cours-algebre-bilineaire4

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6666Exercice I: Soit E un plan Euclidien orient´e.2d d1) Montrer que pour i,j,k∈E tels que||i|| =||j|| =||k|| = 1, on a (i,j) = (i,k) ⇐⇒ (j =k)d2) Montrer que si (i,j) est une base orthonorm´ee directe de E , alors (i,j) =π/2 [2π]23.2.6 Angles de droites vectoriellesDans cette partie E d´esigne un plan vectoriel Euclidien, et Δ l’ensemble des droites vectorielles de E2 2• D´efinition: (Angle de deux droites) La relation sur Δ×Δ:0 0 + 0 0(d,d)R(δ,δ ) ⇐⇒ ∃r∈O (E ),r(d) =δ,r(d) =δ20 0est une relation d’´equivalence. On appelle angle de deux droites d,d de E la classe de (d,d) dans Δ×Δ/R20 +• Lemme: Pour tout couple (d,d) de droites vectorielles de E , il existe un ´el´ement u de O (E ) tel que:2 2+ 0{r∈O (E )|r(d) =d} ={u,−Id◦u}2• Corollaire: (Structure de groupe) L’application qui a` une rotation r associe l’angle des droites (d,r(d))+O (E )2est ind´ependante de la droite d, et induit une bijection entre / et Δ× Δ/R. On munit{Id,−Id}l’ensemble des angles de droites d’une structure de groupe ab´elien telle que la bijection pr´ec´edente devienne +O (E )2un isomorphisme avec / ,◦ .{Id,−Id}Exercice II: Si θ et θ sont 2 angles de droites, expliciter la d´efinition de θ +θ .1 2 1 2 +O (E )2 / /•Proposition: SiE estorient´e,onaunisomorphismecanoniqueentre / ,◦ et(Z /πZ ,+)2 {Id,−Id}/ /• D´efinition: (Mesure d’un angle de droites) La mesure d’un angle de droites est l’´el´ement de Z /πZcorrespondant a` cet angle via les isomorphismes pr´ec´edents.3.2.7 ...

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Extrait

Exercice I:SoitE 2 ieor´ent.upnalEncuilidne d d 1) Montrer que pouri, j, k∈Etels que||i||=||j||=||k||= 1, on a (i, j) = (i, k)⇐⇒(j=k) d 2) Montrer que si (i, jnubesaoee)ts´eedirecrthonormedetE 2 , alors (i, j) =π/2 [2π]

3.2.6 Angles de droites vectorielles

Dans cette partieE 2 Euelidcln,ieetise´dritoecnvlanpeugnΔl’ensemble des droites vectorielles deE 2 D´efinition:(Angle de deux droites) La relation sur Δ×Δ: • (d, d 0 )R(δ, δ 0 )⇐∃⇒r∈O + (E 2 ), r(d) =δ, r(d 0 ) =δ 0 estunerelationd’´equivalence.Onappelleanglededeuxdroitesd, d 0 deE 2 la classe de (d, d 0 ) dans Δ×Δ/R •Lemme:Pour tout couple (d, d 0 ) de droites vectorielles deE 2 l´´euntetenemxesi,liudeO + (E 2 ) tel que: {r∈O + (E 2 )|r(d) =d 0 }={u,−Id◦u} •Corollaire:St(ctruedurorge)epupa’Lcilpretoa`nuqniutaoinatiorassocie l’angle des droites (d, r(d)) est independante de la droited, et induit une bijection entre O + (E 2 ) / {Id,−Id} et Δ×Δ/R munit. On ´ l’ensembledesanglesdedroitesd’unestructuredegroupeab´elientellequelabijectionpre´c´edentedevienne un isomorphisme avec  O + (E 2 / ) {Id,−Id} ,◦  . Exercice II:Siθ 1 etθ 2 icitexpltes,droiseednalgno2tsitinednoalrefie´dθ 1 +θ 2 . •Proposition:SiE 2 niisqoumeoernpthi´sem,eocnaanuontsroeitnere  O + (E 2 / ) {Id,−Id} ,◦  et (Z / /πZ / ,+) •noit:´Dinfieededangld’unsurerudemaseseL)ortiteoidrdelengna’udtneme´le´’ltsesZeeM( / /πZ / correspondant`acetanglevialesisomorphismespr´ec´edents.

3.2.7 Groupe orthogonal d’un espace Euclidien de dimension 3

Dans cette partie,E 3 eididednecaplcuEneigesunesd´3,etimensionΣesalonogthoresriseys´mtesnmelbdel’e parrapporta`unplan ´ etudedeO + (E 3 ) •Lemme:Pour toutudansO + (E 3 ) 1 est valeur propre deu. Siu6=Id, alors 1 est valeur propre simple. •nfie´D:noitiSiu∈O + (E 3 ), on dit queu Siest une rotation vectorielle.u6=Id, la droite ker(u−Id) est appel´eel’axedeu, et (ker(u−Id)) ⊥ le plan deu. •Proposition:Soitu∈O + (E 3 )− {Id} plan. LeH= (ker(u−Id)) ⊥ est stable paru, et sa restrictionu H appartient`aO + (H appelle angle de). Onul’angle deu H . • 4 !’dsnsexa´ffidneren’tsasapsede.LnsLa’ddtioidn’anglesderotatioednoitatnerieound’een´onadE 3 est insuffisante pour orienterH, on ne peut mesurer l’angle deueptuapstditonneautremenrpen,se`a’uqgisu leconsid´erercommeune´le´mentdeIR/2πZ / . Exercice III:Montrer que siE 3 rienesto,e´tisteHest un planE 3 nitairenuevtcuenrroamulad,ln´ond’ee `H´nee’dnuoeiersnte´aetquivalente`aladonontideH. a •:noi´eDitfinemtnlee´edi-tondemtun´uresmed(ot-iU)ruO + (E 3 ) d’angle plat. •Proposition:le´tuoTe´emtnu∈O + (E 3 seenprodd´ecompo)es,susiΣ.deplDeme´lstnedtiue´2eu6=Id, lesplansdecessyme´triesdoiventcontenirl’axedeu. •Proposition:tT´ou´eelntmeu∈O + (E 3 )´desmoceesopenproduitdedemi-otrus ´ etude deO − (E 3 ) •Lemme:∀u∈O − (E 3 ):−1 est valeur propre deu. Siu6=−Id, alors−1 est valeur propre simple. •Proposition:∀u∈O − (E 3 )− {−Id},∃(r, s)∈O + (E 3 )×Σ, u=r◦s=s◦r plus, si. Deu /∈Σ, ce couple est unique, etretsnomt.planˆeme Exercice IV:Soitu∈enrreimd´etΣ,{(r, s)∈O + (E 3 )×Σ|u=r◦s=s◦r} Exercice V:ete´Dtndserminerles´el´emeO + (E 3 ) qui sont diagonalisables. Exercice VI:elle valide si l’on ne suppose queLa proposition ci dessus reste u=r◦s Σ =? A-t-onO − (E 3 )? Exercice VII: Soit(Classification selon l’ensemble des vecteurs invariants).u∈ O(E 3 ). Etudier l’appartenance deuaux ensemblesO + (E 3 ), O − (E 3 ),Σ selon la dimension de l’ensemble des vecteurs invariants paru.

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3.3 Espaces Hermitiens

Dans toute cette partie,Eeund´esignC-espace vectoriel.

3.3.1D´efinitionsetproprie´te´s´ele´mentaires

•:ontiinfie´DAp(ioaticplits)Soiml-snesiaernie´EetF applicationdeux C-espaces vectoriels. UneudeE ¯ dansFsemi-lin´eairesietsidet∀x, y∈E,∀λ∈C, u(x+y) =u(x) +u(y), u(λ.x) =λ.u(x). •Pro:tee´rp´iSiusestrireakee,i-emn´liuet Imusont des espaces vectoriels. •oi:nDe´nfiti(Forme sesquilineaire hermitienne) Une applicationφ:E×E→meorsqsestCeefunrie´naeiuil hermitienne surE∀x, y∈E: i)φ(x, .) est lineaire, ii)φ(., y)estsemi-lin´eairee,itii)φ(x, y) =φ(y, x) ´ •´eDitfinn:io(Forme hermitienne) Une applicationq:E→IR est une forme hermitienne s’il existe une formesesquiline´airehermitienneφtelle que∀x∈E, q(x) =φ(x, x). (NB:φest unique, et on l’appelle forme polaire deq). On a de plus: •poirrPe:´et´(Formules de polarisation)∀x, y∈E:q(x+y) =q(x) +q(y) + 2Re(φ(x, y)) et φ(x, y) = 4 1 (q(x+y)−q(x−y)−iq(x+iy) +iq(x−iy)) 3.3.2 Formes quadratiques hermitiennes et bases Dans cette partie,Eigned´esnuC-espace vectoriel de dimension finie •tioi:nDe´nfi(Matrice adjointe) SoitAune matricep×qes.Oplexellenappnietdaojedntieomscac`fficoe Ala matriceA ∗ = t A. ¯ •:noitinefiD´(Matrice hermitienne)A∈ M n (C) est dite hermitienne (resp anti hermitienne) siA ∗ =A (respA ∗ =−A) •nfie´Dn:ioit(Matrice d’une forme hermitienne) Soitqune forme hermitienne surE,φsa forme polaire, et (e i ) 1≤i≤n une base deE appelle matrice de. Onqdans la base (e i ) 1≤i≤n la matriceA= (φ(e i , e j )) (i,j)∈{1...n} 2 . •Proposition:Soitqune forme hermitienne surE,Asa matrice dans une base (e i ) 1≤i≤n deE, etφla polaire deq. On a alorsA ∗ =A plus, pour tout. Dex, ydeE, siX, Yennolocn)ordoescoes(enn´ede´neltisng dex, ydans la base (e i ) 1≤i≤n , alorsq(x) =X ∗ .A.Xetφ(x, y) =X ∗ .A.Y •Corollaire:Si (e i ) 1≤i≤n et (e i 0 ) 1≤i≤n sont des bases deE, etPla matrice de passage de (e i ) 1≤i≤n a` (e i 0 ) 1≤i≤n , alors les matricesAetA 0 d’une forme hermitienneqdans ces bases sont telles queA 0 =P ∗ AP. 3.3.3 Espaces Hermitiens

•´Dfieno:init(esheFormiennrmitpoestitid´esniefi)sevtioSqune forme hermitienne.qest dite positive (resp de´finiepositive)si∀x∈E, q(x)≥0 (resp∀x∈E, x6= 0⇒q(x)>0) •Proposition:(Cauchy-Schwarz) Soitqune forme hermitienne positive surE, de forme polaireφ. On a: ∀x, y∈E,|φ(x, y)| ≤ p q(x) p q(y) •Proposition:(Minkowski) Soitqune forme hermitienne positive surE. On a: ∀x, y∈E, p q(x+y)≤ p q(x) + p q(y) Exercice VIII:Montrer que siEest de dimension finie, etqest une forme hermitienne positive surE, de matriceAdans une base (e i ) deE, alorsqisopevitteisluesenemitsesfinietd´eAest inversible. •Corollaire:Siqfin´eednnieitrmhesrola,evitisopeiestuneforme p q(.) est une norme surE. •itnofiein:´D(Espace Hermitien) (E, q) est un espace hermitien siEest un C-espace vectoriel de dimension finie, etquresosepivit´deninfieimreneitneformehuE •Proposition:Si (E, q) est un espace hermitien, alorsEeasebunde`essopq-orthonormale.

3.3.4 Endomorphisme adjoint

•efiD´tini:on(Adjoint d’un endomorphisme) Soit (E, q) un espace hermitien, et (.|.) la polaire deq, et u∈ L(E). Alors∃!v∈ L(E),∀x, y∈E,(u(x)|y) = (x|v(y)).vetspaepntdel´eadjoiu, et on le noteu ∗ •Corollaire:(E, q) hermitien, (e i abesu)endem´eeonororthE, alorsmat(u ∗ ,(e i )) = (mat(u,(e i ))) ∗ . •Propri´et´e:∀u, v∈ L(E),∀λ∈C: ∗ u ∗∗ =u, (u+v) ∗ =u ∗ +v ∗ , (λu) ∗ =λ ¯ u ∗ , (uv) ∗ =v ∗ u, siu∈GL(E),(u ∗ ) −1 = (u −1 ) ∗ D´efinition:(endomorphisme normal, hermitien, unitaire) (E, q Soit) hermitien.u∈ L(E), on dit queu • est normal siu ∗ u=uu ∗ , queuest hermitien siu=u ∗ , et queuest unitaire siu ∗ u=uu ∗ =Id. •n:ioitfinDe´U n ={A∈GL n (C)|AA ∗ =Id}est un sous groupe deGL n C(a)pplee´rguoepitunreai.

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