Cours d'Algèbre linéaire et géométrie

Christophe Guyeux

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` ´ ´ ´Algebre lineaire et geometrie
Christophe GUYEUX
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21 octobre 20092Table des matie`res
´1 Reperage dans le plan et l’espace 7
1.1 Syste`mes de coordonne´es dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Coordonne´es carte´siennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Coordonne´es polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Syste`mes de coordonne´es dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Coordonne´es carte´siennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Coordonne´es cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Coordonne´es sphe´riques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Re´solution de quelques proble`mes ge´ome´triques 13
2.1 Produit scalaire, produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
´2.2 Equations de droites et de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 La droite dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 Le plan dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.3 La droite dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
´2.3 Equations de cercles, de sphe`res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1 Le cercle dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2 La sphe`re dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Calcul de distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.1 Distance entre deux points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.2 Distance d’un point a` une droite dans le plan . . . . . . . . . 20
2.4.3 Distance d’un point a` un plan dans l’espace . . . . . . . . . . 21
2.4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Syste`mes d’e´quations line´aires 25
3.1 Pre´sentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 Exemples d’utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.2 Nombre de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Algorithme du pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3`4 TABLE DES MATIERES
3.2.1 Premie`re e´tape : descente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.2 Deuxie`me e´tape : remonte´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.3 Cas ou` l’un des pivots est nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.1 Syste`mes carre´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.2 Syste`mes rectangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.3 Syste`mes a` parame`tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Notion de de´terminant 35
4.1 De´terminant de petites tailles (¡4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.1 De´terminant de taille 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.2 De´terminant de taille 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.3 De´terminant de taille 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Cas ge´ne´ral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Application du de´terminant aux SEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3.1 Nombre de solutions du SEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3.2 Formule de Cramer (pour les petits syste`mes) . . . . . . . . . 42
4.3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 Matrices 47
5.1 Ope´rations e´le´mentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.1 Pre´sentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.2 Addition matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.3 Soustraction matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1.4 Transpose´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.5 Multiplication matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.6 Multiplication d’un nombre (scalaire) et d’une matrice . . . . 52
5.1.7 Puissances de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 Inverse d’une matrice, syste`mes line´aires . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2.1 Lien avec les syste`mes line´aires . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2.2 Inverse d’une matrice carre´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3 Applications des matrices a` la ge´ome´trie . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3.1 Matrices et transformations du plan . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3.2 Matrices et transformations de l’espace . . . . . . . . . . . . 67
6 Espaces vectoriels 73
6.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.1.1 De´finition d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.1.2 Notion de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74`TABLE DES MATIERES 5
6.1.3 Exemples d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.1.4 Proprie´te´s des espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2.1 De´fintion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.3 Familes libres, ge´ne´ratrices, et bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3.1 Bases et dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . 82
6.3.2 Exemples de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3.3 Utilite´ des bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3.4 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.3.5 Familles ge´ne´ratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.3.6 Bases versus libres et ge´ne´ratrices . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.4 Applications line´aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4.1 De´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4.2 Proprie´te´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4.4 Somme et composition d’applications line´aires . . . . . . . . 91
6.4.5 Applications line´aires et bases . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.4.6 Noyau et image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.5 Matrices et applications line´aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.6 Notion de valeur propre et vecteur propre . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Index 95`6 TABLE DES MATIERESChapitre 1
Repe´rage dans le plan et l’espace
1.1 Syste`mes de coordonne´es dans le plan
1.1.1 Coordonne´es carte´siennes
De´finition
´ ` ´DEFINITION 1 (REPERE CARTESIEN). On appelle repe`re carte´sien du plan tout tri-
→− −→
plet (O, i , j ), ou` :
– O est un point fixe´ du plan, nomme´ origine,
−→ −→
– i et j sont deux vecteurs non coline´aires ( : n’ayant pas meˆme direction).
−→ −→ −→ −→
On se limitera aux repe`res orthonorme´s ( i⊥j ,k i k=k j k= 1) directs : la
−→ −→πrotation de centreO, d’angle + , envoie i sur j .
2
NOTATION : De tels repe`res seront note´s ROND.
Conse´quence
´ ´PROPRIETE I : Tout vecteur du plan se de´compose (graˆce aux projections) en la
−→ −→
somme d’un vecteur coline´aire a` i et d’un autre coline´aire a` j .
→− −→
REMARQUE 1. (2,3) repre´sente les coordonne´es du point M dans le repe`re(O, i , j ).
7´8 CHAPITRE 1. REPERAGE DANS LE PLAN ET L’ESPACE
M
u = 2 i 3 j
j
O i
1.1.2 Coordonne´es polaires
−→ −→
On se donne une origineO, et un vecteur i (= 0 ).
De´finition
´ ´DEFINITION 2 (COORDONNEES POLAIRES). On appelle coordonne´es polaires du point
M, le couple (r,θ), ou` :
−−→
– r =kOMk,
−−→−→\
– θ = i OM. ♦
M
0
axe
polaireO i
→− →−
REMARQUE 2. Si le plan est de´ja` muni d’un repe`re carte´sien (O, i , j ), on prend
−→
(sauf mention du contraire) O pour origine des coordonne´es polaires, et l’axe O i
pour axe polaire.
6
u
u` ´1.1. SYSTEMES DE COORDONNEES DANS LE PLAN 9
Relations avec les coordonne´es carte´siennes
→− →−