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CHAPITRE1SÉRIESNUMÉRIQUES1.1 GénéralitésDéfinition1.1.1Soit(u ) une suite de nombres réels, on pose :n nnXS = u +u +...+u = u .n 0 1 n kk=0La limite de S est appelée série de terme généralu .n n(S ) est appelée suite des sommes partielles de la série.n nNotation  X X     Unesériedetermegénéral u estnotée u ou u .n n  n n≥01.2 ConvergenceDéfinition1.2.1Une série de terme général u est dite convergente si la suite des sommes partielles (S ) estn n nconvergente.Dans ce cas, la limite de la suite(S ) est appelée somme de la série et on note :n n+∞Xlim S = un nn→+∞n=0Une série qui n’est pas convergente estdite divergente.End’autrestermes,sionnoteℓ= lim S onaalors:nn→+∞ X   u convergeversℓ⇐⇒ lim S = ℓ n n  n→+∞n≥⇐⇒∀ε > 0, ∃N∈N :∀n∈N(n≥ N=⇒|S −ℓ| < ε)n   nX       ⇐⇒∀ε > 0, ∃N∈N :∀n∈N n≥ N=⇒ u −ℓ < ε . n    k=01SÉRIESNUMÉRIQUESExemple1.2.11) Série géométrique. Une série géométrique est une série dont le terme général est de la formenu = a.q , a, 0.nPour ce type de série, le calculde la somme partielle est donné par la formule suivante :2 n 2 nS = u +u ++u = a+a.q+a.q ++a.q = a(1+q+q ++q )n 0 1 n n+11−qa si q, 1=  1−qa(n+1) si q= 1.Onremarqueainsique lim S existesietseulementsi|q| < 1.Danscecaslasériegéométriquenn→+∞+∞X 1 anconverge et on a a.q = a = .1−q 1−qn=01 ∗2) Série harmonique. C’est la série dont le terme général est de la forme u = où n ∈N .n ...

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CHAPITRE 1 SÉRIES NUMÉRIQUES

1.1 Généralités Définition 1.1.1 Soit ( u n ) n une suite de nombres réels, on pose : n S n = u 0 + u 1 +    + u n = X u k  k = 0 La limite de S n est appelée série de terme général u n . ( S n ) n est appelée suite des sommes partielles de la série. Notation Une série de terme général u n est notée X u n  ou    n ≥ X 0 u n    . 1.2 Convergence Définition 1.2.1 Une série de terme général u n est dite convergente si la suite des sommes partielles ( S n ) n est convergente. Dans ce cas, la limite de la suite ( S n ) n est appelée somme de la série et on note : + ∞ n l → i + m ∞ S n = X u n n = 0 Une série qui n’est pas convergente est dite divergente. En d’autres termes, si on note ℓ = lim S n on a alors : n → + ∞  X u n    converge vers ℓ ⇐⇒ n lim S n = ℓ   n ≥ → + ∞ ⇐⇒∀ ε > 0  ∃ N ∈ N : ∀ n ∈ N ( n ≥ N = ⇒ | S n − ℓ | < ε )  n  ⇐⇒∀ ε > 0  ∃ N ∈ N : ∀ n ∈ N n ≥ N = ⇒ X u n − ℓ < ε .    k = 0    1

Exemple 1.2.1 1) Série géométrique. Une série géométrique est une série dont le terme général est de la forme u n = a  q n , a , 0 . Pour ce type de série, le calcul de la somme partielle est donné par la formule suivante : S n = u 0 + u 1 +    + u n = a + a  2 +    + a  q n ) =    a 1 1 − − q n q + 1 si q , 1 + a  q q q n = a (1 + q + q 2 +    +   a ( n + 1) si q = 1  On remarque ains lim S n existe si et seulement si | q | < 1 . Dans i que n → + ∞ ce cas la série géométrique + ∞ converge et on a X a  q n = a 1 − 1 q = 1 − a q . n = 0 2) Série harmonique. C’est la série dont le terme général est de la forme u n = n 1 où n ∈ N ∗ . Montrons que cette série n’est pas convergente. Pour cela montrons qu’elle n’est pas de Cauchy. En e ff et, posons S n = 1 1 + 1 2 1 +    +  n Alors S 2 n − S n =  1 1 + 2 1 +    + 1 n + n + 1 1 +    + 2 1 n  −  1 1 + 1 2 +    + n 1  1 1 1 = n + 1 + n + 2 +    + 2 n . Or pour tout p ∈ N  1 ≤ p ≤ n, on n + 1 ≤ p + n ≤ 2 n et par suite : 1 n ≤ 2 n = ⇒ 1 + 1 1 + n ≥ 2 n . 2 + n ≤ 2 n = ⇒ 1 1 n + 2 ≥ 2 n .      2 n ≤ 2 n = ⇒ 2 1 n ≥ 2 1 n . Par conséquent S 2 n − S n ≥ n  2 1 n  = 1 2 . La suite ( S n ) n n’est pas de Cauchy, donc divergente. ictement croissante, on déduit alors ue + ∞ 1 = + ∞ . De plus, ( S n ) n est str q X n n = 1 3) Soit la série de terme général u n = n ( n 1 + 1) avec n ≥ 1 . On peut écrire après décomposition en éléments simples que : u n = n 1 − n + 1 1 . D’où S n =  1 − 1 2  +  1 2 − 1 3  +    +  n 1 − 1 − n 1  +  1 n − n + 1 1  = 1 − n + 1 1  + ∞ Comme X = 1 n ( n 1 + 1) = n l → i + m ∞ S n = 1 , notre série est convergente et vaut 1. n Remarque 1.2.1 (Cas complexe) n Si le terme général u n est complexe u n = a n + ib n ; la somme partielle est S n = X u k k = 0 n n n = X ( a n + ib n ) = X a k + i X b k . Alors on a le résultat suivant : k = 0 k = 0 k = 0 X u n  converge ⇐⇒ X a n  et X b n  convergent en même temps M er A  N  -E 

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+ ∞ + ∞ + ∞ A ce moment là on a le résultat évident X u n = X a n + i X b n . n = 0 n = 0 n = 0 Proposition 1.2.1 Soient X u n  et X v n  deux séries, on suppose que ces deux séries ne di ff èrent que par un nombre fini de termes (i.e il existe p ∈ N tel que pour tout n ≥ p on a u n = v n ) alors les deux séries sont de même nature. Preuve. Soit n ≥ p . n p  n n S n = X u k = X u k + X u k = S p + X u k . k = 0 k = 0 k = p + 1 k = p + 1 n p  n n T n = X v k = X v k + X v k = T p + X v k . k = 0 k = 0 k = p + 1 k = p + 1 La di ff érence S n − T n = S p − T p = c ; c étant étant une constante indépendente de n et p alors : X u n  converge ⇐⇒ ( S n ) n converge ⇐⇒ ( T n ) n converge ⇐⇒ X v n  converge Remarque 1.2.2 La proposition (1.2.1) permet de dire que les séries sont de même nature mais en cas de convergence, elles n’ont pas nécessairement la même somme. Corollaire 1.2.1 On ne change pas la nature d’une série X u n  si on lui rajoute ou on lui retranche un nombre fini de termes. Proposition 1.2.2 Soit X u  une série convergente a n → + ∞ n lors lim u n = 0 . La réciproque est fausse. Preuve. + ∞ 1) Posons ℓ = X u n = n li → + m ∞ S n = n li → + m ∞ S n − 1 . n = 0 S n − S n − 1 = ( u 0 + u 1 +    + u n − 1 + u n ) − ( u 0 + u 1 +    + u n − 1 ) = u n et lim ( S n − S n − 1 ) = n → + ∞ lim u n = lim S n − lim S n − 1 = 0. n → + ∞ n → + ∞ n → + ∞ 2) La série harmonique  X n 1  est divergente bien qu’elle vérifie n li → + m ∞ n 1 = 0. Remarque 1.2.3 La proposition (1.2.2) est utile sous sa forme contraposée n l → i + m ∞ u n , 0 = ⇒ X u n  diverge. On dira que la série est grossièrement divergente Proposition 1.2.3 Soit X u n  et X v n  deux séries convergentes respectivement vers u et v. Alors 3 M er A  N  -E 

.1aLés)= +∞ n +v n =0 (u +∞ X n v 0 = n X ∞ =n n u + + n X 0= st  e n )+vu n X (e  rianoteetnegrevnoc y.chaueCtdes) n S n eridàtneiver aleC étésopriesprquelétuqssnonaetusvi 1. s: u n  X alivteen yhcu (.2 .tse  aCed eCauchy.S n ) n estd ∈N:Np∀q.3ε∀0>∃ →n miletimil= n T ∞+ S n (α +∞n→ n→ imαl )= α=.u ∞+ n S tioiéDnfi.2(Cn1.2rederitècuaC U )yh ésen  eir n  X utdeseditaueChcsylisaiuetedssommespartielles( mi →n snli. n iA n ST+ 0 v k = n X k=0 u k + n X k= il+ n S ∞+→n mil =) n T n +(S +∞n→ im=lW n +∞ T.= n X n =k ti n tα= n u u+v. 2)So m n→+∞ T n = pte n usrau 0=k Sα= k t k 0 α n X =α k = 0 t k= n X sériR,lau n  ee  X α.2oP +u.v tu∈αruot =0 X n +∞ naα + )=u n (αrevnoctsoteetneg e. 1)Soitw n =u n +v n X ∞ =n u 0 = n uα P  ervu = n w k =0 X k k +(u)=v k anO.:aru n = n W 0=k X

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ocvneytstn.ereegplexucomauchedeCetuoiréseéreoell porotisi1.on4 T 2. <   ε  P   p X k=q+1 u k =⇒≥N≥q  p   N∈qp∀:N∈N∃0.∀ε>   5   <εu 0 k X q =k u 0 − k  k= p X N=q≥⇒≥p   p∀:  N∈qε>0∃N∈N |<ε  . 4.∀ ⇒=S|− pq SN∈p  q≥N≥

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u n+1 eque n+1 vu n ≤ v ro 5 s. n lA ristesrmtpenemct.sfitisosoppusnO rgveonec ncdo teen aeérojam) n S(srolconv n estntecergeténamoemustiuten e.rg euPr. 1 ve n ≤)u⇒= n v n = n S 0=k X n ≤ n u X k=0 v k =T n .Puisqu(e n T n )seutenusti C .noitisoporperè vrteeserèmorhéetti0égéla’lniiaislisétréav n es≤u n ≤ eetnjamtorceassi co n  ernv éeor X u ,  tsaloctn eg 2 . C)e’elapremiraposéed 0as≤;  no n 2 ≤  ni 1  ∞ X n= rie +  1 2 n 0 sineirésenuirtémoégontd n e 1 2 st n e 1 2 c X atnirord p e ( 0 .iue eàpartird’unecer 1elp1.3. tioSésal v nn ≤n≥si).p 0 emEx hmiqaritnlogaisopmraedocgèel2.R( tesàieérxseu  dv n X  te  n u X  tioS )eu rie  X sinlorslaségrneeta, uq c e noev èmor.3e1 teen hé . T noctgrev n 2 1  se  1))c1.2.natuarlanuseer’denhcréei esrmtesàfstisipo rocriov((eriallo ≥0pourn≥n 0 sontaussaippleeéssréei .3e1 1. .1 ssLeieéru X  sév  n afiir n utn p0uoui≥ n fisssoti arqu . Rem tn∈Nrtoudtse  n u X  eirésenspmeeràtieéresit pssotifisetàreem on1.3.1 U s Définiti .31riSé AlN.s:or  X 1.  cv n evno=egru X  ⇒oc  n nverge. 2.  X u n  dievgr=e  ⇒v X  n idev v n  X n  X uérxseu  dmretàseiitisopsensupfs.Oque0pose n vopu≤≤ n tu ∈n ruot nossnoctjam t eéro Th s. rèéo rgveteen èRlgdeceem.1.3(1on) Soit  omparais rameralreuqilppasedeet1)3.1.e(quseusuqlelerearpptesessancroiites sf  . u X  n ocvnreeg rieàtermespositi erP e .evu uslI’dtffi (S⇐⇒ n e n )mastréjo alrp’dùotioiposo n −S n et,S n ≥0; −1 =u X  tioS 1. ésenu  n u osopPr n: .3n1ioit ssommespasuitedeisitsfl,etmrseope.nt effEn rotcsais n S(sse n )itraelle brefi n nom cheutraniueroilnapssnaeg tàes n  X ue  riséneuiS.2 .semretedin

1. X v n  converge = ⇒ X u n  converge. 2. X u n  diverge = ⇒ X v n  diverge Preuve. + 1 u n 1) u u n n + 1 ≤ v v n + n 1 ⇐⇒ u n ≤ . v n + 1 v n ≤    ≤ u 0 C ci u u v n n + + 1 1 ≤ v u n n ≤ u v n n − − 1 1 v 0 implique que u n ≤ v 0 0 v n . Sachant que X v n  . e converge alors  X v u 0 v n  converge et d’après le théorème de comparaison ci-dessus, 0 X u n  converge. 2) C’est la contraposée de la première proposition. Théorème 1.3.3 (Critère d’équivalence) Soit X u n  et X v n  deux séries à termes strictement positifs. On suppose que lim ∞ v u n n = ℓ , ℓ , 0 et , + ∞ . Alors les deux séries sont de même nature. n → + Preuve. En e ff et : im u n = ℓ  n l → + ∞ v n  ⇐⇒  ∀ ε > 0  ∃ N ∈ N : ∀ n ∈ N ( n ≥ N = ⇒  u v n n − ℓ  < ε )  . Pour un ε tel que 0 < ε < ℓ on a alors ℓ − ε < u n < ℓ + v n ε pour tout n ≥ N . On a aussi ( ℓ − ε ) v n < u n < ( ℓ + ε ) v n pour tout n ≥ N . 1) Si X v n  converge alors X ( ℓ + ε ) v n  converge et par suite grâce au théorème de comparaison (1.3.1), X ( u n ) converge. 2) Si X u n  converge alors X ( ℓ − ε ) v n  converge et donc X v n  converge. Exercice Que se passe-t-il si ℓ = 0 ou ℓ = + ∞ ? Exemple 1.3.2 Soient les séries X u n  et X v n  tels que u n = Log  1 + 2 1 n  et v n = 2 1 n . On a n l → i + m ∞ u v n n = 1 et comme X v n  est convergente alors, série gémétrique de raison 1  2 < 1; X u n  l’est aussi. Exemple 1.3.3 1 Soient les séries X u n  et X v n  tels que u n = et v n = Log  1 + n 1  . On a n l → i + m ∞ v u n n = 1 . n La première série étant la série harmonique qui est divergente, donc il en est de même de la seconde. Remarque 1.3.2 On remarque ici qu’on peut facilement démontrer la divergence de X v n  . M er A  N  -E  6