Contribution à l'étude numérique du comportement du béton et des structures en béton armé soumises

Nechnech, Wahid

Description

-srLŁL-¶r¶j-¶¶r¶r-r¶k¶e-j÷æł¶öyçys‡Łyæy¶y¶k-e÷ełçö‡Annexe C Formulation thermodynamiqueANNEXE CFORMULATION THERMODYNAMIQUE(INTERACTION THERMO MECANIQUE NEGLIGEE)Afin de définir clairement et séparer les différents couplages entre les variables d'état de cemodèle, il est intéressant d'utiliser le cadre théorique de la thermodynamique des milieuxcontinus. Rappelons tout d'abord l'expression de la dissipation totale du système.gradTj=:-r()y +sT-q.‡0 (C.1)s eTeoù y=y(), D, L,k est l'énergie libre du système, fonction des différentes variables d'étatdu système.On peut décomposer la dissipation (équation C.1) en la somme de deux termes:j=s:e-r()y+sT (C.2)1gradTj = q 0 (C.3)2Toù et représentent respectivement la dissipation intrinsèque (mécanique) et la1 2dissipation thermique, associée au transport de chaleur.Sous l'hypothèse du découplage entre dissipation thermique et mécanique, le second principede la thermodynamique impose que la dissipation mécanique soit positive. En remplaçant ladifférentiation de l'énergie libre par rapport aux variables d'états dans l'inégalité (C.2), onobtient :e p : + : s + T D 0 (C.4)e T Dexpression où l'on remarque que les quatre premiers termes sont classiquement définis dans laformulation thermodynamique des modèles thermo élasto ...

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Extrait

Annexe CFormulation thermodynamique

ANNEXE C FORMULATION THERMODYNAMIQUE (INTERACTION THERMO-MECANIQUE NEGLIGEE)

Afin de définir clairement et séparer les différents couplages entre les variables d'état de ce modèle, il est intéressant d'utiliser le cadre théorique de la thermodynamique des milieux continus. Rappelons tout d'abord l'expression de la dissipation totale du système.

gradT  j 1 s :  e% r ( y  # sT ! % q. ³ 0 T

(C.1)

e oùy 1 y ( e ,D, > , k !  estl'énergie libre du système, fonction des différentes variables d'état du système.

On peut décomposer la dissipationj(équation C.1) en la somme de deux termes:

 j 1 1 s :  e%r ( y  # sT !

gradT j 1 % q ³ 0 2 T

(C.2)

(C.3)

j j où 1  et 2 respectivement la dissipation intrinsèque (mécanique) et la représentent dissipation thermique, associée au transport de chaleur.

Sous l'hypothèse du découplage entre dissipation thermique et mécanique, le second principe de la thermodynamique impose que la dissipation mécanique soit positive. En remplaçant la différentiation de l'énergie libre par rapport aux variables d'états dans l'inégalité (C.2), on obtient :

æ ¶ y ö æ ¶ y ö ¶ y ¶ y ¶ y   e p ç s% r ÷ :  e #s :  e % r ç s # ÷ T % r k  % rD % r > ³ 0 e è ¶e ø è ¶T¶ø ¶kD¶>

(C.4)

expression où l'on remarque que les quatre premiers termes sont classiquement définis dans la formulation thermodynamique des modèles thermo-élasto-plastiques et conduisent aux équations d'état suivantes:

-200-

Annexe CFormulation thermodynamique

¶ y ¶ y ¶ y ¶ y s 1 r 1 % r ; s 1 %;A1 r e p ¶e ¶e ¶ T ¶k

(C.5)

Elles définissent le tenseur de contraintes, l'entropie s et le tenseur force d'écrouissageA comme les forces thermodynamiques associées aux évolutions des variables de déformation plastique, de température et d'écrouissage.

Auxquels vient s'ajouter deux équations supplémentaires définissant la force thermodynamique Y associée aux évolutions de la variable d'endommagement mécanique D et la force thermodynamique X aux évolutions de la variable d'endommagement associée thermique> modélisantau niveau macroscopique les phénomènes physique à l'origine des effets du chargement thermique et mécanique : ¶ y Y 1 % r (C.6) ¶ D

¶ y X 1 % r (C.7) ¶> En élasto-plasticité (ou viscoplasticité), les déformations n'interviennent que sous la forme de leur partition, soit : p q e e%e %e 1e(C.8)

L’énergie libre peut se mettre sous la forme :

e y 1 y ( e, q , D ,>,k !

(C.9)

Cette dernière équation peut s’exprimer en fonction du potentiel thermodynamique du matériau non endommagé par :

e y 1 ( 1% d ! y ( e, q ,k !  avec d 1 ( 1% D !( 1%> ! 0

(C.10)

Intéressons nous maintenant à l'expression de l'énergie libre. Nous adoptons dans tout ce qui suit l'hypothèse du découplage entre les effets d'écrouissage et autres. Le potentiel thermodynamique y s'écrit sous cette hypothèse sous la forme :

e ep y 1 y ( e, q ! # y ( k ! 0 00

le potentiel thermodynamique élastique du matériau vierge est donné par :

-201-

(C.11)

Annexe CFormulation thermodynamique

2 e e 1 ee e 1 q ry 0 ( e , q ! 1 e : E 0 : e % q m : e% C 0 0 2 2 T 0

(C.12)

C dans lequel 0 représente la chaleur spécifique, T 0 la température de référence du système et

E le tenseur de rigidité initial du matériau non endommagé. 0

Le tenseur du deuxième ordre de couplage thermo-mécanique m est donné par : 0

m 1 3 K a× 1 0 0

(C.13)

K et a désignent respectivement le module de compressibilité volumique et le coefficient de 0 dilatation thermique, 1 représente le tenseur unité.

Le potentiel thermodynamique plastique associé à la contrainte effective est étendu à la thermoplasticité est donnée par (Lee 1998) :

k k t c æ ~ ~ p p ç ÷ ry ( k ! 1 s : d e % t ( k , T ! d k # t ( k , T ! d k ò ç ò ò ÷ 0 c ct t è ø 0 0

(C.14)

La donnée de ces potentiels thermodynamiques permettent d'écrire les lois d'états: ¶ y e e s 1 r 1 %e % e ( 1 d ! ( E 0 : q m 0 ! (C.15) ¶ e

¶ y æ C e 0 e s 1 %1 ( 1 % d ! ç # m 0 : e ÷ q ¶ T T è 0 ø

Y 1 ( 1 %> ! y 0

! y X 1 ( 1 % D 0

~ ì t ( k , T ! ü t t A 1 % í ý ~ t ( k , T ! î þ c c

En remplaçant les équations (C.15 à C.19) dans l’équation (C.4), on obtient :

~ ~ p   s :  e # { ( 1 %> ! D # ( 1 % D ! > } y # { t ( k , T ! k  # t ( k , T ! k  } ³ 0 0 c ct tt c

L’inégalité (C.20) est positive si et seulement si :

-202-

(C.16)

(C.17)

(C.18)

(C.19)

(C.20)

Annexe CFormulation thermodynamique

p   Le potentiel plastique est une fonction convexe ( s :  e), D ³0 et> ³0 ,également k  ³0 . x Ainsi la dissipation intrinsèque est toujours positive.

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