cours anneaux commutatifs

Description

Chapitre 2 Propriétés arithmétiques des anneaux commutatifs intègres 2.1 Divisibilité dans les anneaux commutatifs intègres Soit A un anneau commutatif intègre. On note avec une barre verticale la relation de divisibilit´e.Remarque 2.1.1. Il y a ´equivalence entre :(i) xjy et yjx,(ii)9u2A y =ux,(iii) (x) = (y).Proposition 2.1.2. a) Sur A la relation xy,9u2A y =ux est unerelation d’´equivalence.Les classes d’´e sont appel´ees classes d’´el´ements associ´es.c) La relation divise induit une relation d’ordre sur les classes d’´el´ementsassoci´es.La relation d’ordre pr´ec´edente permet de d´efinir les notions de PGCD et dePPCM comme borne inf´erieure et borne sup´erieure. L’existence n’est pas ga-rantie,maisilyatoujoursunicit´ecommeclassed’´el´ementsassoci´es.Donnonsune formulation pr´ecise na¨ıve.D´efinition 2.1.3. Soit A un anneau commutatif int`egre, et F un ensembled’´el´ements de A.a) d est (un) PGCD de F si et seulement si :8x2F djx ,et1168δ2A f0g (8x2F δjx))δjd .b) m est (un) PPCM de F si et seulement si :8x2F xjm ,et8μ2A f0g (8x2F xjμ))mjμ .D´efinition 2.1.4. p2 A est irr´eductible si seulement si p a deux classes de diviseurs : A et pA .On va relier cette notion `a celle d’id´eal.Proposition 2.1.5. Si l’id´eal pA est premier (on dit que p est premier),alors p est irr´eductible.2.2 Anneaux euclidiensD´efinition 2.2.1. Un anneau A est euclidien si et seulement s’il existe uneapplication d :A f0g !N satisfaisant la condition suivante ...

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Extrait

Chapitre

2

Proprie´t´esarithme´tiquesdes anneauxcommutatifsinte`gres

2.1

Divisibilite´danslesanneauxcommutatifs int`egres

SoitAitiftne`cumoumatteavecungre.Onnocitrlelarabeeveraaennanu relationdedivisibilite´. Remarque2.1.1.:ertneecnelavequilya´I (i)x|yety|x, × (ii)∃u∈A y=ux, (iii) (x) = (y). × Proposition 2.1.2.a) SurAla relationx∼y⇔ ∃u∈A y=uxest une relationd’e´quivalence. Lesclassesd’e´quivalencesontappele´esclassesd’e´l´ementsassocie´s. c)Larelationdiviseinduitunerelationd’ordresurlesclassesd’´ele´ments associe´s.

Larelationd’ordrepr´ec´edentepermetdede´finirlesnotionsdePGCDetde PPCMcommeborneinf´erieureetbornesup´erieure.L’existencen’estpasga rantie,maisilyatoujoursunicit´ecommeclassed’´ele´mentsassocie´s.Donnons uneformulationpre´cisena¨ıve. D´efinition2.1.3.SoitAanuaennfiti`entomuctamuete,grFun ensemble d’e´le´mentsdeA. a)dest (un) PGCD deFsi et seulement si : ∀x∈F d|x ,et

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∀δ∈A− {0}(∀x∈F δ|x)⇒δ|d . b)mest (un) PPCM deFsi et seulement si :

∀x∈F

x|m ,et

∀µ∈A− {0}(∀x∈F

x|µ)⇒m|µ .

D´efinition2.1.4.p∈Aitsenemulsesileibrre´udtcseitpa deux classes de × × diviseurs :AetpA.

Onvareliercettenotion`acelled’id´eal.

Proposition 2.1.5.aliS’ldie´pAest premier (on dit quepest premier), alorsprrtiestcbie´udel.

2.2

Anneaux euclidiens

D´efinition2.2.1.Un anneauAest euclidien si et seulement s’il existe une applicationd:A− {0}→−Nsatisfaisant la condition suivante : pour tout couple (a, b), avecb6= 0, il existe un couple (q, r) tel que :

a=bq+ret (r= 0 oud(r)< d(b)).

Remarque2.2.2.L’applicationdtseeppaee´ltsnuhmatoue(enunmeor). Exemples2.2.3.L’anneauZ, les anneauxK[X] avecKun corps sont des anneaux euclidiens.

Proposition 2.2.4.L’anneau des entiers de GaussZ[i]est euclidien.

Exercice2.2.5.uxescimaliditeucnaeneu’ldse´uaed1.rqrentMo.ne −1 2.Montrerquel’anneaudespolynoˆmesdeLaurentK[X, X], avecKun corps commutatif, est euclidien. 3. Pour un anneau euclidienAetSune partie multiplicative, estce que −1 l’anneauS A?est euclidien

2.3

Anneaux principaux

De´finition2.3.1.eauprincUnannentfigr`emuomtitannancuaelapiutse danslequeltoutid´ealestprincipal(engendre´parunseul´ele´ment).

Proposition 2.3.2.Tout anneau euclidien est principal.

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Th´eore`me2.3.3.Soientaetbemtnlee´ue´xdlapincriupeannna’usdA. a)dest PGCD deaetbsi et seulement si(d) = (a) + (b). b)mest PPCM deaetbsi et seulement si(m) = (a)∩(b).

Plusg´en´eralement:

The´ore`me2.3.4.SoitFune partie non vide d’un anneau principalA. a)dest PGCD deFsi et seulement sidlead´’ielrdeuatgte´´nrese engendre´parF. T b)mest PPCM deFsi et seulement si(m) = a∈E aA.

Corollaire 2.3.5.Dans un PGCD et un PPCM.

un anneau principal toute partie non vide deAa

Th´eor`eme2.3.6(Bezout).Dans un anneau principalAostnemtnel´eeux´,d 1comme PGCD (sont premiers entre eux) si et seulement s’il existe un couple (u, v)tel que : ua+vb= 1.

The´ore`me2.3.7.SoitpseL.lapinannld’urinceaup´lmenue´nounnent e´nonce´ssuivantssonte´quivalents: a)pirr´eductible;ets b)l’ide´al(p)est premier (p;est premier) c)l’ide´al(p)est maximal.

Corollaire 2.3.8.ansuDpilaircnaepuannnlpeamireou,td´titseonrelunn maximal.

Proposition 2.3.9(Lemme de Gauss).Dans un anneau principalA, sia|bc etaest premier avecb, alorsa|c.

Corollaire 2.3.10(Lemme d’Euclide).Dans un anneau principalA, si un ´el´ementpremierdiviseunproduit,alorsildivisel’undesfacteurs.

Proposition 2.3.11.Dans un anneau principal, toute d’id´eauxeststationnaire.

suite croissante

Th´eor`eme2.3.12.ciinl,paneanpraudenuoce´xelietsinitiomposaDsnnu enfacteursirre´ductibles,uniqueauxinversiblespre`seta`l’ordrepre`sdes facteurs (essentiellement unique).

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23/09/2010

2.4

Anneaux factoriels

D´efinition2.4.1.nifige`tmmoctatuanUnauneteesluetorielsireestfac mentsitoute´l´ementnonnuletnoninversiblesed´ecomposedemani`ere essentiellementuniquecommeproduitsd’´el´ementsirre´ductibles. The´ore`me2.4.2.Un anneauAest factoriel si et seulement si : a)Toutesuitecroissanted’id´eauxprincipauxeststationnaire,et b)toute´l´ementirre´ductibledeAest premier. Remarque2.4.3.On rappelle qu’il est toujours vrai dans un anneau commu tatifinte`grequ’une´le´mentpremierestirre´ductible.Dansunanneaufactoriel l’uncite´delad´ecompositionenirr´eductiblesassurequesiunirr´eductiblep estde´compos´eenproduit:p=ab, alorsaoube´a`osiectssap,te´eall’iddonc (p) est premier. M  Exemple2.4.4.L’anneauZ[X] n’est pas factoriel. Proposition 2.4.5.Dans un anneau factoriel toute famille finie a un PGCD et un PPCM. Proposition 2.4.6(Lemme de Gauss).Dans un anneau factorielA, sia|bc etaest premier avecb( i.e.1est PGCD deaetb), alorsa|c. 27/09/2010 D´efinition2.4.7.uotltlsnaeuqeeaudnannesturienhte´nueonnaeUan ide´alestdetypefini,c’est`adireengendr´eparunepartiefinie. Remarque2.4.8.lsnaDcnonsaceesdinlr´dfieitnoseontatiommupeutf,on noeth´erien`agaucheetnoethe´rien`adroite.Onpourraconside´rerdesanneaux noethe´riensquinesontpasinte`gres. Remarque2.4.9.naUeannrienth´e.cnpipuirnteolase Proposition 2.4.10.L’anneauZ[X]eh´etnosterien. Exercice2.4.11.1. Montrer que si l’anneauAest principal, alorsA[X] est noeth´erien. 2. (*) Montrer que siAre´hteonfitatummcoauneanunste,neirolasA[X] est noethe´rien. Proposition 2.4.12.nUanneaucommutatifhteontseisneire´emulseetten sitoutesuitecroissanted’id´eauxeststationnaire. Proposition 2.4.13.SoitAucommutaunannearg.eiSitiftne`Aest noethe´rien,alorsAitlbdecuetsitemenseulsietri´remtnlee´uo´tleirotcaftse deAest premier. Exercice2.4.14.Montrer queZ[X] est un anneau factoriel.

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