cours d'analyse

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Extrait

1
Universit´e de Cergy-Pontoise
D´epartement de Math´ematiques
Cours d’analyse option M1
1DAVEAU CHRISTIAN
1Universit´e de Cergy-Pontoise, D´epartement de math´ematique, 95302, Cergy-Pontoise, cedex
France.2Table des mati`eres
I Semaines 1,2 et 3 7
1 Ensemble des r´eels 9
1.1 Ensemble de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . 9
1.1.2ble des entiers relatifs . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Ensemble des rationnels . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4ble des r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Densit´e deQ dansR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Relation d’ordre dansR . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Topologie deR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Valeur absolue et distance dansR . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Majorant et minorant dansR . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Formule du binˆome et identit´es remarquables. . . . . . 17
1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Un peu de logique 21
2.1 Implication, ´equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Diff´erents types de raisonnements . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 raisonnement direct et par contrapos´ee . . . . . 22
2.2.2 Raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . 24
2.2.3t par r´ecurrence . . . . . . . . . . 24
2.2.4 Utilisation d’un contre-exemple . . . . . . . . . 25
2.2.5 Raisonnement par disjonction des cas . . . . . . 25
2.3 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26`4 TABLE DES MATIERES
2.3.2 Inclusion, Intersection, Compl´ementaire . . . . . 27
2.3.3 Produit cart´esien . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
II Semaines 4, 5 et 6 33
3 Application et suite num´erique 35
3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.2 Application injective surjective bijective . . . . 37
3.2 Fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.1 Convergence, divergence . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.2 Propri´et´es d’ordre des suites r´eelles convergentes 43
3.3.3´et´es alg´ebriques des suites r´eelles conver-
gentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.4 Suites particuli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.5 Borne sup´erieure inf´erieure dansR . . . . . . . 47
3.3.6 Suite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.7 Suite adjacente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.8 Suite extraite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.9 Suite de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.10 Suite r´ecurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4 Complexes 61
4.1 Ensemble des nombres complexes . . . . . . . . . . . . 61
4.1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.2 Propri´et´es du module et de l’argument . . . . . 62
4.1.3 Formules de Moivre et d’euler . . . . . . . . . . 62
4.1.4 Lin´earisation et op´eration inverse . . . . . . . . 63
4.2 Racine n ieme d’un complexe . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 Calcul des racines carr´ees d’un complexe . . . . . . . . 65`TABLE DES MATIERES 5
4.4 Equation du second degr´e . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5 Exercices sur les complexes : . . . . . . . . . . . . . . . 66
III Semaines 7,8 69
5 Limite et continuit´e 71
5.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1.2 Ordre et limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.1.3 Op´erations alg´ebriques pour les fonctions ad-
mettant une limite finie . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.4 Op´erations alg´ebriques pour les fonctions ad-
mettant une limite infinie . . . . . . . . . . . . 76
5.1.5 Etude de limite pour une fonction monotone . . 77
5.2 Continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2.2 Op´erationsalg´ebriquessurlesapplicationsconti-
nues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2.3 Th´eor`eme des valeurs interm´ediares . . . . . . . 81
5.2.4 L’image d’un segment par une fonction continue 82
5.2.5 Application r´eciproque . . . . . . . . . . . . . . 83
5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3.1 Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3.2 Continuit´e en un point . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3.3 Continuit´e sur un intervalle . . . . . . . . . . . 87
5.3.4 Fonction r´eciproque . . . . . . . . . . . . . . . . 89
IV Semaines 9,10,11 91
6 D´erivation 93
6.1 D´eriv´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93`6 TABLE DES MATIERES
6.1.2 Propri´et´es alg´ebriques des fonctions d´erivables
en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.1.3 Application d´eriv´ee . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.1.4 D´eriv´ee successive . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.1.5 Classe d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2 Th´eor`eme de Rolle et de accroissements finis . . . . . . 98
6.3 In´egalit´e des accroissements finis. . . . . . . . . . . . . 99
6.4 Variation des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.5 Formules de Taylor-Young et Taylor-Lagrange . . . . . 102
6.6 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
V Semaine 12 111
7 Fonctions usuelles 113
7.1 La fonction Arcsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.2 La Arccos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.3 La fonction Arctg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.4 Les fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.5 Trigonom´etrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.6 Ecriture en utilisant le logarithme . . . . . . . . . . . . 117
7.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Premi`ere partie
Semaines 1,2 et 3Chapitre 1
Ensemble des r´eels
1.1 Ensemble de nombres
Definition 1.1.1 Un ensemble E est une collection d’objets appel´es
´el´ements. On note x2E si l’objet x est un ´el´ement de E.
1.1.1 Ensemble des entiers naturels
N=f0;1;2;:::::::g:
En particulier, N contient les entiers pairs et impairs ainsi que les
nombres premiers c’est a` dire les entiers naturels seulement divisibles
par 1 et par eux-mˆemes. On a
Proposition 1.1.1 La somme de deux entiers naturels est un entier
naturel de mˆeme pour le produit.
1.1.2 Ensemble des entiers relatifs
Z=f:::::;¡3;¡2;¡1;0;1;2;3;:::::g:
Proposition 1.1.2 La somme de deux entiers relatifs est un entier
relatif de mˆeme pour le produit.10 Ensemble des r´eels
On a
N‰Z
ou‰ signifie inclus ce qui se traduit math´ematiquement par
8x2N;x2Z:
8 est un quantificateur qui signifie ”quelque soit” ou ”pour tout
´el´ement”.
1.1.3 Ensemble des rationnels
p ⁄Q=f ;p2Z;q2N g:
q
Un sous ensemble deQ est l’ensemble des nombres d´ecimaux
p
D=f ; p2Z; k2Ng:
k10
Proposition 1.1.3 Lasommededeuxnombresd´ecimauxestunnombre
d´ecimal de mˆeme pour le produit.
Proposition 1.1.4 La somme de deux rationnels est un rationnel de
mˆeme pour le produit.
Les ´el´ements deQ son appel´es des rationnels.
1.1.4 Ensemble des r´eels
Donner une d´efinition deR serait trop long; pour simplifier, disons
queR compl`eteQ au sens ou`R contientQ et les limites de suites de
Q. Il existe des ´el´ements deR qui ne sont pas dansQ, on les appelle
les irrationnels et ils sont dans le compl´ementaire deQ dansR not´e
R¡Q=fx2R; x2=Qg:
p
Exemple : Montrons par l’absurde que 2 n’est pas rationnel.