Cours 3

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• Publié par: Emme
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Extrait

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MATH 5.3 Alg`ebre 4 E. Edo
Chapitre 3 : Anneaux, divisibilit´e
1. Divisibilit´e, anneaux int`egres
Soit A un anneau.
Soit a2A, l’application „ :A!A d´efinie par „ (x)=ax est un morphisme de groupe.a a
£Si „ n’est pas injective, on dit que a est un diviseur de z´ero. On note A l’ensemble des ´el´ements de Aa
£qui ne sont pas des diviseurs de z´ero. Autrement dit A =fa2A;„ injectiveg.a
Si „ est bijective, on dit que a est inversible. L’ensemble des ´el´ements inversibles est le groupe multipli-a
⁄ ⁄catif de l’anneau A, not´e A . Autrement dit A =fa2A; (9b2A)ab=1g.
L’imagedeApar„ estnot´ee„ (A)=aAs’appellel’id´eal engendr´e par A(c’estl’ensembledesmultiplesa a
de a). Soit I un id´eal de A. On dit que I est principal si il existe a2A tel que I =aA.
Soit a;b 2 A. On dit que a divise b si b 2 aA. On dit que a et b sont premiers entre eux si pour tout
⁄d2 A, on a : a2 dA et b2 dA implique d2 A (autrement dit les diviseurs communs `a a et b sont les
inversibles).
⁄ £ ⁄ £LegroupemultiplicatifA agitsurA parmultiplication(pouru2A eta2A onau:a=„ (a)=ua).u
⁄Soienta;b2A, on dit que a etb sont associ´es s’il sont dans la mˆeme orbite (c’est `a dire s’il existe u2A
£ ⁄ ⁄ £telqueb=ua).OnnoteA =A l’ensembledesorbitesdel’actiondeA surA (c’estl’ensemblequotient
£ £de A par la relation d’´equivalence ”ˆetre associ´es”). Soient a;b2A , on a Ω(a)Ω(b)=Ω(ab) (autrement
dit la multiplication est compatible avec la relation d’´equivalence ”ˆetre associ´es”).
£ ⁄Th´eor`eme La divisibilit´e induit une relation d’ordre sur A =A .
£ ⁄ £ ⁄Un ´el´ement p2A rA est dit irr´eductible si pour tout a;b2A on a : p=ab implique que a2A ou
⁄ £ ⁄ ⁄b2 A (autrement dit si l’orbite Ω(p) est un ´el´ement minimal de l’ensemble (A =A )rA ordonn´e par
la divisibilit´e).
£On dit que A est int`egre si le seul diviseur de z´ero de A est 0 (i.e. A =Arf0g).
Th´eor`eme (corps des fractions) Les deux propositions suivantes sont ´equivalentes :
i) L’anneau A est int`egre,
ii) Il existe un corps K et un morphisme d’anneau injectif `:A!K.
Le corps construit dans i) implique ii) s’appelle le corps des fractions de A not´e Frac(A) et on identifie
A et `(A)‰Frac(A).
£ ⁄Th´eor`emeSupposons A int`egre. L’ensemble A =A ordonn´e par la divisibilit´e est anti-isomorphe `a l’en-
semble I des id´eaux principaux de A ordonn´e par l’inclusion.P
SoitI unid´ealdeA.OnditqueI estpremier siI =Aetsipourtouta;b2Asiab2I alorsa2I oub2I.
Th´eor`eme Soit I un id´eal de A. Alors I est premier si et seulement si A=I est int`egre.
£ ⁄Th´eor`eme Supposons A int`egre. Soit p2A rA tel que pA soit premier. Alors p est irr´eductible.N
P
2. Anneaux noet´eriens, anneaux factoriels
Soient I et J deux id´eaux de A. L’ensemble I +J = fa +b;a 2 I;b 2 Jg est un id´eal de A appel´e
somme des id´eaux I et J. On dit qu’un id´eal I de A est de type fini si il existe a ;:::;a 2 A tel que1 n
I =a A+:::+a A.1 n
On dit que A est noet´erien si toute suite croissante d’id´eaux de A est stationnaire (autrement dit si
(I ) est une suite d’id´eaux de A telle que pour tout n2N on a : I ‰ I alors il existe N 2N teln n2 n n+1
que pour tout n2N si n‚N alors I =I ).n N
Th´eor`eme Les conditions suivantes sont ´equivalentes :
i) tous les id´eaux de A sont de type fini,
ii) A est noeth´erien,
iii) tout ensemble non vide d’id´eaux de A admet un ´el´ement maximal pour l’inclusion.
£Th´eor`eme Supposons A int`egre et noet´erien. Alors pour tout a2A il existe des irr´eductibles p ;:::p1 k
de A tels que a=p :::p .1 k
£ ⁄OnditqueAestfactorielsiAestint`egreetsipourtoutp2A rA irr´eductibleestd´efiniunmorphisme
⁄de groupe v : (Frac(A)) ! Z tel que pour tout syst`eme de repr´esentant P des irr´eductibles de A etp Y
v (a)£ ppour tout a2A les ´el´ements a et p soient associ´es.
p2
Th´eor`eme Supposons A int`egre et noet´erien. Les conditions suivantes sont ´equivalentes :
(i) A est factoriel,
£ ⁄(ii) toute paire fa;bg d’´el´ements de A =A admet un plus grand minorant not´e pgcd(a;b),
£ ⁄(iii) toute paire fa;bg d’´el´ de A =A un plus petit majorant not´e ppcm(a;b),
(iv) lemme d’Euclide : Soit a;b2A et soit p un irr´eductible de A, si p divise ab alors p divise a ou b,
(v) Soit p un irr´eductible de A, alors pA est un id´eal premier,
(vi) th´eor`eme de Gauss : Soit a;b;c2A, si a divise bc et si a est premier avec b alors a divise c.
3. Anneaux principaux
OnditqueAestprincipal siAestint`egreetsitoutid´ealdeAestprincipal(i.e.engendr´eparun´el´ement).
Th´eor`eme Si A est principal alors A est factoriel.
Th´eor`eme Supposons A est factoriel. Les conditions suivantes sont ´equivalentes :
(i) A est principal,
£ ⁄(ii) th´eor`eme de Bezout : Si a et b sont dans A =A et si d=pgcd(a;b) alors dA=aA+bA.
4. Anneaux euclidiens
£On dit que A est euclidien si A est int`egre et s’il existe une application v de A dansN telle que pour a
£et b dans A il existe q et r dans A tels que a=bq+r et ( r =0 ou v(r)<v(b) ).
Th´eor`eme Si A est euclidien alors A est principal.
£ ⁄Remarque : Si A est euclidien on peut calculer algorithmiquement le pgcd de deux ´el´ements de A =A .