Cours 2008-2009
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Français

Cours 2008-2009

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¾fi£°fi°fifi£fi¾fi‰fi¾fi£fi£fi°°¾CONTINUITE ET DERIVABILITE TERMINALE S Chapitre II IDE FONCTIONS I- CONTINUITE DE FONCTIONS 1111---- PPPPrrrréééésssseeeennnnttttaaaattttiiiioooonnnn Déf1 :s oit f une fonction définie sur un intervalle I eat un réel appartenant à I. On dit quf e st continue en a lorsque lim f(x) = f(a) ou encore lorsque lim f(a + h) = f(a). x a h 0Plus généralement, on dit que f est continue sur I lorsqu’elle elle est continue n tout réel a de llll’’’’iiiinnnntttteeeerrrrvvvvaaaalllllllleeee IIII .... Graphiquement, on reconnaît une fonction continue à sa représentaiton graphique qui se trace « s ans lever le stylo, sans discontinuité ou tro u». ». Illustration : Une fonction non continue en un point a :l a courbe Une fonction continue sur I : sa courbe est d’un seul a une discontinuité en a ,morceau elle fait un saut . Fonction Fonction discontinue continue en a I I a Exs : les fonctions pollynômes, lles ffoncttiions rattiionnellle,s ,l al af ofonnctcitoionnr ar acicninee c acarréréee e etct cs ont continues sur les intervalles sur lesquels elles sont définise. Concrètement, dans les exercices, on va utiliser ds ethéorèmes généraux sur les fonctions continues puor justifier qu‘une fonction est continue : 2222---- OOOOppppéééérrrraaaattttiiiioooonnnnssss ssssuuuurrrr lllleeeessss ffffoooonnnnccccttttiiiioooonnnnssss ccccoooonnnnttttiiiinnnnuuuueeeessss ...

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CONTINUITEETDERIVABILITE TERMINALESChapitre IIIDE FONCTIONSI-CONTINUITEDEFONCTIONS1-PrésentationDéf1 :soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel appartenant à I. On dit quef est continueena lorsquelimlorsquef(x) = f(a) ou encorelimf(a + h) =f(a).|x|ah||0 Plus généralement, on dit quef est continue sur Ilorsqu’elleelleest continue en tout réel a de l’intervalleI.Graphiquement,on reconnaît une fonctioncontinueàsareprésentation graphique qui se trace «sans leverle stylo, sans discontinuité outrou».Illustration :  Unefonction non continue en un point a : la courbe Une fonction continue sur I : sa courbe est d’un seul a une discontinuité en a, morceau elle fait un saut. Fonction Fonction discontinue continue enaI Ia Exs :lesfonctionspolynômes, les fonctions rationnelles, la fonction racine carrée etcsontcontinuessur les intervalles sur lesquels ellessontdéfinies.Concrètement, dans les exercices, on va utiliser des théorèmes généraux sur les fonctions continues pour justifier qu‘une fonction est continue : 2-Opérations sur les fonctions continuesThéor1 :soientf etgdeux fonctions continuessurun intervalle I. Soit k un réel. Alors : g et kf sont aussi continues sur I.f + g, ff Si g ne s’annule pas sur I,est aussi continue surI.g Théor2 :soit f une fonction continuesur I, soit g une fonction continue sur J contenant f(I). Alorsgf° estcontinuesurI.Plus simplement,une composée de fonctions continues estune fonction continue( ouf ! ). x² + x + 2 Ex : soit f la fonction définie par f(x) =. Justifions que f est continue sur: x² + 1 Cf. feuille de cours. Cependant, certaines fonctions ne sont pas continues. Il y en a une à connaître : 3-Un exemple de fonction non continue: la fonction partie entièreDéf2:lafonctionpartieentière,notée E, est la fonction qui à un réel x associeE(x): le plus grandentier Z¾¾| inférieure ou égalàx. E :. Par exemple, E(5,6) = 5. E(–3,4) = – 4. x E(x) ½¾¾| s, pourn net plus généralement, pour tout x réel,E(x)£xE(x) +1. De plutoutZ, on a E(n) =
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Représentation graphique :
Conséquence de cette définition:la fonctionpartie entière n’estcontinueenaucunnZ.effet, par En exemple,= 1 maislim E(x)= 0, par conséquent la fonction partie entière n’a pas de limite en 1.lim E(x) + x|1 x|1 Parlons maintenant des théorèmes liés aux fonctions continues, dont un est une vieille connaissance … 4-Théorème de valeurs intermédiaires (TVI)
Théor3 :soit f une fonction définie etcontinue sur un intervalle I. Soient a et b deux réels de l’intervalle I. Soitkcomprisentref(a)etf(b). Alorsil existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c)= k. Autrementdit, l’équation f(x) =kadmetau moinsunesolutionentrea etb.Illustration graphique : 5 Ex d’application : démontrons que l’équation x+ 2x – 1 = 0 admet au moins une solution comprise entre – 1 et 2 : 2
Vous connaissez une version particulière de ce théorème : le théorème de bijection : Théor4 :le théorème de bijection: soit f une fonctioncontinueetstrictement monotonesur un intervalle [a ;b] où a < b. Alors,pour tout k comprisentref(a) etf(b),l’équation f(x) = k admet uneunique solutiondansl’intervalle[a;b]. On dit que :f réalise une bijection de [a;b] sur [f(a);f(b)]si elleestcroissante..f réalise unebijectionde [a;b] sur [f(b);f(a)] si elle est décroissante.Ainsi,la stricte monotonie assure l’unicité de la solution, c’est la différence avec le TVI …Rmq :ATTENTION A LA REDACTION: IL FAUT FAIRE APPARAITRE 3 POINTS : LA CONTINUITELA STRICTEMONOTONIEk COMPRIS ENTRE f(a)ETf(b)Corollaire :on étendce théorème aucasoùaetbsontinfiniset au casdintervalle ouvert(a oub peut êtreunvaleurinterdite). Dans cecas,onremplacef(a) et f(b) parleslimites defena et b.Ex :soit f définie sur [1; +¥par f(x) = – x +x – 1 [+ 0,9.On admet les variations de f. Déterminons le -2 nombre de solutions de l’équation f(x) = 0. On donnera des encadrements de chacune de ces solutions à 10 près. x 15/4 +¥ 0,15 f(x) - 0,1¥MEMO CALCULATRICE :
On vient de voir dans cet exemple que l’on a besoin des variations des fonctions, que l’on retrouve avec la dérivée. Quelques rappels( et compléments, cela va de soi ) s’imposent donc… II-FONCTIONS DERIVABLES1-Dérivabilité en aDéf3 :soit f une fonction définie sur un intervalle I et aΠI.on dira quef est dérivableenalorsquele taux f(a+h) – f(a) d’accroissement admetune limite finie quand h tend vers 0, en étant différent de 0(ou encore h f(x)f(a) lorsqueletauxd’accroissementadmet une limite finie lorsque x tend vers a, en étant différent xa dea).Dans ce cas,cette limite finiedérivé de f en a, noté f ’(a)sera appelée le nombre. 3
limlimf(a+h)f(a) h||0x||af(x)f(a) ou en= f ’(a)core= f ’(a).hxa h¹0x¹a Interprétation graphique : Prop1 :soit f une fonction définie sur un intervalle I et aÎI. On notef sa courbe représentative dans un repère du plan.Sifestdérivable ena, alorsfadmet au point A( ; () )unetangente.L’équation réduite de cette tangenteest :y = f ’(a) ( xa ) + f(a).Ctre-exemple :soit g définie surpar g(x) =x . Alors g n’est pas dérivable en 0: en effet son taux x – 0x d’accroissement en 0 est := =1 donc il n’existe pas de limite lorsque x tend vers 0 : g n’est par x x conséquent pas dérivable en 0. ère 2-1application: l’approximationaffine localeProp2 :f définie sur un intervalle I et a soitΠI.Sif est dérivable en a,alors ondit que h×f ’(a) + f(a) estune approximation affinede f(a+h) au voisinage de 0 ( c’est à dire pour h proche de 0 ). On écrit :f(a+h)»h×f ’(a) +f(a) ouf(a+h) = h×f ’(a) + f(a) + he(h) aveclime(h) = 0h|0 Intérêt : on s’en resservira dans un prochain chapitre pour « construire » une nouvelle fonction … chuttt … 3-Fonctions dérivéesDéf4 :Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dira quef est dérivable sur Issi pourtoutaÎI, f est ¾|¾| Irivableena.La fonction dérivéedef sera la fonction notéef:. xf(x) ¾ ¾|| ½ Vocabulaire : f ’ est plus simplement appelée :«la dérivéede f».Notation ATTENTION: UTILE EN PHYSIQUEen pensant quey = f(x), on note souvent en physique : ! dy f ’(x)=, le « dx » du dénominateur signifiant que l’on dérive par rapport à la variable x. dx dx Ex : soit x(t) = 2t² – 2t + 1donnant la position d’un point mobile en fonction du temps t, alors,qui représente dt dx la vitesse instantanée est donné par :: t4t – 2. ¾¾| ½ dt On retrouve les théorèmes généraux sur les fonctions dérivables : un produit de fonct° dérivables est dérivable, idem pour une somme, idem pour un quotient si le dénominateur ne s’annule pas etc. Il y a surtout les formules, ère rappelées de 1: 4-Dérivées usuelles et formules de dérivationCf. TABLEAU RECAPITULATIFIl en manque une, nouveauté de terminale S : Théor5:soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, soit g dérivable sur un intervalle J contenant f(I). Alors, gf est dérivablesur Iet:( gf ) ’ =f×gf°°° Preuve : admis. + Ex : soit h définie surpar h(x) = sin (x ). Sur quel intervalle h est-elle dérivable et que vaut h’(x) ? -Cf. feuillede cours-4
On vient de voir deux notions : la continuité et la dérivabilité. Il existe un lien entreles deux : 5-Lien entre la dérivabilité et la continuitéVoici un théorème fondamental, qui permet, entre autre,de justifier qu’une fonction est continue : Théor6: soit f une fonction définie sur un intervalle I.Si f est dérivable surI, alorselle est continue surI.DérivableDonCContinuepas le contraire, attention ! et Preuve : Rmq : la réciproque est fausse !!! La fonction valeur absolue est continue en 0 mais n’y est pas dérivable ! Nous allons rappeler dans le § suivant que les variations d’une fonction dérivable sont directement liées au signe de sa dérivée ( d’où l’intérêt de calculer des dérivées … ) III-APPLICATIONS DE LA DERIVEE AUX VARIATIONS(RAPPELS)1-Passage du signe de la dérivée aux variations-Admis-Théor7: soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si pour tout xÎI, f ’(x)³0,alors festcroissantesurI.Si pour tout xÎI, f ’(x)£0,alors festdécroissantesurI.Si pour tout xÎI, f ’(x) = 0, alors f est constante sur I.Rmq : dans chacundes 2 premiers cas précédents,si la dérivée nes’annule quun nombrefinidefois, alors on peut dire que la fonction est strictement croissante ou strictement décroissante sur I. Intérêt :dresser le tableau de variationsdune fonction dérivableàpartirdusignede sa dérivée.+ Ex : soit f la fonction définie surpar f(x) = x² + sin x. Déterminons les variations de f ’.Cf. feuille de coursDéduisons-en les variations de f. 2-Détermination d’extremaProp3: Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et cÎI.Si f admet un extremumlocalenc( maximum ou minimum), alorsf ’(c) = 0.Rmq :ATTENTION: la réciproque est fausse! en effet si l’on considèrela fonction cube , alors f ’(0) = 0 mais f n’admet pas d’extremum localen 0… Il faut une condition supplémentaire d’où : Prop4 :soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et cÎI. Si la dérivée f ’ s’annule en c en changeantde signe,alors f admetunextremumlocal enc.Intérêt : déterminer des extrema dans des problèmesd’optimisation!Ex d’application: démontrons que le rectangle d’aire 100cm² qui a le plus petit périmètre est le carré de côté 10cm : 5
Pour finir ce chapitre, il ne reste plus qu’à étudier une nouvelle fonction de référence : la fonction tangente : IV-ETUDE DE LA FONCTION TANGENTE1-Présentationsin xp Déf5 :la fonctiontangente, notéetanest la fonction définie partan x = pourtoutx¹[p].cos x2 p ¾¾|   - {+ kp, kZ} 2 tan :tax sin x  xtan x = ½¾¾| cos x Lien avec le cercle trigo : 2-Propriétésdelafonctiontangentea)ériodicitéParité etLafonctiontanestimpairesursonensemblededéfinitionetelleestpériodiquedepériodep.sin ( – x)- sin x p pour tout xEn effet,¹ [p= =], tan ( - x ) =– tan x. cos ( – x )cos x 2 sin ( x +p) -sin x p  Pourtout x¹ [p], tan ( x +ptan x.= =) = – cos x 2 cos( x +p) p p b)Limites aux bornes de]-;[et dérivabilité22 limtan x =¥etlimtan x = +¥.p+px|||x|22 pp1 La fonction tanestdérivablesur]-;[ et pour toutx,(tan x)=1 + tan²x =.22cos ² x Preuve : c)Représentation graphique de la fonction tan
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