algebre IV.cours

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Daniele FaenziALGÈBRE IVNOTES DU COURSDaniele FaenziE-mail : [e-mail]é de Pau et des Pays de l’Adour, L.M.A.,I.P.R.A. Avenue de l’université BP 1155, 64013 PAU Cedex,Téléphone : [phone], Télécopie : [phone] 01.23 février 2009ALGÈBRE IVNOTES DU COURSDaniele FaenziTABLE DES MATIÈRES0. Rappels ............................................................ 10.1. Corps ............................................................ 10.2. Espaces vectoriels sur un corps .................................. 21. Formes bilinéaires et quadratiques .............................. 51.1. Formes bilinéaires ................................................ 51.2. Formes symétriques et antisymétriques ................ 61.3. Orthogonalité, rang .............................................. 61.4. Formes quadratiques ............................................ 11CHAPITRE 0RAPPELS0.1. CorpsPar le mot corps on désignera un corps commutatif, c’est-à-dire un ensemblemuni de les opérations de somme et produit, satisfaisant certaines conditions.Définition 0.1.1. — Un corps K est un ensemble K muni de deux opéra-tions :– la somme, qui est une application :KK!K; (a;b)!a+b;pour laquelleK est un groupe abélien, d’élément neutre 0 2K; on noteKparK l’ensembleKnf0 g.K– le produit, qui est une application :KK!K; (a;b)!ab;pour laquelle K est un groupe abélien, d’élément neutre 1 , et qui estKdistributive par rapport à la ...

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ALGÈBRE IV NOTES DU COURS

Daniele

Faenzi

Daniele Faenzi E-mail : [e-mail] Université de Pau et des Pays de l’Adour, L.M.A., I.P.R.A. Avenue de l’université BP 1155, 64013 PAU Cedex, Téléphone : [phone], Télécopie : [phone]

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février

2009

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01.

ALGÈBRE IV NOTES DU COURS

Daniele

Faenzi

TABLE DES MATIÈRES

0. Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1. Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2. Espaces vectoriels sur un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Formes bilinéaires et quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Formes bilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Formes bilinéaires symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Orthogonalité, rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 5 5 6 6 11

CHAPITRE 0

RAPPELS

0.1. Corps Par le mot corps on désignera un corps commutatif , c’est-à-dire un ensemble muni de les opérations de somme et produit, satisfaisant certaines conditions. Définition 0.1.1 . — Un corps K est un ensemble K muni de deux opéra- tions : – la somme, qui est une application : K × K → K , ( a, b ) → a + b, pour laquelle K est un groupe abélien, d’élément neutre 0 K ∈ K ; on note par K × l’ensemble K \ { 0 K } . – le produit, qui est une application : K × K → K , ( a, b ) → ab, pour laquelle K ∗ est un groupe abélien, d’élément neutre 1 K , et qui est distributive par rapport à la somme. Voici des exemples de corps. Exemple 0.1.2 . — L’ensemble des nombres rationnels Q est un corps par rapport aux opérations usuelles de somme et produit. En effet, la somme rend Q un groupe abélien (i.e. commutatif), le produit est distributif par rapport à la somme, le produit de nombre rationnels est commutatif, et chaque élément non nul de Q admet un inverse pour le produit. De même l’ensemble R des nombre réels est un corps. L’ensemble des nombres complexes C est aussi un corps.

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CHAPITRE 0. RAPPELS

Exemple 0.1.3 . — Par contre l’ensemble des nombres entiers Z n’est pas un corps. En effet, seulement les éléments 1 et − 1 admettent un inverse pour la multiplication dans Z . Le plus petit corps qui contient Z est Q . Exemple 0.1.4 . — L’ensemble des classes d’équivalence A = Z /n Z est un corps si et seulement si n est un nombre premier. En effet, si n = m` , avec m 6 = 1 et ` 6 = 1 , alors on les classes ` et m de ` et m dans A sont différentes de zéro. Cependant, on a `m = n = 0 , donc ` et m ne peuvent pas être inversibles dans A . Réciproquement, le théorème de Bachet-Bézout (dont une démonstration est donnée par l’algorithme d’Euclide étendu) dit que, étant donnés deux entiers m , n , il existe deux entiers p , q tels que : (1) pgcd( m, n ) = pn + qm. Si n est premier, alors pgcd( m, n ) = 1 , donc, en regardant (1) sur Z /n Z on obtient : pn = 1 , ce qui implique que m est inversible dans A . Il existe un grand nombre d’exemples de corps, mais nous seront principa- lement intéressés aux corps R et C .

0.2. Espaces vectoriels sur un corps Soit K un corps (donc un corps commutatif d’après notre définition). Un espace vectoriel sur K est un ensemble E muni d’une opération de somme, et de multiplication par un élément de K . Définition 0.2.1 . — Un espace vectoriel sur K est un ensemble E muni de : – une opération somme : E × E → E, ( u, v ) → u + v, pour laquelle E est un groupe abélien, d’élément neutre 0 E ∈ E ; – une opération produit : K × E → E, ( a, u ) → au,

0.2. ESPACES VECTORIELS SUR UN CORPS

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telle que, pour tout a, b ∈ K , u, v ∈ K , l’on ait : ( a + b ) u = au + bu, ( ab ) u = a ( bu ) , a ( u + v ) = au + av. Nous assumerons que les notions suivantes soient bien connues : – combinaison linéaire ; – famille libre ; – famille génératrice ; – base ; – dimension ; – sous-espace vectoriel, espace vectoriel quotient ; – morphisme d’espaces vectoriels (dit aussi application linéaire) ; – forme linéaire sur un espace vectoriel ; – espace dual ; – endomorphisme d’un espace vectoriel. Nous nous contenterons de travailler avec des espaces vectoriels de dimension finie. Parmi les techniques requises pour travailler avec les espaces vectoriels, celles reliées à l’emploi des matrices seront particulièrement importantes. 0.2.1. Matrices. — Soit E un espace vectoriel sur un corps K , de dimension n ∈ N . On peut donc choisir une base de E : B = ( e 1 , . . . , e n ) , avec e i ∈ E . Le choix d’une base B de E pourra influencer la manière dont on représente une application linéaire (un morphisme), un endomorphisme, etc. En fait, si F est un autre espace vectoriel, muni d’une base C = ( f 1 , . . . , f n ) , et si u est une application linéaire de E en F , Cependant, on pourra passer d’une base à une autre par des matrices de changement de base . Par cela on entend que, si B 0 = ( e 0 1 , . . . , e 0 n ) est une autre base de E , il existe une matrice P telle que : B 0 = BP,

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CHAPITRE 0. RAPPELS

ce qui signifie que P = ( p i,j ) i,j et : n b j = X p i,j b i . i =1 On peut montrer que P − 1 est la matrice de passage de B 0 à B . Cela signifie que, si P 0 = ( p i 0 ,j ) i,j est la matrice de passage de P 0 à P , alors on a : n X p i,h p 0 h,j = δ i,j , h =1 où δ i,j =  0 1 , , i i f f i i 6 = = j j . , Si u est un endomorphisme de E , alors on peut écrire la matrice de Exercice 1 (Notions de base) . — – Démontrer que si B = ( b 1 , . . . , b n ) est une base d’un espace vectoriel E , et est une base de E avec matrice de passage P de B à B 0 , on a P ∈ GL n ( K ) . Montrer – Montrer que si les coordonnées d’un vecteur x dans la base B sont donné par le vecteur colonne X , alors celles dans la base B 0 sont données par le 0 vecteur colonne X = P − 1 X . – Démontrer que si C = ( c 1 c m ) est une base d’un espace vectoriel F , , . . . , et f ∈ L ( E, F ) , la matrice ( a ij ) ij = M B,C ( f ) est donné par : m f ( b i ) = X a ji c j . j =1 – Démontrer que, si B 0 = BP et C 0 = CQ sont des bases obtenues par des matrices de passage P et Q , on a : M B 0 ,C 0 ( f ) = Q − 1 M B,C ( f ) P. – Démontrer que L ( E, F ) est un espace vectoriel sur K . Décrire une base de L ( E, F ) .

CHAPITRE 1

FORMES BILINÉAIRES ET QUADRATIQUES

Dans tout le chapitre, la lettre K désigne un corps commutatif de caracté- ristique différente de 2 . La plupart du temps on travaillera en fait avec le corps R des nombres réels, et avec C , les nombres complexes.

1.1. Formes bilinéaires 1.1.1. Forme bilinéaire sur un espace vectoriel. — Définition 1.1.1 . — Soit E un espace vectoriel sur K . Une forme bilinéaire sur E est une application : ϕ : E × E → K , telle que, pour tout λ 1 , λ 2 dans K , u, u 1 , u 2 , v, v 1 , v 2 dans E , l’on ait : (2) ϕ ( u, λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) = λ 1 ϕ ( u, v 1 ) + λ 2 ϕ ( u, v 2 ) , (3) ϕ ( λ 1 u 1 + λ 2 u 2 , v ) = λ 1 ϕ ( u 1 , v ) + λ 2 ϕ ( u 2 , v ) . 1.1.2. Matrice d’une forme bilinéaire dans une base. — Ici on suppose que l’espace vectoriel E soit de dimension finie. Proposition 1.1.2 . — Soit B une base de l’espace vectoriel E et soit ϕ une forme bilinéaire sur E . Si les vecteurs colonne X = ( x 1 , . . . , x n ) t , Y = ( y 1 , . . . , y n ) t représentent les coordonnées des vecteurs u et v de E dans la base B , alors on a : ϕ ( u, v ) = X t M B ( ϕ ) Y. Proposition 1.1.3 (Critère de bilinéarité) . — Soit B une base de l’es- pace vectoriel E et soit ψ une application de E × E sur K . Alors ψ est bi- linéaire si et seulement s’il existe une matrice M ∈ M n ( K ) telle que, pour