Corrigé du bac blanc 2014 de mathématiques - série S

Description

Corrig´e du sujet de Math´ematiques - Terminale S - Enseignement obligatoire Exercice 1 1. ‚ Chaque tirage d´efinit une ´epreuve de Bernoulli de succ`es “la boule tir´ee est blanche” (par exemple), de probabilit´e 1{2. ‚ On r´ep`ete cette´epreuve de fa¸con ind´ependantek fois. (Le tirage se faisant avec remise, les tirages sont ind´ependants les uns des autres). On d´efinit ainsi un sch´ema de Bernoulli. ‚ Soit X la variable al´eatoire qui a` ce sch´ema associe le nombre de succ`es obtenus. X suit donc la loiBpk,1{2q. L’´ev´enement “toutes les boules tir´ees sont de la mˆeme couleur” correspond `a l’ ´ev ´enemen t pX “ 0qYpX “ kq. Et PppX “ 0qYpX “ kqq“ PpX “ 0q`PpX “ kq carpX “ 0q etpX “ kq sont incompatibles. ˆ ˙ ˆ ˙ ˆ ˙k k k´1 1 1 1 Ainsi, PppX “ 0qYpX “ kqq“ ` “ 2 2 2 2. A est un entier naturel choisi au hasard entre 1 et 7. ‚ Ce choix d´efinit une ´epreuve de Bernoulli de succ`es “A est strictement sup´erieur `a 5” de probabilit´e 2{7 (en effet, il n’y a que deux entiers compris entre 1 et 7 strictement sup´erieurs a` 5, il s’agit de 6 et 7). ‚Onr´ep`etecette´epreuve9foisdefa¸conind´ependante.Ils’agitd’unsch´ema de Bernoulli. ‚ Soit X la variable al´eatoire qui a` ce sch´ema associe le nombre de succ`es obtenus (en effet, C est augment´e d’une unit´e d`es que le succ`es est obtenu, et demeure inchang´e sinon). Ainsi, X suit la loiBp9,2{7q. 3.

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• Publié le: 13 juin 2014
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Extrait

Corrig´edusujetdeMathe´matiques-TerminaleS-Enseignement
obligatoire

Exercice 1

1.‚terie´e“salobluCteriahuqe´nfigadeepe´uniteBeduvreilluonree`ccused
estblanche”(parexemple),deprobabilit´e1{2.
‚ervu´epeectte`et´epeninda¸coedefetnadnOnepr´kfois. (Le tirage se faisant
avecremise,lestiragessontinde´pendantslesunsdesautres).
Onde´finitainsiunsch´emadeBernoulli.
‚SoitXucesesc`monederbossaleical`icaeruqe´amsehcablevariatoial´e
obtenus.
Xsuit donc la loiBpk,1{2q.
L’´ev´enement“touteslesboulestire´essontdelameˆmecouleur”correspond
`al’´ev´enementpX“0q Y pX“kq.
EtPppX“0q Y pX“kqq “PpX“0q `PpX“kqcarpX“0qetpX“kq
sont incompatibles.
ˆ ˙ˆ ˙ˆ ˙
k kk´1
1 11
Ainsi,PppX“0q Y pX“kqq “` “
2 22

2.Aest un entier naturel choisi au hasard entre 1 et 7.
‚iohceCmetctnereepe´unitfin´exdonluiledvudeBereAeststrisucc`es“
supe´rieura`5”deprobabilite´2{7 (en effet, il n’y a que deux entiers compris
entre1et7strictementsup´erieurs`a5,ils’agitde6et7).
‚am´echns’utdgi’alsI.etnadnepe´dninueevf9iodsfe¸aoc´ep`etecette´eprrnO
de Bernoulli.
‚SoitXlealriablavacu`csemorbdesecisoenel´echasma`iuqsecatae´erio
obtenus (en effet,C´ed’uneesutaugmentqseuelusin´tdee`teob,nu`eccstse
etdemeureinchange´sinon).

Ainsi,Xsuit la loiBp9,2{7q.
3. Ona :PpXă3q “0,:a`tuaviuqe´iuqec3
ż
3
´λx
λe dx“0,3
0
´λx3
r´es “0,3
0
´3λ
´e`1“0,3
´3λ
e“0,7
´3λ“lnp0,7q
lnp0,7q
λ“
´3
Ainsi,λ»0,119.
4. Ona :Pp20´uασăYă20`uασq “1´α.
Ici,α“0,12, doncu0,12»1,55

1

(u0,12“FracNormale(1-0.12/2,0,1)sur TI.).

Ainsi, 20`1,55σ»`u’o,d23σ»1,930.

5.Lafre´quencedesvoixfavorablesa`Aobserv´eesdansl’e´chantillondetaille
500 vaut 260{500“0,52
L’intervalle de confiance (au seuil de confiance de 5%) est :
«ff
c c
0,52ˆ0,48 0,52ˆ0,48
0,52´1,096 ;,52`1,96
500 500
“ r0,476; 0,564s
.

Cela signifie que cet intervalle a 95% de chance de contenir la proportion
nationale du nombre de voix favorables au candidat A.
On pourrait affierqurm97,5’ilaahcnd%ceteerdeˆ’lu´elasirnbonfeiire´erue
decetintervalle´etaitaumoinse´galea`0,5.Cequin’estpaslecasici.

Exercice 2
Onconside`relafonctionfesurefinid´Rpar
´x
fpxq “ p1´xqe
´Ñ´Ñ
Dansunplanmunid’unrepe`reorthonorm´epO;ji ,q2emcl,agraphiqud’unit´e
repr´esentationgraphiquedefee´setontC.

1.‚Limite en´8

lim 1´x“ `8
xÑ´8
´x
lime“ `8
xÑ´8
Par produit,limfpxq “ `8
xÑ´8
‚Limite en`8
1x
Pourtoutr´eelx; on afpx´q “.
x x
e e
1
lim“0
x
xÑ`8
e
x
lim“0
x
xÑ`8
e
(D’apr`eslethe´or`emedescroissancescompare´es.)

Par diffre´emlie,ncfpxq “0
xÑ´8
Onend´eduitqueCed’´equaasymptotemdaenutitnoy“0 en`8.

2

´
2. Etudierles variations defsurR. (On en dressera un tableau de variation
complet).
xÞÑ1´xest affienodrsuleabiverd´ncR
x
xÞÑebavire´dtserlesuR(par construction de la fonction exponentielle
dans les programmes de Term. S) et ne s’annule pas surR.

Ainsi, par quotient,festd´erivablesurRptetruortuolee´x:

1 ´x´x´x´x
fpxq “ ´1ˆe` p1´xq ˆeˆ p´1q “ep´1´1`xq “epx´2q

Pour´etudierlesvariationsdeflesignedetudionsoidne´irsefanotceev´rsu´,
R.
´x1
Pourtoutre´elx,eą0, doncfpxqquneigeseemeˆmudtsx´2.
On a donc :

3.‚fest continue surr´1; 0ssteeerd´abivsuletnatnnoduqe´lle’(´erRet que
r´1; 0sest un sous-ensemble continu deR).
‚frce´dtnemetcirtsstesuranteoissr´1; 0s.
‚fp´1q “2eą3 etfp0q “1ă3

Ainsi,d’apre`slethe´ore`medelavaleurinterm´ediaire,ilexisteununique
r´eelαP r´1; 0stel quefpαq “3.

`
A l’aide de la calculatrice, on obtient que :αPs ´0,62;´0,61r
´x
4.Pourtoutre´elx,eą0 donc,fpxqest du signe de 1´x.
On a donc le tableau de signe suivant :

1
5.Fest une primitive defsurRsi et seulement si@xPR,Fpxq “fpxq.

1 ´x´x´x
OrFpxq “1ˆe`xˆeˆ p´1q “ep1´xq “fpxq.

3

FnuietbesedevitimirpenfsurR.

6.L’airedudomained´elimite´parlacourbeC, l’axe des abscisses et les droites
d’e´quationsx“ ´1 etx“st0eodnne´pera:
ż
0
fpxqdx
´1
Or,
ż
0
1
fpxqdx“Fp0q ´Fp´1q “0´ p´1q ˆe“e
´1
Cette aire vaut donceetvns,ioiaerse’dnit´u2onir,.eria’dest´ni8u71

Exercice 3

5
pEq ôz“1
.
iθ`
1. Oncherche les solutionszdepEqsous la formez“r.e(avecrPRet
θPs ´π;πs).

5 5i5θ
z“1ôr e“avtuqeiua`:i´quce1
"
5
r“1
5θ”0r2πs
"
r“1
2π
θ”0r s
5
L’ensemble des solutions depEqest donc l’ensemble des complexes de module 1
2π
d’argumentku`okPZ.
5

Onnotequetoutescessolutionssontde´critesquandkprend les valeurs 0, 1, 2, 3
et 4, ainsi, l’ensemble des solutions depEqest :

2π4π6π8π
i i i i
t1;e;e;e;eu
5 5 5 5

2.Cespointssontsitue´ssurlecercledecentreOygonepoln1.Lrayoteede´mrofe
parcescinqpointsestunpentagoner´egulier.
1
iθ´iθ
3.z` “e`e“2 cospθq.
z
(D’apre`slesformulesdeMoivre).

4 3 25 4 3 24 3 25
4.@zPC,pz´1qpz`z`z`z`1q “z`z`z`z`z´z´z´z´z´1“z´1
5. Soitz‰0.

1 11 1
2 22
On a :Z`Z´1“ pz` p` qz´` q1“z`2` `z` ´1
2
z zz z
1 1
2
“z`1` `z`
2
z z

4

4 3 2
z`z`z`z`1
“
2
z
12
Ainsi,zest solution depEqsi et seulement siZ`Z´1“0.
2 2
6. Lediscriminant deZ`Z´1 vaut 1´4ˆ1ˆ p´1q “5ą0
2
L’e´quationZ`Z´1“:setcnitsidsellesr´etionsoluedxuniisemat0da
? ?
´1´5´1`5
et
2 2
1
7.End´eduirel’e´criturecart´esiennedessolutionszdepEq.
? ?
1´1´5 1´1`5
1
zest solution depEqsi et seulement siz` “ouz` “
z2z2
Cequi´equivauta`:
?
1`5
2
z`z`1“0 : (i)
2
ou
?
1´5
2
z`z`1“0 (ii)
2
? ?
1`5 3`5
2
‚ee(i)iondolutR´esnadtminisircL:dez`z`1 vaut´4“
2 2
?
´5`5
ă0
2
Ainsi,(i)admetdeuxsolutionscomplexesconjugue´es:
c c
? ?? ?
1`5 5´5 1`5 5´5
´ ´i´ `i
2 22 2
et
2 2
Soit,ensimplifiantles´ecritures:
d d
? ?? ?
1`5 5´5 1`5 5´5
´ ´iet´ `i
4 84 8
? ?
1´5 3´5
2
‚ntdeminascriLedi(edn:)iiloseoituR´z`z`1 vaut´4“
2 2
?
´5´5
ă0
2
Ainsi,(ii)admetdeuxsolutionscomplexesconjugu´ees:
c c
? ?? ?
1´5 5`5 1´5 5`5
´ ´i´ `i
2 22 2
et
2 2
Soit,ensimplifiantles´ecritures:
d d
? ?? ?
´1`5 5`5´1`5 5`5
´iet`i
4 84 8

5

1
Finalement, l’ensemble des solutions depEqest :
$ dd d d,
? ?? ?? ?? ?
& .
1`5 5´5 1`5 5´5´1`5 5`5´1`5 5`5
´ ´i;´ `i;´i;`i
%4 84 84 84 8-

4 3 25
8. Ona vu que@zPC,pz´1qpz`z`z`z`1q “z´1
5
Ainsi,zest solution depEqa`tuaviuqe´z´1“a`:vautequiqui´0ce
4 3 2
pz´1qpz`z`z`z`1q “0
4 3 2
z´1“0 ouz`z`z`z`1“0
1
z“1 ouzsolution depEq.

1
Ainsi, l’ensemble des solutions depEqcomprend toutes les solutions depEqet 1.

Exercice 4
Iln’estpasn´ecessairedetestertouteslesre´ponsespoursavoirlaquelleestvraie,
en effueqxiutnnioc-retqe’uno´nnadt´,teieratvesleeuesundevuortnenotios,
recteonend´eduitquelatroisie`meestvraie,soitontrouvelare´ponsecorrecte
directement.Danscettecorrection,touteslesre´ponsesserontteste´escependant.
´Ñ´Ñ´Ñ
L’espaceestmunid’unrep`ereorthonorm´edirectpO;i ,j , kq
Onconsid`ereleplanPoicnra´t’de´uqta:enneise2x´y`3z´1“0.
Onconsid`erelesdroites:
$
&x“t`1
D:y“2t´1
%
z“ ´1
$
&x“1
1
D:y“3t`5
%
z“t`1
1. a)DĂPô2pt`1q ´ p2t´1q ´3´1“0ô ´1“0 FAUX.
1
b)DĂPô2´ p3t`5q `3pt`1q ´1“0ô ´1“0 FAUX.
1
c)DetDirnalaoptconsstnemeluesteissentparalliellessoeine`elosbu
se´cantes.
1
Dirtd´eigesruetocedurapcevnnne´roodsep1; 2; 0qetDestnurag´epdiri
vecteurdecoordonne´esp0; 3; 1q.
Ce