Cours complet sur les suites de reels - Bacamaths

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SUITES DE NOMBRES RÉELS1. Définition d'une suite1.1. DéfinitionUne suite numérique est une fonction de dans , définie à partir d'un certain rang n ˛ .0La notation (u ) désigne la suite en tant qu'objet mathématique (que l'on note parfois tout simplement u) et un ndésigne l'image de l'entier n (appelé encore terme d'indice n de la suite (u )), terme que l'on pourrait noter u(n)nmais l'usage en a voulu autrement.Certaines suites ne sont définies qu'à partir d'un certain rang, comme par exemple :1 *u = définie pour n ˛ nnv = n - 3 définie pour n  3nn , +¥ = ensemble des0entiers n tels que n n .Notons que le domaine de définition est nécessairement du type n , +¥ où n ˛ . 00 0Il faut bien comprendre qu'il y a de multiples façons de définir une suite. Nous en rencontrerons principalementde deux types. Celles qui sont définies par une "relation de récurrence" et la donnée d'un ou plusieurs termesinitiaux comme par exemple u = u + u et u = 0 ; u = 1 (suite de Fibonacci). Et celles qui sont définiesn+2 n+1 n 0 1explicitement "en fonction de n" comme les deux exemples cités juste au-dessus. Les stratégies pour étudier lessuites dépendront justement de leur type. Techniques fonctionnelles pour les suites de la forme u = ƒ(n) etntechniques de récurrence pour les suites récurrentes.2. Sens de variation (ou monotonie) d'une suite2.1. DéfinitionSoit (u ) une suite de nombres réels. On dit que :n• La suite (u ) est croissante (à partir du rang n ) lorsque ...

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SUITES DE NOMBRES RÉELS

1. Définition d'une suite 1.1. Définition Une suite numérique est une fonction dedans, définie à partir d'un certain rangn0 ∈ . La notation (un) désigne la suite en tant qu'objet mathématique (que l'on note parfois tout simplementu) etun désigne l'image de l'entiern(appelé encore terme d'indicende la suite (un)), terme que l'on pourrait noteru(n) mais l'usage en a voulu autrement. Certaines suites ne sont définies qu'à partir d'un certain rang, comme par exemple : un = 1 pour définien ∈ * n vn = n− pour3 définien 3 n0,+∞ =ensemble des Notons que le domaine de définition est nécessairement du typen0,+∞oùn0 ∈ .entiersntels quen  n0. Il faut bien comprendre qu'il y a de multiples façons de définir une suite. Nous en rencontrerons principalement de deux types. Celles qui sont définies par une "relation de récurrence" et la donnée d'un ou plusieurs termes initiaux comme par exempleun+2 = un+1 + unetu0 =0 ;u1 = (suite de Fibonacci). Et celles qui sont définies 1 explicitement "en fonction den" comme les deux exemples cités juste au-dessus. Les stratégies pour étudier les suites dépendront justement de leur type. Techniques fonctionnelles pour les suites de la formeun = ƒ(n) et techniques de récurrence pour les suites récurrentes.

2. Sens de variation (ou monotonie) d'une suite 2.1. Définition Soit (unde nombres réels. On dit que :) une suite •La suite (un) est croissante (à partir du rangn0) lorsqueun  un+1pour tout entiern  n0. •La suite (un) est strictement croissante (à partir du rangn0) lorsqueun<un+1pour tout entiern  n0. •La suite (un) est décroissante (à partir du rangn0) lorsqueun  un+1pour tout entiern  n0. •La suite (un) est strictement décroissante (à partir du rangn0) lorsqueun>un+1pour tout entiern  n0. •La suite (un) est monotone (à partir du rangn0) si elle est croissante ou décroissante à partir du rangn0. •La suite (un) est stationnaire s'il existe un entiern0tel queun = un+1pour tout entiern  n0. •La suite (un) est constante lorsqueun = un+1pour tout entierndu domaine de définition de (un). Remarques : •suite stationnaire et une suite constante, donnons un exemple.Pour comprendre la nuance entre une NotonsEla partie entière d'un réel (par exempleE(π)=3) et (un) la suite définie, pourn ∈ *, par : E1 un = n On au1 = E(1)=1,u2 = E(0,5)=0 puis pour toutn 2,un =0. La suite (un) est stationnaire (à partir du rang 2) mais non constante puisqueu1 =1 etu2 =0. Suites de nombres réels Page1G. COSTANTINIhttp://bacamaths.net/

•Il existe des suites qui sont ni croissantes, ni décroissantes. Par exemple :un =(−1)n. •Il est tout à fait correct de dire qu'une suite est croissante sur l'intervallen0,+∞au lieu de dire qu'elle est croissante à partir du rangn0. •Contrairement aux fonctions de la variable réelle, on ne définit le sens de variation d'une suite que sur des intervalles de la formen0,+∞se passe pour les premiers termes reste, ici, anecdotique.; ce qui

2.2. Techniques d'étude de la monotonie d'une suite: 2.2.1. Technique fonctionnelle: utilisable pour les suites du typeun = ƒ(n). 2.2.1. ThéorèmeOù l'on utilise le sens de variation de lafonction associée Soit (un) la suite définie parun ƒ(n) oùƒpy e[]lle du t intervaus enu réd ninifon fioctst ene ua;+∞[ oùa ∈ +. = Si la fonctionƒnom tse r ][e suotona;+∞[ alors la suite (un) est monotone surE(a)+1 ;+∞et possède le même sens de variation queƒ. Démonstration : Supposonsƒrc ssoiteanur s[ ]a;+∞[. (Les autres cas se prouvent de manière analogue) Soitn ∈ E(a)+1 ;+∞. Commeƒest croissante sur [E(a)+1 ;+∞[, on a alors : un+1 − un = ƒ(n +1)− ƒ(n)0 Donc (un) est croissante surE(a)+1 ;+∞. De même, la stricte monotonie deƒentraîne celle de (un).

Exemple 1 : soit (un) la suite définie, pourn 1, par : π un =cos n Notonsƒla fonction définie sur [1 ;+∞[ par :ƒ(x)=cosπ x La fonctionƒest dérivable sur [1 ;+∞[ et on a : πsin ƒ'(x)= x2xπ Or, pour toutx ∈[1 ;+∞[, on a :π ∈]0 ;π[ x Et donc : sinπ 0 x D'où :ƒ'(x)0 Doncƒest croissante sur [1 ;+∞[. En conséquence, la suite (un) est croissante pourn 1.

Suites de nombres réels

Le symbole [] signifie que l'intervalle peut être ouvert ou fermé.

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2n2+1 = Exemple 2 :un n2+5 Considérons la fonctionƒdéfinie sur [0 ;+∞[ par : ƒ(x)= 2xx22++51 La fonctionƒest dérivable sur [0 ;+∞[ et : ƒ'(x)= 218x52 0 x+ La dérivéeƒ'est strictement positive sur ]0 ;+∞[ et s'annule en 0, donc la fonctionƒest strictement croissante sur [0 ;+∞[. Par conséquent, la suite (un) est donc strictement croissante.

2.2.2. Techniques algébriques C'est l'utilisation pure et simple de la définition : (un) est croissante à partir du rangn0 ⇔ pour toutn  n0on aun+1 − un 0

Exemple 1 :un =2n+sinn Étudions, pour tout entiern, le signe de la différence de deux termes consécutifs : un+1 − un =2(n +1)+sin(n +1)−2n −sinn =2+sin(n +1)−sinn Or :−1sin(n+ 1)1 et−1 −sinn 1 En ajoutant membre à membre :−2sin(n +1)−sinn 2 Par conséquent :un+1 − un 0 La suite (un) est donc croissante.

Variante : soit (un) une suite à termes STRICTEMENT POSITIFS. Si, pour tout entiern,un+1 1 alors la suite (un) est croissante. un Si, pour tout entiern, 0 <un+1 1 alors la suite (un) est décroissante. un

Exemple 2 :un = 22npourn  1 n La suite (un) à termes STRICTEMENT POSITIFS. Évaluons, pour toutn consécutifs par rapport à 1 :1, la situation du quotient de deux termes + uunn+1= n2n112×2n2n=2nn+12 × + Recherchons s'il existe des valeurs de l'entiernpour lesquelles le quotient ci-dessus est supérieur à 1 :  ( 1 2−1)n 1⇔ n  2+1 unun+11⇔ nn+122( 2⇔) nn+11 2⇔ 2n  n +1⇔ (5) L'équivalence (2) est justifiée par la croissance de l'applicationt atsur+. L'équivalence (5) est obtenue à l'aide de l'identité ( 2− 21) (+1)=1. Suites de nombres réels Page3G. COSTANTINIhttp://bacamaths.net/

Ornest un entier ; le quotientun+1est supérieur ou égal à 1 si et seulement sinest supérieur ou égal à 3. un Comme la suite (un) est à termes strictement positifs, il vientun+1  unpourn 3. La suite (un) est croissante pourn 3. Note : si l'on a pronostiqué le résultat (avec une calculatrice par exemple), on peut alors rédiger une solution plus courte : pourn  13, on a :+ 11+ 13 n n+1 4  n3 Par passage à l'inverse, il vient :nn+1 positifs)éte tnern morbseilagéni(43 En éle l vient :n vant au carré, in+12e desanc 19orsi 6c(t at2sur+) D'où : 2× nn+12 181 16 Même conclusion que précédemment. Notons, au passage, que puisqueu3 =e la sui terme d: ( et ,noa e89p sutitel tslp eun) minorée.(Voir plus bas)

Exemple 3 :cas d'une suite définie par une somme un =1+ 122+ 132+... 1n∑ pour 1n ∈ * + 2=k2 nk=1 = 01 > On a, pour toutn ∈ *:un+1 − un (n+1)2 Donc (un) est strictement croissante.

2.2.3. Technique par récurrence: pratique pour les suites du typeun+1 = ƒ(un). Exemple : Soit (un) la suite définie par :uu0n+=16un 1= Démontrons par récurrence que cette suite est décroissante. On considère la propriété℘définie pourn ∈ par : ℘(n) : 0 un+1  un •On au1 =4 donc 0 u1  u0, d'où℘(0). Donc la propriété℘est initialisée au rang 0. •Montrons que℘est héréditaire à partir du rang 0. Soitn ∈ . Supposons℘(n) : 0 un+1  un Alors, par croissance de l'applicationt atsur+, nous avons : 0un+1 un 0 un+2  un+1

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Nous reparlerons de cette suite à d'autres occasions.

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D'où℘(n +1). La propriété℘au rang 0 et héréditaire à partir du rang 0, donc d'après le principe de initialisée est raisonnement par récurrence, elle est vraie à tout rangn: pour toutn 0, on aun+1  un La suite (un) est bien décroissante.

3. Suite majorée, suite minorée, suite bornée 3.1. Définition Une suite (un) est majorée lorsqu'il existe un réelMtel queun  Mpour tout entiern. Une suite (un) est minorée lorsqu'il existe un réelmtel quem  unpour tout entiern. Une suite (un) est bornée lorsqu'elle est minorée et majorée : il existe des réelsmetMtels quem un  Mpour tout entiern Remarque : Une suite (un) est bornée si et seulement si il existe un réelMtel que |un| Mpour tout entiern. En effet, si (un) est bornée, il existe des réelsaetbtels que pour tout entiernon ait : a  un  b NotonsM =max(|a| ; |b|). Commeb |b| Met−M  −|a| a, on obtient : −M  un  M D'où : |un| M La réciproque est évidente.

3.2. Techniques pour prouver qu'une suite est majorée (ou minorée ou bornée): 3.2.1. Technique algébrique: manipulation d'inégalités n −1+n Exemple 1 :un = ( )2 poursin ,n ∈ * n On a :−2(−1)n +sinn 2 et 0 121 (n 1) n D'où :−2 un 2 La suite (un) est bornée. n Exemple 2 :un = ∑k12, pourn ∈ * k=1 Montrer que (un) est majorée par 2. En remarquant que, pourk 2 :k12  k(k1−1) k1−1− 1k On a :un =1+ nk∑=2k121+ n∑1−1=1+1− n1=2− 1n2 k=2k−1k

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Nous reparlerons de cette suite à d'autres occasions.

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Exemple∑n1 3 :un = k=0k! Montrer que (un) est majorée par 3. Montrons tout d'abord, par récurrence, la propriété℘, définie pourk ∈ *, par : ℘(k) :k! 2k−1 •On a évidemment℘(1). La propriété℘est initialisée au rang 1. •Montrons que℘est héréditaire à partir du rang 1. Soitk ∈ *. Supposons℘(k) :k! 2k−1 Alors on a : (k +1)!=(k +1)× k!(k +1) 2k−1 Et comme (k +1) (2 :k +1)! 2k Ce qui est℘(k +1). Du principe de raisonnement par récurrence, on déduit : k! 2k−1pour toutk 1 n1 On peut donc écrire :un =1+ k∑n=1k1!1+ ∑=12k−1 k ation d'indice :n= n∑−11k Or, par translk∑=12k1−1k=02 On reconnaît une somme dene qu rdesoai12n us e etimoégirté ,'dùo: écutconsd'unifs em st re n−11k1−12n k∑02= 11=21−21n2 =− 2 D'où, en ajoutant 1 :un 3 On a prouvé que la suite (un) est majorée par 3.

Nous reparlerons de cette suite à d'autres occasions.

3.2.2. Technique fonctionnelle 2 Exemple :un = 2nn2++51 Considérons la fonctionƒdéfinie sur [0 ;+∞[ par : ƒ(x)= 2xx22++51 On a déjà vu, plus haut, queƒest croissante sur [0 ;+∞[.On peut aussi retrouver ce résultat par Par ailleurs, on aƒ(0)=e 51 t limƒ(x)=2. La suite (un)boc éernst eon d2 te.rap 51 alégésit)d'inion ulatanip.eM(iruqglbéeda hoét mla x→ +∞

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3.3.3. Technique par récurrence Exemple :un+1 = 6+un avecu0 =0 Montrer que cette suite est bornée. Le calcul des premiers termes (u1 = 6 2,45 ;u2 = 6+6 et 2,91u3 =6+6+6 nous 2,98) amène à considérer la propriété℘, définie pourn ∈ , par : ℘(n) : 0 un 3 •Par hypothèse, on a℘(0). La propriété est initialisée au rang 0. •Montrons que℘est héréditaire à partir du rang 0. Soitn ∈ . Supposons℘(n) : 0 un 3 Alors, en ajoutant 6 : 66+ un 9 Par passage à la racine carrée (qui est une fonction croissante sur+) : 6 6+un3 Donc : 0 un+1 3 Conclusion : pour tout entiern 0, on a : 0 un 3

4. Comportement asymptotique d'une suite de réels 4.1. DéfinitionSuite convergente On dit qu'une suite converge (ou admet une limite finie) lorsqu'il existe un réelltel que : tout intervalle ouvertIcentré enlcontient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Lorsque (un) converge versl, on note alors :l = limun n→+∞ Une suite non convergente est appelée suite divergente. En formulant différemment cette définition, on obtient plusieurs variantes toutes équivalentes : (un) converge lorsqu'il existe un réelltel que : 1) Tout intervalleI =]l − ε,l + ε[ (ε ∈ +∗) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. 2) Pour tout réelε ∈ ∗+, il existe un rangNà partir duquel tous lesunenfirivé t un ∈]l − ε,l + ε[. 3) Pour tout réelε ∈ ∗+, il existe un rangN tel que pour tout indicen, on ait : n  N ⇒ |un − l| <εLire :n  N implique |un − l| <ε Graphiquement, cela se traduit ainsi : Quelle que soit la largeur de la bandehorizontale choisie,il existe un rang(ou un indice) à partir duquel tousles points de la représentation graphique de la suite sont situés dans cette bande.

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fû·[²mFrc3a9" style="top:1593px;left:919px;width:130px;height:19px;">

Illustration avec la suite (un) définie par : un

2 l + ε l l − ε 1

3n+5×(−1)n u= n 2n

Rang à partir duquel tous les points sont dans la bande choisie

Sur cet exemple, le graphique permet de conjecturer que la suite (unesme d )oc vgeernv, 32s erl euq ecèroéht e gendarmes confirmera. (Voir 6.2.) Remarque : on peut très bien travailler avec un intervalleIqui est fermé (et donc avec des inégalités larges).

4.2. PropriétéUnicité de la limite Si une suite (un) converge, alors sa limitelest unique. Démonstration Raisonnons par l'absurde. Supposons que la suite (un) admette deux limites distinctesl1etl2avecl1<l2. Notonsd = l2 − l1. Comme (un) converge versl1, à partir d'un certain rangN1, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle ouvertI1de centrel1 3et de rayond. De même, comme (un) converge versl2, à partir d'un certain rangN2, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle ouvertI2de centrel2 3et de rayond. Donc à partir du rangN =max(N1,N2), tous les termes de la suite sont simultanément dansI1etI2. Or ces deux intervalles sont disjoints (ils ne se chevauchent pas). Ce qui n'est pas possible. Ceci prouve l'unicité de la limite.

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I