cours 4

Jean-Marie

Description

4 – Compléments de trigonométrie – Repérage polaire Définition 4.4.1 : Cosinus et sinus d’un nombre réel, d’un angle orienté de vecteurs Soit O ; i , j un repère orthonormal direct, c’est à dire tel que : i , j = ...... [2π] ( ) ( ) • Si x est un nombre réel, et M le point du cercle trigonométrique associé à x par « enroulement de la droite réelle », alors on a : M cos x = ........................................................... j sin x = ........................................................... O • Soit u ; v un angle orienté de vecteurs. ( )i Si u ; v = x 2π , alors : [ ]( ) cos u ; v = cos x ( ) sin u ; v = sin x ( ) Propriété 4.4.2 : Les lignes trigonométriques de référence [à connaître par cœur] On a le tableau suivant : π π π π 3πx 0 π 2π 6 4 3 2 2cos x sin x Préparation de la propriété 4.4.3 : Soit C le cercle trigonométrique et x un réel quelconque. On appelle M le point associé au réel x sur le cercle trigonométrique. Placer sur le cercle trigonométrique les trois points suivants. M j • N associé au réel −x O • P associé au réel π+ x i • Q associé au réel π− x Compléter les pointillés de la propriété 4.4.3. Propriété 4.4.3 : Lignes trigonométriques d’angles associés Si x est un nombre réel, alors on a les résultats suivants. • cos −x = ................. ...

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Extrait

4 – Compléments de trigonométrie – Repérage polaire  Définition4.4.1 : Cosinus et sinus d’un nombre réel, d’un angle orienté de vecteurs    SoitO ;i,jun repère orthonormal direct, c’est à dire tel que :i,j=...... [2π] ( )( )  Sixest un nombre réel, et M le point du cercle  trigonométriqueassocié àxpar « enroulement de la  droiteréelle », alors on a : M cosx= ........................................................... j sinx= ...........................................................   O  Soitu;vun angle orienté de vecteurs. ( ) i  = π, alors :  Siu;v ) x [ 2 ] (   cosu;v=cosx ( )   sinu;v=sinx ( )  Propriété4.4.2 : Les lignes trigonométriques de référence [à connaître par cœur]  Ona le tableau suivant : π π π π3π x0 π  2π 6 4 3 22 cosx

sinx  Préparationde la propriété 4.4.3 : Soit C le cercle trigonométrique etxun réel  quelconque.On appelle M le point associé au réelxsur le cercle trigonométrique.  Placersur le cercle trigonométrique les trois points  suivants. M j  N associé au réel−x  O  P associé au réelπ +x i  Q associé au réelπ −x  Compléterles pointillés de la propriété 4.4.3.  Propriété4.4.3 : Lignes trigonométriques d’angles associés  Sixest un nombre réel, alors on a les résultats suivants.  cos ( −x ) = ................... cos ( π +x ) = ................... cos ( π −x ) = ...................  sin ( −x ) = ................... sin ( π +x )  sin= ................... ( π −x ) = ...................

Chapitre 4 – Partie 4 Page 2 sur 5  Exemple: Lignes trigonométriques associées aux lignes de référence  Enutilisant les résultats des propriétés 4.4.2 et 4.4.3, on peut écrire :  π    cos− = ..................... = ..........    3   2π    cos= ............................... = ...................... = ..........    3   4π   cos =....................................................................................................................    3   π    cos− = ....................................................................................................................    6   5π   cos =....................................................................................................................    6   7π   cos =....................................................................................................................    6   π    cos− = ....................................................................................................................    4   3π   cos =....................................................................................................................    4   5π   cos =....................................................................................................................    4   Compléterle tableau de sythèse 2π3π5π7π5π4π π π π x −−− 3 4 6 6 4 36 4 3 cosx sinx Activité 1 : Une autre façon de repérer les points dans le plan On a représenté cicontre les cercles de centre O H et de rayon 1, 2 et 3, ainsi que les demi droites représentant les valeurs de référence. a.Placer dans ce repère les points suivants,  π  A tel que OA = 1 eti; OA=2π ( ) [ ] 4 O  π  B tel que OB = 2 eti; OB= −2π ( ) [ ] I 6  2π i= π J ; OC C tel que OC = 1 et ) [ 2 ] ( 3 K

Chapitre 4 – Partie 4 Page 3 sur 5  eti; OD= −π2π  D tel que OD = 3 ( ) [ ]  11π et  E tel que OE = 2 ( i; OE ) = [ 2π ] 6  5π  F tel que OF = 3 eti; OF= − [ 2π ] ( ) 4 b.Définir de la même façon les points H, I, J et K déjà présents sur le dessin. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________  Propriété4.4.4 : Repérage polaire   SoitO ;i,jun repèreorthonormé directdu plan, et M un point du plan distinct de O. ( )  Mpossède un unique couple de coordonnées  père M  cartésiennes ( x;y ) dans le re ( O ;i,j ) .   M ( x;y ) dans O;i,jéquivaut à ( ) r  OM=..................................... j θ  Ilest aussi possible de repérer M de la façon O suivante : i OM=r ( doncr>0 )   Ilexiste un couple de réels (r;θ) tel que :    i; OM= θ2π  ( ) [ ]   Ondit que M a pour .............................................................. ( r;θ ) dans le repère .............  Onnote ............................  Remarques: Un même point M possède ............................... de couple de coordonnées  polaires. revanche, si Enr> 0 etθest un réel, il existe .............................................. point M de  coordonnéespolaires [ r;θ ] . Activité 2 : Formules de passages coordonnées polaires→coordonnées cartésiennes  ;Soit Oi,jun repère orthonormal direct, et A le point du plan de coordonnées polaires ( ) π   3 ; dansle repèreO ;i. Placer A dans le repère de la page suivante. ( )  3 

Chapitre 4 – Partie 4 Page 4 sur 5  Placer le point d’intersection A ′ du cercle trigonométrique et  dela demidroite [ OA ) .  Quelles sont les coordonnées  cartésiennesdeA ′ ? _________________________  j  ExprimerOAen fonction de  OA ′ .  O i _________________________ _________________________  En déduire les coordonnées  cartésiennesdu point A. _________________________ _________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________  Propriété4.4.5 : Passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes  SoitM un point distinct du point O.   SiM a pour coordonnées cartésiennes ( x;y ) O ;dans le repère orthonorméi,jet pour ( ) e O;i,  coordonnéespolaires [ r;θ ] dans le repèr ( ) alors :  x=...........................................  y=...........................................  2π   Exemple: Soit A le point de coordonnées polaires 5 ;− .  3   Calculerles coordonnées cartésiennes de A. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Activité 3 : Formules de passages coordonnées cartésiennes→coordonnées polaires  ;Soit Oi,jun repère orthonormal direct, et A le point du plan de coordonnées ( )  cartésiennes2 3; 2. ( )

Chapitre 4 – Partie 4 Page 5 sur 5 a. Démontrerque A appartient au cercle de centre O et de rayon 4. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ b.appelle A On ′ le point d’intersection du cercle trigonométrique et de la demidroite [ OA ) .    ExprimerOA ′ en fonction deOA, puis en déduire les coordonnées cartésiennes du  pointA ′ . ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ c. Déterminerun nombre réel θ Atel que ′ ait pour coordonnées cartésiennes ( cosθ; sinθ ) . ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ d.sont les coordonnées polaires du point A ? Quelles ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________  Propriété4.4.6 : Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires  SoitM un point distinct du point O.  SiM a pour coordonnées polaires [ r;θ ] dans le repèreO ; i et pour coordonnées ( )  x;ydans le repèreO  cartésiennes ( ) ( ; i , j ) , alors :  r=..........................................  cosθ =.......... et sinθ =..........  Exemple:Soit A le point de coordonnées cartésiennes−3 dansun repère1 ; ( )    O;i,j. Calculer les coordonnées polaires de A dans le repèreO ;i. ( )( ) ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________