cours-Chap2-Les configurations usuelles

Olivier

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Seconde Chap 2 : Configurations du plan 1. Les configurations usuelles. 1.1. Les droites et points remarquables du triangle. On appelle médiane d'un triangle On appelle hauteur du triangle, toute toute droite qui passe par un sommet du droite qui passe par un sommet du triangle triangle et le milieu du côté opposé. et est perpendiculaire au côté opposé. Les trois médianes d'un triangle Les trois hauteurs d'un triangle sont sont concourantes et se coupent en un concourantes et se coupent en H appelé point G appelé .................................................................................. ............. . ............. B B A A C CÆ On appelle médiatrice d'un segment On appelle bissectrice de l'angle ABC la droite qui passe par le milieu du la droite qui partage cet angle en deux segment et est angles de même mesure. perpendiculaire à celui-ci. Dans un triangle, les trois Dans un triangle, les trois bissectrices sont concourantes et se médiatrices sont concourantes et se coupent en un point I appelé coupent en un point O appelé .................................................................................. ..................... ................... Ce cercle est tangent aux trois côtés du triangle. B B A A CCBERTAUD MH – Seconde 5 – 25 ex – 25/09/2001 page 1 Cas particuliers : Dans un triangle isocèle, la médiane, la hauteur, la médiatrice et la bissectrice ...

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Seconde Chap 2 : Configurations du plan 1. Les configurations usuelles. 1.1. Les droites et points remarquables du triangle.  On appellemédianeOn appelled'un triangle hauteurdu triangle, toute toute droite qui passe par un sommet du droite qui passe par un sommet du triangle triangle et le milieu du côté opposé. et est perpendiculaire au côté opposé.  Les trois médianes d'un triangle Les trois hauteurs d'un triangle sont sont concourantes et se coupent en un concourantes et se coupent en H appelé point G appelé .......................................... ........................................ ............. . ............. B B

A

A

Æ  On appellemédiatrice On appelle d'un segment bissectricede l'angleABC la droite qui passe par le milieu du la droite qui partage cet angle en deux segment et est angles de même mesure. perpendiculaire à celuici.  Dans un triangle, les trois  Dans un triangle, les trois bissectrices sont concourantes et se médiatrices sont concourantes et se coupent en un point I appelé coupent en un point O appelé .......................................... ........................................ ..................... ...................  Ce cercle est tangent aux trois côtés  du triangle. B B A A

BERTAUD MH – Seconde 5 – 25 ex – 25/09/2001

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Cas particuliers:  Dans un triangle isocèle, la médiane, la hauteur, la médiatrice et la bissectrice relatives au sommet principal sont confondues.  Dans un triangle équilatéral, les médianes, hauteurs, médiatrices et bissectrices sont confondues. 1.2. Le triangle rectangle. Propriétés du triangle rectangle      A côt é adj acent à B côt é opposé à B B Hypot énuse C

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 Comment reconnaître un triangle rectangle ?      1.3. La propriété de Thalès

B

E

A

F

C

F

B

E A

C

Théorème de THALES SI alors Réciproque du théorème de THALES SI alors

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page 4

2. Les transformations usuelles. 2.1. Définitions. Par une transformationf M , tout point M du plan a pour image un unique point M'. M' · On dit que M' est le transformé de M par · fou encore que M' est l'image de M par f. antécédent De plus, tout point M' a un antécédent image ou transformé par la transformationf. ½ ¾ ¾ ® On écrit :f: M M' ou M' =f(M) a) Symétrie orthogonale. M D L'image d'un point M par la symétrie d'axe est le point M' tel que : ·D si M est sur alors M = M' ·D D si M n'est pas sur , alors est la médiatrice de [MM'] D b) Symétrie centrale. M L'image du point A par la symétrie de centre O est le point A' tel que O est le milieu de [AA'] O M'

c) Translation. L'image du point M par la translation de vecteur ® ¾® ® uest le point M' tel queMM’=u d) Rotation. L'image d'un point M par la rotation de centre O a et d'angle est le point M' tel que : ·si M = O alors M' = O ·¹ a a si M O alors OM' = OM et MOM’=

O

M

a

u

M'

M

M'

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2.2.

Effets des transformations.

théorème ·Les translations, les symétries, les rotations transforment une droite en une droite. ·De plus, deux droites parallèles sont transformées en deux droites parallèles et deux droites perpendiculaires en deux droites perpendiculaires.

Exemples : Construire l'imaged' 1 ded 1 par la symétrie de centre O.

d 1

O

D Construire les imagesd' 2 etd' 3 ded 2 etd 3 .par la symétrie par rapport à

d 2

d3

D

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Ä Construired' 4 etd' 5 les images ded 4 etd 5 par la translation de vecteurAB

A

B

 théorème Par une symétrie, une translation, une rotation : · l'image d'un segment est un segment de même longueur et les milieux se correspondent dans la transformation. ·un cercle a pour image un cercle de même rayon et les centres se correspondent dans la transformation.  Exemple : Construire l'image C ' du cercle C par la rotation de centre O et d'angle 60°dans le sens direct. B O I A

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 A' et B' sont les images respectives de A et B par la rotation. Montrer que [A'B'] est un diamètre de C '.

3. Calculs de grandeurs : angles et aires. 3.1. Les angles. théorème La somme des angles d'un triangle est égale à 180°. A côt é adj acent à B  définition côt é opposé à B ABC est un triangle rectangle en A. d BA côté adjacent àB B 0 d cos B = = BC hypoténuse Hypot énuse C d CA côté opposé àB 0 d sin B = = CB hypoténuse d AC côté opposé àB 0 d tan B = = AB d côté adjacent àB théorème sinx Sixdésigne la mesure d'un angle aigu: cos²x= sin²x= 1 et tanx= cosx Valeurs remarquables et configurations associées. C D C x45° 60° 30° 30° cosx a d=a 2 h sinx 60° 45 B a B H a/ a/ 2 2 A A tanx  théorème Les translations, les symétries, les rotations conservent les angles géométriques. Æ Æ Si A', B' et C' sont les images de A, B, C alorsA'B'C'=ABC Les aires. théorème  Les translations, les symétries, les rotations conservent les aires.

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