cours de géométrie dans l'espace

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• Publié par: Ebbi
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• Langue: Français

Extrait

Chapitre 17

Géométrie dans l’espace : Troisième partie

I Propriétésdu parallélisme Propriété •Invariance :Le parallélisme de droite est conservé lorsqu’on remplace chacune d’elles par une droite parallèle. •Unicité :Il existe une seule droite parallèle à une droite donnée passant par un point extérieur à cette droite. •Intersection :Tout plan coupant une droite coupe toute parallèle à celleci. Démonstration:Admises ... Propriété •Invariance :Le parallélisme de plan est conservé lorsqu’on remplace chacun d’eux par un plan parallèle. •Unicité :Il existe un seul plan parallèle à un plan donné passant par un point extérieur à ce plan. •Intersection :Étant donné deux plans parallèles, toute droite qui perce l’un perce l’autre. Démonstration:Admises ... ...

Propriété Caractérisation du parallélisme droite et plan Une droiteDest parallèle à un planP équivaut à le planPcontient une droite parallèle à la droiteD.

Démonstration: ◮La propriété : On sait que la droiteDest parallèle à un planPet on veut montrer que le planPcontient une droite parallèle à la droiteD. Pour cela on utilise un pointAdu planPet on construit la droitedparallèle àDpassant parA. ′ CommeDetdsont parallèles, elles sont coplanaires. On notePce plan. ′ Les plansPetPsont sécants en une droite passant parA, cette droite coplanaire avecDest forcément parallèle àDsinonDaurait un point en commun avecP. Cette droite est doncd. On a ′ donc une droiteD=ddePparallèle àD. 59

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CHAPITRE 17.GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE :

TROISIÈME PARTIE

′ ◮La réciproque : On suppose qu’un planPpossède une droiteDparallèle à une droite Det on veut pouvoir en conclure que la droiteDest parallèle au planP. On considère queDn’est pas une droite deP(parallélisme stricte). Donc soitDest sécante avecP, soitDest parallèle àP. ′ SiDest sécante avecPen un pointI, alorsDest sécante avec la parallèle àDpassant parI. La droite serait donc sécante avec une de ses parallèles! C’est exclu. Il ne reste comme possibilité que le casDest parallèle àP.

Propriété Caractérisation du parallélisme entre deux plans ′ Un planPest parallèle à un planP équivaut à ′ le planPcontient deux droites sécantes parallèles à deux droites du planP.

Démonstration: ′ ◮Si le planPest parallèle au planPalors :On prend deux droitesDetdsécantes deP. ′ Chacune des droitesDetdsont parallèles au planP, sinon elles seraient sécantes et les plansPet ′ ′′ ′ Psécants aussi. Alors il existe deux droitesDetddansPparallèles respectivement àDetd. ′ ◮Réciproquement,S’il existe deux droitesDetddansPparallèles respectivement àDet ′ ′′ dsécantes deP, alors :les plansPetPne peuvent être sécants en une droite , sinon dansP cette droite est soit sécante avecD, soit avecd. On obtient alorsDoudsécante avec une de ses parallèles. C’est exclu! ′ Il reste doncPetPsont parallèles.

II Unthéorème important sur le parallélisme

Théorème Configuration du toit ′ Soitdetddeux droites coplanaires et incluses respectivement dans deux plansPetQsécants enΔ. ′ ◮si les droitesdetdsont parallèles, alors elles sont parallèles à la droiteΔ ′ ◮si les droitesdetdsont sécantes, alors elles sont sécantes en un point de la droiteΔ

D

C

D

C

d A B A B ′ Q d Δ Δ

′ d HQ G d EP F ′ detdparallèles

EP

H

F ′ detdsécantes

G

II. UNTHÉORÈME IMPORTANT SUR LE PARALLÉLISME

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Démonstration: Si d et d’ sont sécantes en un point I, alors ce point appartient aux deux plans, donc àΔ. Si d et d’ sont parallèles, alors d’ est parallèle au plan P et de là ne peut pas être sécante avecΔ. Dans le planQ, cela donneΔparallèle à d’.

Théorème Plan sécant à deux plans parallèles SoitP 1 etP 2 deux plans parallèles, un planQsécant àP 1 suivant la droited 1 , alors : ◮le planQest sécant àP 2 suivant une droited 2 ; ◮les droitesd 1 etd 2 sont parallèles. D C Q A B P 1 P 2 d 1

H d 2 G E F Démonstration:Admis

Exercice : Diaporama sections cube les différents cas de section du cube

Exercices : Livre : 29, 30, 31 page 299 Sections du cube.

Exercice : Livre : 54 page 303 Section d’un prisme.

Exercices : Livre : 36, 37 page 300 Autres.