contribution à l’étude des ondes de gravité de faible amplitude par introduction d’une viscosité

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èmeXV Congrès Français de Mécanique Nancy, 3 – 7 Septembre 2001 270 CONTRIBUTION A L’ETUDE DES ONDES DE GRAVITE DE FAIBLE AMPLITUDE PAR INTRODUCTION D’UNE VISCOSITE ARTIFICIELLE. Fatiha CHERIFI*, Karima BOUZELHA*, Malek BOUHADEF** et Tahar ZITOUN** * Département de Génie Civil Université Mouloud Mammeri 15000 Tizi Ouzou (Algérie) ** Laboratoire d’Hydraulique Département Génie Civil. U.S.T.H.B. B.P. 32 Bab Ezzouar, 16111 Alger (Algérie) Résumé : On détermine, par voie numérique, la traînée d’onde induite par un obstacle noyé au fond d’un canal hydraulique. Ceci a été rendu possible par l'introduction, dans les conditions aux limites amont de surface libre, d’un terme supplémentaire classique de perturbation rendant compte de la dissymétrie amont – aval de l’écoulement. Les résultats obtenus sont corroborés par ceux issus de l'étude analytique entreprise et des mesures de longueurs d'onde effectuées en laboratoire. On montre que la valeur optimale de la viscosité artificielle croît avec le nombre de Froude et dépend de la forme de l’obstacle. Abstract : The wave drag of a two-dimensional body, due to the small amplitude gravity waves created behind it, is numerically computed. The resolution has been achieved by introducing an optimum well known additional singular perturbation on the upstream free-surface boundary condition to take into account the obvious upstream - downstream unsymmetry of the flow. The obtained results are corroborated by those ...

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XV

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Congrès Français de Mécanique

Nancy, 3 – 7 Septembre 2001

1

270

CONTRIBUTION A L

’

ETUDE DES ONDES DE GRAVITE DE FAIBLE

AMPLITUDE PAR INTRODUCTION D

’

UNE VISCOSITE ARTIFICIELLE

.

Fatiha CHERIFI*, Karima BOUZELHA*, Malek BOUHADEF** et Tahar ZITOUN**

* Département de Génie Civil Université Mouloud Mammeri

15000 Tizi Ouzou (Algérie)

** Laboratoire d’Hydraulique Département Génie Civil. U.S.T.H.B.

B.P. 32 Bab Ezzouar, 16111 Alger (Algérie)

Résumé :

On détermine, par voie numérique, la traînée d’onde induite par un obstacle noyé au fond d’un canal

hydraulique. Ceci a été rendu possible par l'introduction, dans les conditions aux limites amont de surface libre,

d’un terme supplémentaire classique de perturbation rendant compte de la dissymétrie amont – aval de

l’écoulement. Les résultats obtenus sont corroborés par ceux issus de l'étude analytique entreprise et des

mesures de longueurs d'onde effectuées en laboratoire. On montre que la valeur optimale de la viscosité

artificielle croît avec le nombre de Froude et dépend de la forme de l’obstacle.

Abstract :

The wave drag of a two-dimensional body, due to the small amplitude gravity waves created behind it, is

numerically computed. The resolution has been achieved by introducing an optimum well known additional

singular perturbation on the upstream free-surface boundary condition to take into account the obvious

upstream - downstream unsymmetry of the flow. The obtained results are corroborated by those issued from the

analytical linear theory, and by some experiments for the measured wavelengths. It is shown that the optimal

value of the artificial viscosity increases with the Froude number and depends on the shape on the obstacle.

Mots clés : Ondes de gravité - théorie linéaire - différences finies - viscosité artificielle

1 Introduction

Les écoulements à surface libre présentent la difficulté mathématique de comporter une

frontière inconnue sur laquelle doivent être imposées deux conditions aux limites, une

cinématique et l'autre dynamique. On sait également que les ondes, résultant de la présence

d’obstacles dans le fluide, sont localisées en aval de ceux-ci vu que leur vitesse de groupe est

strictement positive. De ce fait, il y a une dissymétrie de la solution entre l'amont et l'aval de

l'obstacle ; il y a alors nécessité de traiter différemment la condition de surface libre suivant la

zone considérée. La difficulté est quelque peu atténuée si les ondes sont de faible amplitude

de manière à pouvoir transférer les conditions aux limites sur un plan horizontal. Il y a lieu

cependant de noter que la solution linéaire n'est pas inutile puisque, dans certaines résolutions

numériques, elle est utilisée pour réduire le domaine spatial ou initialiser un processus itératif.

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C'est le cas de Bai (1977), Korving et al (1977), Cahouet et al (1983), Souli et al (1996), pour

n'en citer que quelques uns.

En théorie linéaire, et par application de la méthode des singularités, Gazdar (1973)

montre que la longueur de ces ondes est indépendante de la forme de l’obstacle. Pour certains

profils, aucun phénomène d'ondes n’est observé en aval de l’obstacle. Lamb (1932), en

utilisant la décomposition de Fourier, constate que la surface libre ne dépend, pour les

obstacles isolés, que de l'aire sous la courbe les définissant. La même méthode a été utilisée,

par Boutros et al (1986), dans le cas d’un obstacle simple. Forbes et al (1982) remarquent que

les effets du second ordre deviennent non négligeables sur la traînée d'ondes pour des

longueurs d’obstacle et des nombres de Froude importants. Euvrard (1976) introduit une

perturbation singulière dans la condition de surface libre pour traiter le problème.

Dans cet article, on essaie de mettre en évidence l'existence d'une valeur optimale de la

viscosité artificielle dépendant du nombre de Froude et de la forme de l'obstacle. C'est la

solution analytique, pour les obstacles considérés, qui servira de comparaison.

2 Formulation mathématique

On considère l'écoulement permanent bidimensionnel irrotationnel d'un fluide parfait

incompressible au-dessus d'un obstacle noyé au fond d'un canal hydraulique comme

schématisé sur la figure 1. Les effets de tension superficielle seront négligés.

-

V

0

H

0

x

y = f(x)

y = 0

E

F

y

FIG. 1 : Schéma physique du problème

Compte tenu des propriétés de l'écoulement, le problème revient à déterminer une fonction

de courant

ψ

ou un potentiel de vitesse

φ

de perturbation harmoniques.

Les conditions aux limites doivent traduire le fait que le fond du canal est une ligne de

courant ainsi que la surface libre, au niveau de laquelle on doit écrire également la condition

dynamique de Bernoulli. Pour fermer le problème, il faut expliciter les conditions à l’infini

amont et aval.

2.1 Résolution numérique

Nous utiliserons, dans cette partie, la formulation en potentiel de perturbation. Les

équations s'écrivent alors :

∆φ

= 0

(1)

φ

y

= -V

0

f' pour y = -H

0

+ f(x)

(2)

où f' représente la dérivée de la fonction f(x) décrivant la forme de l'obstacle. V

0

et H

0

sont

respectivement la vitesse et la profondeur de l’écoulement assez loin en amont.

k

0

φ

y

(x,0) +

φ

xx

(x,0) = 0

(3)

Lim

φ

x

= 0 pour x

→

+

∞

(4)

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φ

= A

(

)

[

]

(

)

0

1

0

1

H

k

cosh

H

y

k

h

os

c

+

cos [k

1

(x-x

0

)]

pour x

→

-

∞

A et x

0

sont des constantes arbitraires ; k

1

est la racine positive, lorsque le nombre de Froude

F

r

= V

0

/(gH

0

)

½

est inférieur à l’unité, de l'équation

th (k

1

H

0

) = k

1

/k

0

avec k

0

= g/V

0

2

.

Les équations précédentes sont discrétisées en différences centrées. Le système obtenu

comporte une matrice tridiagonale par blocs. Les inconnues sont le potentiel de perturbation

φ

et la cote y

0

de la surface libre. Celle-ci est donnée par :

y

0

(x) = V

0

/g

φ

x

(x,0)

(5)

La résolution du système obtenu conduit à une solution symétrique non conforme au

phénomène physique observé, lequel mettant en valeur une dissymétrie amont - aval par

rapport à l’obstacle. Pour reconstituer numériquement la solution observée, on introduit une

perturbation

ε

, uniquement en amont de l’obstacle, de façon à ‘renvoyer’ les ondes vers l’aval.

La condition (3), dite de ‘Neumann Kelvin’, comportera ainsi un terme supplémentaire

faisant intervenir cette viscosité artificielle :

k

0

φ

y

(x,0) +

φ

xx

(x,0) +

ε

φ

xxx

(x,0) = 0

(6)

Le programme de calcul nous permet ainsi le tracé de la surface libre correspondant à un

obstacle de forme quelconque sous différentes conditions d’écoulement amont, le calcul des

caractéristiques de l’écoulement aval, ainsi que la détermination de la ‘résistance de vagues’,

par intégration des pressions le long du profil ‘L’ de l’obstacle :

R

w

= -

ρ

V

0

∫

φ

L

0

x

dx

(7)

où

ρ

désigne la masse volumique du fluide.

Nous représentons, sur la figure 2, les profils de surface libre obtenus pour deux types

d’obstacles ayant la même épaisseur maximale adimensionnelle e. On observe, dans tous les

cas, une dépression au-dessus de l’obstacle avec un minimum de la surface libre situé

légèrement en aval du sommet, suivi d’un train d’ondes. En amont de l’obstacle, la surface

libre est quasi horizontale. Un profil semblable a été obtenu expérimentalement pour des

nombres de Froude modérés.

FIG. 2 : Profils de surface libre pour F

r

= 0,5

Nous représentons, sur la figure 3, la variation de l’amplitude adimensionnelle des ondes

en fonction du nombre de Froude amont, pour quatre profils d’obstacle différents ayant

toutefois une même épaisseur e = 0,17 et une même longueur L = 1,4.

La figure 4 met bien en évidence le fait que la longueur de l’obstacle joue un rôle

important sur la résistance de vagues puisque l’amplitude des ondes créées est même une

fonction périodique de cette longueur. Il existe alors, pour un obstacle de forme donnée et

d’épaisseur fixée, certaines longueurs qui théoriquement ne produisent pas de surface libre

ondulatoire.

V

0

0

Obstacle sinusoïdal

e = 0,12

-0,7

x

-0,1

0,5

1

-0,1

-0,7

0,5

Obstacle triangulaire

e = 0,12

V

0

y

0

x

1

0

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FIG. 3 : Evolution de l’amplitude, en fonction du nombre de Froude, pour différents obstacles

FIG. 4 : Evolution de l’amplitude des ondes en fonction de la longueur de l’obstacle

2.2 Comparaison analytique - numérique

La résolution analytique du problème, posé en terme de fonction de courant, aboutit à

l’expression (8) donnant l’équation de la surface libre pour un obstacle sinusoïdal de longueur

relative L et d’épaisseur maximale e. Rappelons que pour ce faire, nous avons utilisé la

décomposition classique de Fourier après avoir au préalable déterminé la solution élémentaire

d'un fond complètement sinusoïdal comme Bouhadef et al (1981).

π

−

π

π

π

−

α

−

−

−

π

)

L

2

sh

L

2

ch

Fr

L

2

(

L

2

)

1

L

X

2

(cos

)

X

X

L

X

L

X

(

L

Fr

e

=

y

2

2

2

2

0

)

1

ch

Fr

(

)

L

4

(

)

1

X

(cos

)

1

X

X

(

)

1

)

L

X

(

(cos

)

1

L

X

L

X

(

ch

2

2

2

2

2

2

−

α

π

−

α

−

α

+

−

−

−

α

+

−

−

α

+

∑

=

−

β

π

+

β

−

+

−

−

−

−

β

∞

β

−

−

β

−

2

n

)

1

cos

Fr

(

)

L

4

(

)

e

1

(

X

X

)

e

1

(

)

*

L

X

L

X

(

cos

2

-

n

2

2

2

2

2

n

X

L

X

n

n

n

(8)

où

α

,

β

n

sont les racines de l’équation :

th z = F

r

2

z

avec

z =

α

+ i

β

Nous avons tracé à la figure 5a les profils analytique et numérique de la surface libre pour

un même nombre de Froude et une viscosité artificielle

ε

= 0,02. Remarquons que la cote du

premier creux est nettement définie, en grandeur et en position, par le calcul numérique. Il est

toutefois à noter que ce dernier sous-estime quelque peu la longueur d’onde aval pour cette

valeur du nombre de Froude.

Sinusoïde

Triangle

Parabole

Demi ellipse

0,6

0,9

F

r

0,3

A/H

0

0

0,15

0,3

Obstacle sinusoïdal

e = 0,17 ; F

r

= 0,5

0,03

A/H

0

L

0

0

0,3

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FIG. 5 : Profils de surface libre pour un obstacle sinusoïdal

En réduisant le coefficient de perturbation à la valeur

ε

= 0,01, les deux profils, numérique

et analytique, se confondent (figure 5b). Le même constat est à faire pour ce qui est de la

résistance de vagues R

w

. En effet, Si l’on adopte une valeur constante de la viscosité

artificielle

ε

, au lieu de la faire varier avec le nombre de Froude, on note une discordance,

comme le montre la figure 6, entre le calcul numérique et les résultats analytiques.

FIG. 6 Evolution de la résistance de vagues avec le nombre de Froude

La figure 7 montre clairement que la valeur optimale de la viscosité artificielle à adopter,

pour le calcul numérique, croît avec le nombre de Froude et dépend également de la forme de

l’obstacle.

FIG.7 : Variation de la valeur optimale de la viscosité artificielle

ε

avec le nombre de Froude

0,3

R

w

e = 0,17

L = 1,4

F

r

Obstacle sinusoïdal

ε

= 0,03

0,5

0,7

0,005

0

analytique

numérique

(a)

e = 0,17

L = 1,43

analytique

numérique

y

x

-8

-4

0

4

-0,8

0,1

1

ε

= 0,02

e = 0,17

L = 1,43

y

x

-8

-4

0

4

analytique

numérique

.…

(b)

ε

= 0,01

0,1

-0,8

1

F

r

0,3

0,7

0,5

ε

0,01

0,02

0

Parabole

Sinusoïde

Triangle

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3 Conclusion

L’étude, en théorie linéaire, que nous avons entreprise, a montré que la traînée d'onde,

induite par un obstacle de faible épaisseur, noyé au fond d'un canal hydraulique, peut être

déterminée, dans le cas de l'hypothèse d'un fluide parfait, par une approche numérique en

différences finies. Le problème de Neumann-Kelvin a été résolu, en potentiel de vitesse, par

introduction, dans la condition aux limites de surface libre, en amont uniquement de

l'obstacle, d'un terme supplémentaire incluant une viscosité artificielle. On montre que cette

dernière n'est pas de petite valeur arbitraire, mais dépend de la forme de l'obstacle considéré et

croît avec le nombre de Froude de l'écoulement. Les résultats numériques obtenus ont été

validés à l'aide de la solution analytique exacte.

Références

Bai, K.J. 1977 A localized finite element method for steady two-dimensional free surface

flow problems.

1

st

. Int. Conf. on Numer. Ship Hydrodyn.

Gaithersburg, Maryland

, 209.

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au fond d'un canal.

C.R.Acad. Sci. de Paris.

292

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Boutros, Y.Z. et al. 1986 Linearized solution of a flow over a non-uniform bottom.

’ J.

Comput. and Appli. Math.

,

16

, 105.

Cahouet, J. et al. 1983 Résolution numérique du problème non linéaire de la résistance de

vagues bidimensionnelle

.

C.R.Acad. Sci. de Paris

,

297

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Euvrard, D. 1976 Sur la possibilité d'une résolution numérique directe du problème de

Neumann Kelvin, par introduction d'une perturbation singulière.

C.R.Acad. Sci. de Paris

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262

.

Forbes, L.K. et al. 1982 Free surface flow over a semicircular obstruction.

J. Fluid Mech.

114

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Gazdar, A.S. 1973 Generation of waves of small amplitude by an obstacle placed on the

bottom of a running stream.

J. Phys. Soc. Japan

34

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Korving, C. et al. 1977 The wave resistance for flow problems with a free surface .

2

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. Int.

Conf. on Numer. Ship Hydrodyn. Univ. Calif. Berkeley

, 285.

Lamb, A. 1932 Hydrodynamics.

Cambridge University Press (6

th

Ed.)

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Souli, M. et al. 1996 Finite element method for free surface flow problems.

Comput. Methods

Appl. Mech. Engrg.

129

, 43.