Comment factoriser une expression

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Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr COMMENT FACTORISER UNE EXPRESSION ? 1) La méthode du facteur commun : Le principe : Si tous les produits d’une même somme contiennent un même facteur ,on appelle ce facteur, le facteur commun. On applique alors la formule: ka + kb = k(a + b) Exemples Commentaires 3x + 12 Dans cette somme le facteur commun est le nombre 3 On met en évidence le facteur commun =3x + 3 ×4 On met en facteur 3 =3(x + 4) 24x + 2xDans cette sommun est l’expression 2x On met en évidence le facteur commun, 2x est le produit de 2x par 1 =2x ×2x + 2x × 1 On met en facteur 2x =2x (2x + 1) (3x + 1)(x + 2) – (x + 2)(x – 5) Dans cette expression le facteur commun est l’expression (x + 2) =(x + 2)[(3x + 1) – (x – 5)] On met en facteur (x + 2) =(x + 2)( 3x + 1 – x + 5) On développe à l’intérieur des crochets =(x + 2)(2x + 6) On réduit, 2 est le facteur commun de la somme 2x + 6 = 2(x + 3) =(x + 2)[2(x + 3)] =2(x + 2)(x + 3) 2(x + 3) + 2(x + 3) (x + 3) est le facteur commun 2=(x + 3)(x + 3) + 2(x + 3) a est le produit de a par a, on met le facteur commun en évidence =(x + 3)[(x + 3) + 2] on met (x + 3) en facteur =(x + 3)(x + 5) on développe et on réduit à l’intérieur des crochets (x – 5)(x + 2) – (x – 2) Il n’y a pas de facteur commun dans cette expression 2) Les identités remarquables 2 222 2222ab+= a+2ab+b ab− =−a 2ab+b ab− =−aba+b () () ( ) ( ) Exemples Commentaires 2 22x - 6x + 9 ...

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M. CUAZ,Cours et exercices de mathématiqueshttp://mathscyr.free.fr COMMENT FACTORISER  UNEEXPRESSION ? 1) Laméthode du facteur commun : Le principe : Si tous les produits d’une même somme contiennent un même facteur ,on appelle ce facteur,le facteur commun. On applique alors la formule:ka+kb =k(a+b) Exemples Commentaires 3xDans cette somme le facteur commun est le nombre 3+ 12 =3x+ 3× 4 Onmet en évidence le facteur commun =3(x+ 4) On met en facteur 3 2 4x+ 2x Danscette somme le facteur commun est l’expression 2x =2x×2x+ 2x× 1 Onmet en évidence le facteur commun, 2xest le produit de 2xpar 1 =2x(2x+ 1) On met en facteur 2x (3x+ 1)(x+ 2) – (x+ 2)(xDans cette expression le facteur commun est l’expression (– 5)x+ 2) =(x+ 2)[(3x+ 1) – (xOn met en facteur (– 5)]x+ 2) =(x+ 2)( 3x+ 1 –x+ 5)On développe à l’intérieur des crochets =(x+ 2)(2xOn réduit, 2 est le facteur commun de la somme 2+ 6)x+ 6 = 2(x+ 3) =(x+ 2)[2(x+ 3)] =2(x+ 2)(x+ 3) 2 (x+ 2(+ 3)x+ 3)(x+ 3) est le facteur commun 2 =(x+ 3)(x+ 3) + 2(x+ 3)aest le produit deapara, on met le facteur commun en évidence =(x+ 3)[(x+ 3) + 2]on met (x+ 3) en facteur =(x+ 3)(xon développe et on réduit à l’intérieur des crochets+ 5) (x– 5)(x+ 2) – (x– 2)Il n’y a pas de facteur commun dans cette expression 2) Lesidentités remarquables 2 2 2 22 2 2 2 ( a+b ) =a+2ab+b ( a−b ) =a−2ab+ba−b= ( a−b ( a+b Exemples Commentaires 2 2 2 x- 6x+ 9 On vérifie si cette expression est une de la forme a−2ab+b 2 2 22 =(x– 3) a←xb← 9 =(x– 3)(x– 3) a←xb←3 On vérifie le double produit 2ab= 2x×3 = 6x 2 2 2 On a bien à faire à une identité remarquable a−2ab+b= ( a−b ) 2 2 2 2 4x+ 12x+ 9 a←4xb← 9 2 =(2x+ 3) a←2xb← 3 =(2x+ 3)(2x+ 3) On vérifie le double produit 2ab= 2(2x)×3 = 12x 2 2 2 On a bien à faire à une identité remarquable a+2ab+b= ( a+b ) 2 2 2 x+ 4x+ 16 a←x²b← 16 a←xb←4 On vérifie le double produit 2ab= 2x×4 = 8x 2 2 2 Ce n’est pas une identité remarquable a+2ab+b= ( a+b ) 2 2 2 4x- 9 On reconnaît la forme a−b= ( a−b ( a+b =(2x– 3)(2x+ 3) 2 22 a←4xb←9 a←2xb←3 2 2 2 4(x- 9– 3) On reconnaît la forme a−b= ( a−b ( a+b =[2(x– 3) – 3][2(x– 3) + 3] 2 22 a←4(x– 3)b←9 =(2x– 6 – 3)(2x– 6 + 3) a←2(x– 3)b←3 =(2x– 9)(2x– 3) 2 4x+ 9 Il n’y a ni facteur commun ni identités remarquables Page 1/3

e.fr M. CUAZ,Cours et exercices de mathématiqueshttp://mathscyr.fre EXERCICE CORRIGE Factorisezau maximumles expressions suivantes : 1) ( x+2 ( 2x−3+ ( x+2 ( 5x+(57 2)+2)(2x−1)−(5x+2)(5−x) 3) 4x(x+3)+2(x+3) 4)x(−x+4)−2x(2x+3) 5) 3x+2+(x+4)(3x+2) 6) ( 4x+6 (x−1)+2x+3x−9 2 2 7) ( 2x+7 ) + ( 2x+7 ) ( 6x+8 )  8)x−4+ ( x+2 ( 3x−5 2 9) (2x−5)(x+1)+(5−2x)(2x−1) 10)3(4−x)+(x+2)(x−4) 2 2 2 2 11) ( 5−3 )( x+1 ) +6x−10x+ ( 3−5x )  12) ( 2x+1 ) −4x−2+4x−1 2 2 2 13) ( 2x−4 ) −3x+96 14)+12x+4−2x ( 3x+2+ ( 4−9x ) CORRECTION 1)Facteur apparent2)Facteur apparent (5+2) (2x−1)−(5x+2) (5−x) ( x+2 ) ( 2x−3+ ( x+2 ) ( 5x+7    facteur facteur facteur communfacteur commun commun commun = ( x+2 )  ( 2x−3 ) + ( 5x+7 )    =(5x+2)  ( 2x−1 ) − ( 5−x )       facteur commun attention facteur au signe - commun devant la = ( x+2 ) ( 2x−3+5x+7 ) parenthèse =x+2 7x+4 ( )( ) =(5x+2) [ 2x−1−5+x ] =(5x+2)(3x−6) =(5x+2)(3(x−2)) factorisation au maximum =3(5x+2)(x−2) 3)Facteur apparent 4)Facteur apparent 4x(x+3)+2 (x+3) x(−x+4)−2x(2x+3)  N N facteur facteur facteur facteur commun commun commun commun =x ( −x+4−2(2x+3) ) =(x+3) ( 4x+2 ) N  facteur facteur commun commun =x ( −x+4−4x−6 ) =(x+3) ( 2 ( 2x+1 ) ) =x ( −5x−2 ) =2 ( x+3 ) ( 2x+1 ) =x ( ( −1 )( 5x+2 ) ) facultatif , mais limite = −x ( 5x+2 ) le nombre de signes - 5)Facteur apparent 6)Faire apparaître le facteur commun + ++ + 3x2 (x4)(3x2) ( 4x+6 (x−1)+ ( 2x+3 ( x−9 astuce P  = ( 2 ( 2x+3 )( x−1 ) ) + ( 2x+3 )( x−9 ) = ( 3x+2 ) ×1+ ( x+4 ) ( 3x+2 ) à retenir :   = 2 ( 2x+3 ) ( x−1 ) + ( 2x+3 )( x−9 ) = ( 3x+2 ) ×1+ ( x+ ) ( x+ ) 3x+2= ( 3x+2 ) ×1 4 32    facteur facteur facteur communfacteur commun   commun commun = ( 3x+2 )  1+ ( x+4 )  = ( 2x+3 )  2 ( x−1 ) + ( x−9 )        facteur commun = ( 2x+3 )( 2x−2+x−9 ) = ( 3 x+ 2 )( x+ 5 ) = ( 2x+3 )( 3x−11 )

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M. CUAZ,Cours et exercices de mathématiqueshttp://mathscyr.free.fr 7)8) Identités remarquables identité re N marquable 2 2 x−4+ ( x+2 ( 3x−5 ( 2x+7 ) + ( 2x+7 )( 6x+8 ) = ( 2x+7 ) ( 2x+7 ) + ( 2x+7 ) ( 6x+8 ) a−b=a+b a−b 2 2 ( )( )        facteur commun "exemplairefacteur commun ( )( )( )( supplémentaire" =x+2x−2+x+2 3x−5 )    facteur facteur commun commun   = ( 2x+7 )  ( 2x+7 ) + ( 6x+8 )  = ( x+2 ) ( ( x−2 ) + ( 3x−5 ) )    facteur commun"exemplaire  restant"  = ( x+2 ) ( x−2+3x−5 )   = ( 2x+7 ) ( 2x+7+6x+8 ) = ( 2x+7 ) ( 8x+15 ) = ( x+2 ) ( 4x−7 ) 9)Transformations d’écriture 10)Transformations d’écriture 2 ( 2x−5 ( x+1+ ( 5−2x ( 2x−1 3 4+− +2−4 ( x ) ( x ) ( x ) = ( 2x−5 )( x+1 ) + ( −2x+5 ) ( 2x−1 ) 2  =3 ( −x+4 ) + ( x+2 ) ( x−4 )   à retenir :  factorisation par -1 pour faire apparaitre  2 2 2 le fa = − −+ −x+4=x−4 cteur commun 3 ( ( x4 ) ) ( x+2 )( x−4 )  ( )( )  2 2 = ( 2x−5 ) ( x+1 ) + ( −1 ) ( 2x−5 ) ( 2x−1 ) =3 ( −1 ) ( x−4 ) + ( x+2 ) ( x−4 )    facteur communfacteur commun =3 ( x−4 ) ( x−4 ) + ( x+2 ) ( x−4 ) = ( 2x−5 )  ( x+1 ) + ( −1 )( 2x−1 )       facteur facteur facteur commun commun commun = ( 2x−5 ) [ x+1−2x+1 ] = ( x−4 )  3 ( x−4 ) + ( x+2 )  = ( x−4 ) ( 3x−12+x+2 )    = ( 2x−5 )( −x+2 ) facteur commun = ( x−4 ( 4x−10= ( x−4 ( 2 ( 2x−5=2 ( x−4 ( 2x−5 11) Faire apparaître le facteur commun12)Identités remarquables 2 2 2 2 + −− +− ( 5x−3 ) ( x+1 ) +6x−10x+ ( 3−5x ) ( 2x1 4x2 ( 4x1 )  = ( 2x+1 )( 2x+1 ) −2 ( 2x+1 ) + ( 2x+1 )( 2x−1 )         = ( −1 ) × ( 3−5 ) ( x+1 ) +2x ( 3−5x ) + ( 3−5x ) ( 3−5x ) facteur facteurfacteur      communcommun commun  facteur commun  facteur communfacteur commun = ( 2x+1 )  ( 2x+1 ) −2+ ( 2x−1 )    = ( 3−5x )  ( −1 ) × ( x+1 ) +2x+ ( 3−5x )    = ( 2x+1 )( 2x+1−2+2x−1 ) = ( 2x+1 ) ( 4x−2 ) = ( 3−5x ) [ −x−1+2x+3−5x ] = ( 3−5x )( −4x+2 ) = ( 2x+1 ) ( 2 ( 2x−1 ) ) =2 ( 2x+1 )( 2x−1 ) = ( 3−5x ) ( 2 ( −2x+1 ) ) =2 ( 3−5x ) ( −2x+1 ) 13)Faire apparaître le facteur commun14)Identités remarquables 2   ( 2x−4−3x+6   2 2 9x+12x+4−2x ( 3x+2 ) +4−9x = ( 2x−4 )( 2x−4 ) −3 ( x−2 )      identité remarquableidentité remarquable 2 22 2 2 a−b= ( a−b )( a+b ) = ( 2 ( x−2 ) ) ( 2x−4 ) −3 ( x−2 )   a+2ab+b= ( a+b ) 2 = ( 3x+2 ) −2x ( 3x+2 ) + ( 2−3x ) ( 2+3x ) =2 ( x−2 )( 2x−4 ) −3 ( x−2 )  facteur facteur = ( 3x+2 )( 3x+2 ) −2x ( 3x+2 ) + ( 2−3x ) ( 3x+2 ) commun commun       facteur facteurfacteur = ( x−2 )  2 ( 2x−4 ) −3  commun communcommun   = ( 3x+2 )  ( 3x+2 ) −2x+ ( 2−3x )  = ( x−2 ) ( 4x−8−3 ) = ( x−2 )( 4x−11 )   = ( 3x+2 )( 3x+2−2x+2−3x ) = ( 3x+2 )( −2x+4 ) = ( 3x+2 ) ( ( −2 ) ( x−2 ) ) = −2 ( 3x+2 ) ( x−2 )

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