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CHAPITRE2SÉRIESENTIÈRES2.1 SériesentièresX Définition2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions f dont le termenngénéralestdelaforme f (x)= a x ,où(a ) désigneune suite réelleoucomplexe etx∈R.n n n nX nUne série entière est notée a x . Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’en-nsemble:  ∞ X  nΔ= x∈R : a x converge n n=0qu’onappelledomainede convergence delasérie entière.Exemple2.1.1∞X nxExemple1: .n!n=0nxPosons f (x)= etappliquonslecritère de D’Alembert;n n! f (x) xn+1 lim = lim = 0.Lasérieentièreestabsolumentconvergentepourtoutx∈R; n−→∞ n−→∞f (x) n+1ndoncΔ=R. ∞X nxExemple2: .2nn=1 n 2 f (x)x nn+1 Posons f (x)= ona: lim = lim x=|x|.n 2 n−→∞ n−→∞n f (x) n+1nSi|x| < 1,lasérie estabsolument convergente et si|x|> 1lasérie diverge.Etudions lecasoù|x|= 1.∞Xn n |x| 1 x ona f (x) = = Lasérie estalorsabsolumentconvergentedans[−1,1];etalorsn 2 2 2n n nn=0Δ= [−1,1]21SÉRIESENTIÈRES∞XnExemple3: n!x .n=0 f (x)n+1 Cettesérieneconvergequesix= 0car lim = lim |(n+1)x|etlalimiten’existeque n−→∞ n−→∞f (x)nsi x= 0:d’où:Δ={0}.∞X nxExemple4: .nn=1 n f (x)x nn+1 Posons f (x)= ona lim = lim x =|x|.Si|x| < 1,lasérie estabsolumentn n−→∞ n−→∞n f (x) n+1nconvergente etsi|x|> 1lasérie diverge.Etudions lecas où|x|= 1. X 1x= 1:c’est lasérie harmonique ,elleest divergente.n !X n(−1)x=−1:c’estlasérie ...

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CHAPITRE 2

SÉRIES ENTIÈRES

2.1 Séries entières Définition 2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions X f n  dont le terme général est de la forme f n ( x ) = a n x n , où ( a n ) n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R .

Une série entière est notée X a n x n  . Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’en- semble :  ∞  Δ =   x ∈ R : X a n x n converge      n = 0  qu’on appelle domaine de convergence de la série entière.

Exemple 2.1.1 Exemple 1 : X ∞ x n n ! . n = 0 Posons ) x n critère de D’Alembert ; f n ( x = n ! etappliquonsle lim f n f n + ( 1 x ( ) x ) = lim x 1  = 0. La série entière est absolument convergente pour tout x ∈ R ; n −→∞   n −→∞  n + donc Δ = R . ∞ Exemple 2 : X n x 2 n . n = 1 Posons f n ( x ) = x n n 2 on a : n l − i → m ∞  f n f + n 1 ( ( x ) x )  = n l − i → m ∞   n + n 1  2 x  = | x |  Si | x | < 1, la série est absolument convergente et si | x | > 1 la série diverge. Etudions le cas où | x | = 1. on a  f n ( x )  = | x | n n 1 2  La série ∞ X n x 2 n est alors absolument convergente dans [ − 1  1] ; et alors = n 2 n = 0 Δ = [ − 1  1]

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SÉRIES ENTIÈRES

∞ Exemple 3 : X n ! x . n n = 0 Cette série ne converge que si x = 0 car n l − i → m ∞  f n f + n ( 1 x ( ) x ) = n l − i → m ∞ | ( n + 1) x | et la limite n’existe que  si x = 0 : d’où : Δ = { 0 } . Exem ∞ x n ple 4 : X n . n = 1 Posons f n ( x ) = x n n on a n l − i → m ∞  f n f n + ( 1 x ( ) x )  = n l − i → m ∞   n + n 1  x  = | x |  Si | x | < 1, la série est absolument convergente et si | x | > 1 la série diverge. Etudions le cas où | x | = 1. x = 1 : c’est la série harmonique  X n 1  , elle est divergente. x = − 1 : c’est la série harmonique alternée
X ( − n 1) n ! , elle est convergente. D’où : Δ = [ − 1  1[.

Lemme 2.1.1 (Lemme d’Abel) Soit X a n x n  une série entière. On suppose qu’il existe x 0 ∈ R tel que la suite ( a n x n 0 ) n soit bornée. Alors : 1. La série X a n x n  est absolument convergente pour | x | < | x 0 | . 2. La série X a n x n  est normalement convergente pour | x | < r pour tout 0 < r < | x 0 | 

Preuve. La suite ( a n x 0 n ) n est bornée, il existe M > 0 tel que ∀ n ∈ N | a n x 0 n | ≤ M . 1.) Pour | x | < | x 0 | : n ∞ | a n x n | =  a n x x 0 n 0 n x n  = | a n x n 0 |  x x 0  n ≤ M  x  La série X x  n est une série géométrique de rai- x 0  n = 0  x 0 ∞ x  x 0  < 1, donc conve g te. D’après le théorème de comparaison, la série n X 0 | a n x n | est son r en = ∞ convergente et par conséquent la série X a n x n converge absolument pour | x | < | x 0 | . n = 0 2.) Soit 0 < r < | x 0 | et soit | x | ≤ r . n x n x n x n ≤ M r  C | a n x n | =  a n x x n 0 0 n  = | a n 0 |  x 0   x 0  omme n X ∞ = 0 M  x r 0  n est une série numérique conver- ∞ gente, la série entière X a n x n est normalement convergente pour tout x tel que | x | < r et tout n = 0 r tel que 0 < r < | x 0 |  M r A  N  -E 

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2.2 Rayon de convergence d’une série entière

2.2 Rayon de convergence d’une série entière Pour les séries entières, la notion de convergence prend une forme assez simple. Théorème 2.2.1 Soit X a n x n  une série entière ; alors il existe un unique nombre réel R ≥ 0 (éventuellement infini) tel que : 1. X a n x n  converge absolument dans ] − R  R [ . 2. X a n x n  diverge si | x | > R. Preuve.  ∞  Soit I =   r ∈ R + : X a n r n converge     ⊂ R + . I , ∅ car 0 ∈ I .   n = 0 On distinguera trois cas : I = { 0 } , I = R + et { 0 } ⊂ I ⊂ R + . 1) I = { 0 } . On pose R = 0. ∞ Soit x ∈ R ∗ . Ceci implique que | x | > 0 et par suite x < I et la série X | a n x n | diverge. Montrons n = 0 ∞ ∞ que X a n x n diverge. Pour cela, on raisonnera par l’absurde. Supposons que X a n x n converge n = 0 n = 0 pour | x | > 0. ∞  Soit x 1 ∈ C tel que 0 < | x 1 | < | x | . La série    X | a n x 1 n |  est convergente d’après le lemme d’Abel n = 0  (2.1.1) et donc x 1 ∈ I . D’où la contradiction avec le fait que I = { 0 } . 2) I = R + . On pose R = ∞ . On doit prouver que X a n x n  est absolument convergente pour tout x ∈ R . ∞ La série X | a n | r n converge pour tout r > 0. n = 0 Soit x ∈ R ∗ . Il existe r > 0 tel que | x | < r . Ceci implique | a n x n | ≤ | a n | r n et d’après le théorème de comparaison la série X a n x n  converge absolument. 3) { 0 } ⊂ I ⊂ R ∗ , I , { 0 } et I , R ∗ . a) I est majoré. En e ff et, soit r ∈ R ∗  I et supposons que r n’est pas un majorant de I . Il existerait alors r 1 ∈ I tel r < r 1 . D’après la définition de I , la série X | a n | r n 1  est convergente ainsi que X | a n | r n  (car | a n | r n < | a n | r 1 n ) et donc r ∈ I ce qui est en contradiction avec l’hypothèse r ∈ R ∗  I . I est alors un ensemble non vide et majoré donc admet une borne supérieure R = sup I . Pour r ∈ I conclure, on doit prouver que X a n x n  converge absolument pour tout x , | x | < R et diverge pour tout x , | x | > R . b)Soit x ∈ R tel que | x | < R . Il existe ρ ∈ I tel que | x | < ρ < R . Comme la série X | a n | ρ n  converge, X | a n |  | x n |  converge en vertu du théorème de comparaison. X a n x n  est alors absolument convergente. c) Soit x ∈ R , | x | > R . Ceci implique que | x | < I et donc la série X | a n x n |  diverge. Montrons que X a n x n  diverge. Pour cela, on raisonne par l’absurde. Si X a n x n  converge, d’après

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SÉRIES ENTIÈRES le lemme d’Abel, (2.1.1) la série X a n x n 1  est absolument convergente pour tout x 1 ∈ R , vérifiant R < | x 1 | < | x | et donc | x 1 | ∈ I . On a alors nécessairement | x 1 | ≤ R = sup I et ceci est en r ∈ I contradiction avec l’hypothèse R < | x 1 | < | x | . Définition 2.2.1 Le nombre R = sup n r ∈ R + : X | a n | r n  converge o ∈ R + ∪ { + ∞} est appelé rayon de convergence de la série X a n x n  . Remarque 2.2.1 Le rayon de convergence d’une série X a n x n  est caractérisé par : 1. | x | < R = ⇒ X a n x n  est absolument convergente. 2. | x | > R = ⇒ X a n x n  diverge. 3. | x | = R est le cas douteux où on ne peut rien dire sur la nature de la série. 4. Pour tout r ∈ R + tel que r < R , la série X a n x n  est normalement (donc absolument) convergente pour | x | ≤ r .

2.2.1 Détermination du rayon de convergence Lemme 2.2.1 (Lemme d’Hadamard) Soit X a n x n  une série entière. Le rayon de convergence R est donné par la relation : 1 R = lim a n + 1 = lim n | a n | n −→∞  a n  n −→∞

Preuve. a) Posons ℓ = n l − i → m ∞ a n a + 1   En utilisant le critère de d’Alembert on a :  n a n + 1 x n + 1 n −→∞  a n x n  = n l − i → m ∞  a a n + n 1  | x | = ℓ | x | . Ceci implique : lim α )  ℓ | x | < 1 ⇐⇒| x | < 1 ℓ  = ⇒ la série est absolument convergente β )  ℓ | x | > 1 ⇐⇒| x | > ℓ 1  = ⇒ la série est divergente 1 D’après la remarque (2.2.1), R = ℓ . b) Posons ℓ = n l − i → m ∞ n | a n | . En utilisant le critère de Cauchy : n | a n x n | = ℓ | x n l − i → m ∞ | puis on adopte le même raisonnement que précédemment, on aboutit à la même conclusion ; R = 1 ℓ . Exemple 2.2.1

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2.3 Propriétés

∞ 1. X x n ! . n n = 0 On a a n = n 1 ! ,utilisonslecritèredeD’Alembert: lim 1 n −→∞  a a n n + 1  = n l − i → m ∞  ( n + n ! 1)!  = n l − i → m ∞  n + 1  = 0, donc le rayon de convergence est R = ∞ . La série est absolument convergente pour tout x ∈ R . ∞ n 2. X n x 2 . n = 1 2 On a n l − i → m ∞  a n a + n 1  = n l − i → m ∞  n n + 1  = 1. Le rayon de convergence est R = 1. La série est absolument convergente pour tout | x | < 1 et divergente si | x | > 1. ∞ x n 3. X 2 n . n = 0 Le critère de Cauchy donne : n l − i → m ∞ n 2 1 n = 2 1 < 1, le rayon de convergence est R = 2. La série est absolument convergente pour tout | x | < 2 et divergente si | x | > 2. Remarque 2.2.2 Soit φ une application de N dans N , la série de suivante X a n x ϕ ( n )  est une série entière. On commence par calculer directement la limite suivante ;

ℓ = n l − im a n + a 1 n x x ϕ ϕ ( ( n n ) + 1) = n l − i → m ∞  a n a + n 1   n l − i → m ∞ | x | ϕ ( n + 1) − ϕ ( n )   →∞ puis chercher le domaine de x où ℓ < 1 ; R est donc sup n ℓ ∈ R + = R + ∪ {∞} o où notre série converge. Exemple : Trouver le rayon de convergence de la série : X 3 n x 2 n + 5   Dans notre cas ϕ ( n ) = 2 n + 5. 1 + 7 ℓ = n l − i → m ∞  3 3 n n + x x 2 2 n n + 5 = 3 | x | 2  la série converge si 3 | x | 2 < 1 ⇐⇒| x | < 3 3 d’oùlerayondeconvergenceest: R = 3 3 . La série est absolument convergente pour tout | x | < 3 3 etdivergentesi | x | > 3 3 .

2.3 Propriétés Ce paragraphe étudie les propriétés de continuité, de dérivabilité et d’intégrabilité de la fonction somme des séries entières. 25

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SÉRIES ENTIÈRES

2.3.1 Continuité d’une série entière Proposition 2.3.1 Soit X a n x n  une série entière de rayon de convergence R et soit ∞ f :] − R  R [ 7−→ R la fonction définie par f ( x ) = X a n x n , f est alors continue. n = 0 Preuve. Soit 0 < r < R . Pour tout n ∈ N , les fonctions f n ( x ) = a n x n sont continues dans [ − R  R ] et puisque la convergence est normale donc uniforme dans [ − r  r ], f est alors continue dans [ − r  r ] pour tout r , 0 < r < R donc continue dans ] − R  R [.

2.3.2 Dérivée d’une série entière f ( x ) − f ( x 0 ) Définition 2.3.1 Une fonction f : R 7−→ R est dite dérivable en x 0 ∈ R si lim x −→ x 0 x − x 0 existe. On la note f ′ ( x 0 ). Définition 2.3.2 Une fonction f est dite de classe C n sur un intervalle I de R , si sa dérivée d’ordre n est une fonction continue sur I. On notera alors que f ∈ C n ( I ) . Si elle est indéfiniment (ou infiniment) dérivable, on dira alors qu’elle est de classe C-infinie et on écrira que f ∈ C ∞ ( I ) . Par contre f ∈ C 0 ( I ) , signifie que f est seulement continue sur I. Proposition 2.3.2 Soit X a n x n  une série entière de rayon de convergence R, et soit ∞ f :] − R  R [ 7−→ R la fonction définie par f ( x ) = X a n x n . Alors f est dérivable et on a n = 0 ∞ f ′ ( x ) = X na n x n 1 . − n = 1 Preuve. n Soient les fonctions S n :] − R  R [ 7−→ R définies par S n ( x ) = X a k x k . Ces fonctions possèdent k = 0 les propriétés suivantes : i) lim S n ( ) our tout x ∈ ] − R  R [ et la convergence est absolue n −→∞ x ) = f ( x p donc simple. n ii) ∀ n ∈ N , S n est dérivable et on a S ′ n ( x ) = X ka k x k − 1 . k = 1 iii) Le rayon de convergence de X na n x n − 1  est R car lim  ( n + n 1 a ) a n + 1 = lim a n + 1 1 = n −→∞  n  n −→∞  a n  R . La suite ( S ′ n ) n est uniformément convergente dans [ − r  r ]. ∞ f est dérivable et on a f ′ ( x ) = n l − i → m ∞ S n ( x ) = X na n x 1 ∀ x ∈ [ − r  r ] et ∀ r ∈ ]0  R [. n − n = 1 ∞ Donc f ′ ( x ) = n l −→∞ X [. im S n ( x ) = na n x n − 1 ∀ x ∈ ] − R  R n = 1 M r A  N  -E 

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2.3 Propriétés

Corollaire 2.3.1 ∞ Soit la série f ( x ) = X a n x n de rayon de convergence R ; f est indéfiniment dérivable n = 0 ’ ( f ∈ C ∞ (] − R  R [)) ; et l on a : ∀ x ∈ ] − R  R [  f ( x ) = X ∞ f n ( n ! ) x n  n = 0

Preuve. ∞ En e ff et, si f ( x ) = X a n x n , par application de la proposition précédente on a f ′ ( x ) = n = 0 ∞ X na n x n − 1 , et par récurrence, la dérivée d’ordre k est donnée par la relation : n = 1 ∞ f ( k ) ( x ) = X n ( n − 1)( n − 2)    ( n − k + 1) a n x n − k . n = k De cette expression, il résulte que f ( k ) (0) = a k k ! ; c’est-à-dire que a k = f ( k k ) ! (0) . 2.3.3 Primitive d’une série entière Définition 2.3.3 Une fonction f : D 7−→ R admet une primitive s’il existe une fonction F : D 7−→ R vérifiant F ′ = f ; (D étant le domaine de définition de f ). Proposition 2.3.3 Soit X a n x n  une série entière de rayon de convergence R et soit ∞ f :] − R  R [ 7−→ R la fonction définie par f ( x ) = X a n x n . On considère la fonction n = 0 ∞ F :] − R  R [ 7−→ R définie par F ( x ) = X n a + n 1 x n + 1 . Alors F ′ ( x ) = f ( x ) ∀ x ∈ ] − R  R [ . n = 0

Preuve. Le rayon de convergence de la série entière ∞ X n a + n 1 x n + 1 est R r lim a n + 1 n + 1 = n = 0 ca n −→∞  n + 2 a n  lim a n + 1 1 R . D’après le théorème précédent on conclut que F ′ = f . = n −→∞  a n  ∞ x Remarque 2.3.1 Dans le cas réel, si f ( x ) = X a n x n , avec a n ∈ R et x ∈ ] − R  R [, Z 0 f ( t ) dt = n = 0  ∞ Z x  n X = 0 a n t n    dt = n ∞ X = 0 a n Z 0 x t n dt = n = X ∞ 0 n a + n 1 x n + 1 = n ∞ = X 1 a n n − 1 x n pour tout x ∈ ] − R  R [. 0 

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SÉRIES ENTIÈRES

2.3.4 Opérations sur les séries entières Proposition 2.3.4 Soit X a n x n  , X b n x n  deux séries entières ayant respectivement R et R ′ pour rayon de convergence. 1. Si R , R ′ , le rayon de convergence R ′′ de la série X ( a n + b n ) x n  est R ′′ = min { R  R ′ } . 2. Si R = R ′ le rayon de convergence de la série X ( a n + b n ) x n  est R ′′ ≥ R.

Preuve. 1) Supposons que R ′ < R . i) | x | < R ′ = ⇒ | x | < R . Les deux séries X a n x n  et X b n x n  sont absolument convergentes. Comme | ( a n + b n ) x n | ≤ | a n x n | + | b n x n | , il en découle que X (( a n + b n ) x n ) converge absolument pour | x | < R ′ = min { R  R ′ } . ii) Si | x | > R ′ , deux cas de figure se présentent : a) Si R ′ < | x | < R , la série X b n x n  converge absolument et X a n x n  diverge. Donc X ( a n + b n ) x n  diverge. b) Si R ′ < R < | x | , les deux séries divergent. Montrons X ( a n + b n ) x n  diverge. Raison- nons par l’absurde. Si X ( a n + b n ) x n  converge alors d’après le lemme d’Abel (2.1.1), la série X ( a n + b n ) x n  converge absolument pour tout x 0 ∈ R , tel que | x 0 | < | x | et en particulier pour x 0 vérifiant R ′ < | x 0 | < R < | x | . D’où la contradiction. 2) Si R = R ′ . Il est clair que la série converge absolument si | x | < R = R ′ . Le rayon de convergence R ′′ ≥ R = R ′ . Exemple 2.3.1 Soient les deux séries f ( x ) = X ∞ x n et g ( x ) = X ∞ 1 − 2 n 2 n x n  Les deux séries ont pour n = 0 n = 0 ∞ rayon de convergence R = 1 . Par contre la série somme ( f + g )( x ) = X 2 1 n x n , a pour rayon de n = 0 convergence R ′′ = 2 .

2.4 Séries de Taylor Problème Soit f une fonction réelle à variable réelle x . Peut-on trouver une suite réelle ( a n ) n et r > 0 ∞ tels que l’on ait f ( x ) = X a n x n pour x ∈ ] − r  r [ ? n = 0 Si ce problème admet une solution, on dit que f est développable en série entière au voisinage de 0. On peut généraliser cette situation en se posant la même question pour une fonction définie au voisinage d’un point x 0 : M r A  N  -E 

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