lhypothèse montre que |q(ψ)−q(ϕ)|6max [q(ψ−ϕ), q(ϕ−ψ)]6c·maxP(ψ−ϕ). Pour toutε>0, siψ∈B P ¡ ϕ, c ε ¢ , on amaxP(ψ−ϕ)6 c ε , donc |q(ψ)−q(ϕ)|6ε, ce quil fallait démontrer. ¤

REMARQUE 6Les semi-normesp∈Psont évidemment continues. Par les remarques 1 et 2, toute boule par rapport àPest de la forme B q (ϕ,1) =ϕ+B q (0,1) = [q◦(¦−ϕ)] −1 ([0,1]), respectivement D q (ϕ,1) =ϕ+D q (0,1) = [q◦(¦−ϕ)] −1 ([0,1]), oùqest une semi-norme continue par le corollaire (iv). En particulier les boules fermées et ouvertes par rapport àPsont fermées respectivement ouvertes pourT P .

EXERCICEOn a B P (ϕ, r P ) ◦ =D P (ϕ, r P ). SiTest une application (semi-) linéaire etqune semi-norme ou une fonctionnelle sous- linéaire surG, alors il en est de même deq◦T.

THEOREMESoient(G,Q)un espace polynormé etT:F−→Gune application (semi-) linéaire. Pour queTsoit continue, il faut et il suffit queq◦Tsoit continue surFpour tout q∈Q. La condition est évidemment nécessaire, puisqueqest continue surG. Réciproquement la continuité deTenϕ∈Fet celle en0sont équivalentes, puisque la translation¦−ϕest continue (cf. remarque 1) : Tψ−Tϕ=T(ψ−ϕ) =T◦(¦−ϕ) (ψ). SiOest un ouvert dansGcontenant0, il existe une boule ouverte D Q (0, r Q ) = \ q −1 (]−r q, r q [)⊂O. q∈Q Il vient alors T −1 (D Q (0, r Q )) = \ T −1 ¡ q −1 (]−r q, r q [) ¢ = \ (q◦T) −1 (]−r q, r q [), q∈Q q∈Q et le membre de droite est une partie ouverte dansFcontenant0par hypothèse. Le resultat en découle puisque T ¡ T −1 (D Q (0, r Q )) ¢ ⊂D Q (0, r Q )⊂O. ¤

REMARQUE 7Une semi-norme de la formec·maxPpourP⊂Pest évidemment continue. Mais on na pas nécessairementc·maxP∈P!

94

ESPACES LOCALEMENT CONVEXES Claude Portenier