Cours 2005.2006

Propriétaire

Description

BASES DE LA GEOMETRIE SECONDE Chapitre II PLANE RRRRAAAAPPPPPPPPEEEELLLLSSSS DDDDEEEE CCCCOOOOLLLLLLLLEEEEGGGGEEEE I- LES DROITES REMARQUABLES D’UN TRIANGLE 1- Les médiatrices des côtés d’un triangle a) Rappel On appelle médiatrice d’un côté d’un triangle la droite coupant ce côté en son milieu et perpendiculairement ( Rmq : la médiatrice est aussi ll’’eennsseemmbbllee ddeess ppooiinnttss ééqquuiiddiissttaannttss ddeess eexxttrréémmiittééss dduu sseeggmmeenntt … ) ll’’eennsseemmbbllee ddeess ppooiinnttss ééqquuiiddiissttaannttss ddeess eexxttrréémmiittééss dduu sseeggmmeenntt b) Propriété de concours et définition Les trois médiatrices des trois côtés d’un triangle sont concourantes en un point O ( elles se coupent toutes les trois en un même point O ). Ce point O est le centre du cercle circonscrit au triangle .i.e. le cercle passant par les trois sommets. 2- Les médianes d’un triangle a) Définition On appelle médiane d’un triangle chaque droite qui passe par un sommet du triangle et qui coupe le côté opposé en son milieu. Rmq : il y a trois médianes dans un triangle… b) Propriété de concours et définition Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en point G. Ce point G est appelé le centre de gravité du triangle. cccc)))) CCCCaaaarrrraaaaccccttttéééérrrriiiissssaaaattttiiiioooonnnn ddddeeee llllaaaa ppppoooossssiiiittttiiiioooonnnn dddduuuu ...

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Extrait

BASES DE LA GEOMETRIE SECONDE ChapitreII PLANE RAPPELS DE COLLEGE I-LES DROITES REMARQUABLESD’UN TRIANGLE 1-Les médiatrices des côtés d’un triangle a)Rappel On appelle médiatrice d’uncôté d’untriangle la droite coupant ce côté en son milieu et perpendiculairement ( Rmq : la médiatrice est aussi l’ensemble des pointséquidistantsdes extrémitésdu segment … ) b)Propriété de concours et définition Les trois médiatrices des trois côtés d’un triangle sont concourantes en un point O ( elles se coupent toutes les trois en un même point O ). Ce point O estlecentredu cerclecirconscrit autriangle .i.e. le cercle passant par les trois sommets. 2-Les médianes d’un triangle a)Définition On appelle médiane d’un triangle  chaquedroite qui passe par un sommetdu triangleet quicoupele côté opposéensonmilieu . Rmq :il y a trois médianes dans un triangle… b)Propriété de concours et définition Les trois médianes d’un triangle sont concourantesenpointG . Ce point G est appelé lecentre degravitédu triangle. c)Caractérisation de la position du centre de gravité Propriété: le centre de gravitéd’untriangleABCestlepointG situésur: 2 -[AA’]tel que: AG =AA’. 3 2 -[BB’] tel que: BG =BB’. 3 2 -[CC’] tel que: CG =CC’. 3 - 1 -

3-Les hauteurs d’un triangle a)Définition On appelle hauteur d’un triangle droite qui chaque passe parun sommetdu triangleest qui est perpendiculaireaucôtéopposé. Exemple :Sur le dessin ci-contre, (AA’) est la hauteur issue de A. On appelle A’ le pied de lahauteur . Attention: la hauteur peutêtre extérieureautriangle!!! b)Propriété de concours et définition

Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en point H. Ce point H est appelé l’orthocentredu triangle .

4-Les bissectrices d’un triangle a)Définition-construction · On appelle bissectrice d’un angleA  ladroite qui passe par A etqui partagel’angleendeux anglesde mêmemesure. ·Construction (avec le compas )

b)Propriété de concours

Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantesen unpoint Iappelécentreducercleinscrit.

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II-LETHEOREME DEPYTHAGORE ET SA RECIPROQUE 1-Enoncé du Théorème de Pythagore INTERETPRINCIPAL: CALCULER DES LONGUEURS DE SEGMENTS SiABC est un triangle rectangle,alorsle carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autreslongueurs. On sait que:ABC est rectangle en A. Donc, d’après le Théorème de Pythagore, on a: BC² = BA² + AC². 2-Différentes applications a)Calcul de la longueur d’un côté d’un triangle b)Prouver qu’un triangle n’est pas rectangle ( cf activité 6 p 142 ) 3-Enoncé de la propriété réciproque de Pythagore INTERET PRINCIPAL: PROUVERQU’ILYA UNANGLEDROITDANS UN PROBLEME Siun triangle a le carré de sa plus grande longueur qui est égal à la somme des carrés des deux autres côtés,alorsce triangle est rectangle et l’angle droit est l’angle « en face » du côté le plus long. Dans le triangle ABC,on sait que: LalongueurlapluslongueABvérifie:  AB²= AC² + CB² Donc,d’après la réciproque de Pythagore, On a: ABC est rectangle, en C. Attention à la rédaction!!! III-LETHEOREME DETHALES ET SA RECIPROQUE 1-Les théorèmesdesmilieux(ou théorèmes de ladroite des milieux ) er  théorème des milieuxLe 1 Soit ABC un triangle.SiI est le milieu de [AB] et J milieu de [AC],alors: C) et: -(IJ)(B 1 -IJ =BC 2 - 3 -

ème  théorème des milieuxLe 2

Soit ABC un triangle, I milieu de [AB].Si ladroite (d) est parallèle à (BC) en passant par I,alors elle coupe [AC] en son milieu. (BC)(ID) (BC) (ID)et I milieu de [AB]  donc D milieu de [AC].

2-Proportionnalité des longueurs

Propriété ( «petit théorème deThalès»)  SoitABC un triangle, M un point de [AB], N un point de [AC].Si(MN) (BC),alors:  AM ANMN  == . AB ACBC

3-Enoncé du théorème de Thalès

Etant données deux droites (d) et (d’) sécantes en A, B et M deux points de (d) distincts de A, C et N deux points de (d’) distincts de A : longueurs du triangle AMN AM ANMN Si(BC) (MN)alors ==  AB ACBC longueurs correspondantes du triangle ABC

4-Applications a)Dans la figure ci-dessous à reproduire à main levée, calcule AC et AE sachant que (DE)(BC). 

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5-Enoncé de la réciproque de Thalès Etant données deux droites (d) et (d’) sécantes en A ; B et M deux points de (d) distincts de A ; C et N deux points de (d’) distincts de A , AM AN si A,B,M etA,C,Nsontdansle mêmeordre etsi =,alors(BC) (MN).  AB AC Rmq:l’hypothèseA,B,M et A,C,NalignésDANS LEMEME ORDRE est fondamentale!!!!!!!! 6-Application Soit la figure suivante. -(MN) et (BC) sont-elles parallèles ? -(M’N’) et (BC) sont-elles parallèles ? IV-TRIANGLES RECTANGLESETCERCLES, ANGLES 1-Propriétés du triangle rectangle a)Le cercle circonscrit d’un triangle rectangle Propriété :SiABC est un triangle rectangle en A,alorsson hypoténuse [BC] est un diamètre du cercle circonscrit et par conséquent le centre de ce cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse [BC]. b)La médiane relative à l’hypoténuse Propriété :SiABC est un triangle rectangle en A,alorsla longueur de la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.

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Propriété :sidans un triangle, la longueur de la médiane issue d’un sommet est égale à la moitié de la longueur du côté opposé à ce sommet,alorsce triangle est rectangle.

Onsaitque: ABC est inscrit dans le demi-cercle de diamètre [AB]. C est alors un point du demi-cercle. ème Alors,sommet : C.ABC est rectangle en le 3

2-Caractérisation du triangle rectangle a)Inscription dans un demi-cercle Propriété :siun triangle est inscrit dans un demi-cercle,alorsil est rectangle.

Rmq : Tous les angles inscrits interceptant le même arc ont la même mesure (ANB = AMB).

La mesure d’un angle inscrit dans un cercle est égale à la moitié de la mesure de l’ange au centre associé.  AMB= 1/2AOB

Soit uncercle de centre O.  a)Définitions -appeléL’angle AMB estangle inscritdans .(L’angle ANB aussi)  -l’L’angle AOB estangle au centreassociéà cet angle inscrit. -Ces 3 anglesinterceptentle même arcAB . b)Propriété

O

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Dans ABC,on sait que= OB = OC donc la longueur OC de la OA médiane issue de C est égale à la moitié de AB. Conclusion: ce triangle est donc rectangle en C.

A

3-Angles inscrits et angles au centre

b)Caractérisation à partir d’une médiane

M

B

N