cours de géométrie dans l
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cours de géométrie dans l'espace

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Chapitre 17Géométrie dans l’espace :Troisième partieI Propriétés du parallélismePropriété• Invariance : Le parallélisme de droite est conservé lorsqu’on remplace chacune d’elles par unedroite parallèle.• Unicité : Il existe une seule droite parallèle à une droite donnée passant par un point extérieurà cette droite.• Intersection : Tout plan coupant une droite coupe toute parallèle à celle-ci.Démonstration: Admises ...Propriété• Invariance : Le parallélisme de plan est conservé lorsqu’on remplace chacun d’eux par unplan parallèle.• Unicité : Il existe un seul plan parallèle à un plan donné passant par un point extérieur à ceplan.• Intersection : Étant donné deux plans parallèles, toute droite qui perce l’un perce l’autre.Démonstration: Admises ... ...Propriété Caractérisation du parallélisme droite et planUne droite D est parallèle à un plan Péquivaut àle plan P contient une droite parallèle à la droite D.Démonstration:◮ La propriété : On sait que la droite D est parallèle à un plan P et on veut montrer quele plan P contient une droite parallèle à la droite D.Pour cela on utilise un point A du plan P et on construit la droite d parallèle à D passant par A.′Comme D et d sont parallèles, elles sont coplanaires. On note P ce plan.′Les plans P et P sont sécants en une droite passant par A, cette droite coplanaire avec D estforcément parallèle à D sinon D aurait un point en commun avec P. Cette droite est donc d. On a′donc une droite D =d de P ...

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Chapitre 17
Géométrie dans l’espace : Troisième partie
I Propriétésdu parallélisme Propriété Invariance :Le parallélisme de droite est conservé lorsqu’on remplace chacune d’elles par une droite parallèle. Unicité :Il existe une seule droite parallèle à une droite donnée passant par un point extérieur à cette droite. Intersection :Tout plan coupant une droite coupe toute parallèle à celleci. Démonstration:Admises ... Propriété Invariance :Le parallélisme de plan est conservé lorsqu’on remplace chacun d’eux par un plan parallèle. Unicité :Il existe un seul plan parallèle à un plan donné passant par un point extérieur à ce plan. Intersection :Étant donné deux plans parallèles, toute droite qui perce l’un perce l’autre. Démonstration:Admises ... ...
PropriétéCaractérisation du parallélisme droite et plan Une droiteDest parallèle à un planP équivaut à le planPcontient une droite parallèle à la droiteD.
Démonstration: La propriété : On sait que la droiteDest parallèle à un planPet on veut montrer que le planPcontient une droite parallèle à la droiteD. Pour cela on utilise un pointAdu planPet on construit la droitedparallèle àDpassant parA. CommeDetdsont parallèles, elles sont coplanaires. On notePce plan. Les plansPetPsont sécants en une droite passant parA, cette droite coplanaire avecDest forcément parallèle àDsinonDaurait un point en commun avecP. Cette droite est doncd. On a donc une droiteD=ddePparallèle àD. 59
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CHAPITRE 17.GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE :
TROISIÈME PARTIE
La réciproque : On suppose qu’un planPpossède une droiteDparallèle à une droite Det on veut pouvoir en conclure que la droiteDest parallèle au planP. On considère queDn’est pas une droite deP(parallélisme stricte). Donc soitDest sécante avecP, soitDest parallèle àP. SiDest sécante avecPen un pointI, alorsDest sécante avec la parallèle àDpassant parI. La droite serait donc sécante avec une de ses parallèles! C’est exclu. Il ne reste comme possibilité que le casDest parallèle àP.
PropriétéCaractérisation du parallélisme entre deux plans Un planPest parallèle à un planP équivaut à le planPcontient deux droites sécantes parallèles à deux droites du planP.
Démonstration: Si le planPest parallèle au planPalors :On prend deux droitesDetdsécantes deP. Chacune des droitesDetdsont parallèles au planP, sinon elles seraient sécantes et les plansPet ′ ′′ ′ Psécants aussi. Alors il existe deux droitesDetddansPparallèles respectivement àDetd. Réciproquement,S’il existe deux droitesDetddansPparallèles respectivement àDet ′ ′dsécantes deP, alors :les plansPetPne peuvent être sécants en une droite , sinon dansP cette droite est soit sécante avecD, soit avecd. On obtient alorsDoudsécante avec une de ses parallèles. C’est exclu! Il reste doncPetPsont parallèles.
II Unthéorème important sur le parallélisme
ThéorèmeConfiguration du toit Soitdetddeux droites coplanaires et incluses respectivement dans deux plansPetQsécants enΔ. si les droitesdetdsont parallèles, alors elles sont parallèles à la droiteΔ si les droitesdetdsont sécantes, alors elles sont sécantes en un point de la droiteΔ
D
C
D
C
d A BA B Q d Δ Δ
d HQ G d EP F detdparallèles
EP
H
F detdsécantes
G
II. UNTHÉORÈME IMPORTANT SUR LE PARALLÉLISME
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Démonstration: Si d et d’ sont sécantes en un point I, alors ce point appartient aux deux plans, donc àΔ. Si d et d’ sont parallèles, alors d’ est parallèle au plan P et de là ne peut pas être sécante avecΔ. Dans le planQ, cela donneΔparallèle à d’.
ThéorèmePlan sécant à deux plans parallèles SoitP1etP2deux plans parallèles, un planQsécant àP1suivant la droited1, alors : le planQest sécant àP2suivant une droited2; les droitesd1etd2sont parallèles. D C Q A B P1P2 d1
H d2 G E F Démonstration:Admis
Exercice : Diaporama sections cube les différents cas de section du cube
Exercices : Livre : 29, 30, 31 page 299 Sections du cube.
Exercice : Livre : 54 page 303 Section d’un prisme.
Exercices : Livre : 36, 37 page 300 Autres.