Cours de géométrie, LMI 2ème année

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LICENCE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUEDEUXIÈME ANNÉEPARCOURS MATHÉMATIQUESUnité d’enseignement LMI 4.32GÉOMÉTRIE1Françoise GEANDIERUniversité Henri Poincaré Nancy IDépartement de Mathématiques.Table des matièresI Espaces affines ······························································· 11. Espaces affines.2. Applications affines.3. Lien avec les barycentres.II Isométries planes ························································· 91. Structure des isométries.2. Classification des isométries.3. Etude pratique des isométries planes.III Similitudes ······························································· 191. Généralités.2. Utilisation des nombres complexes.3. Triangles semblables.IV Isométries de l’espace ··················································· 251. Droites et plans de l’espace.2. Structure des isométries.3. Etude géométrique..CHAPITRE I - ESPACES AFFINES1. Espaces affines1.1 Définition−→Soit E un ensemble non vide et E un espace vectoriel sur un corps commutatif K; on dit−→que E est un espace affine associé à l’espace vectoriel E si et seulement si il existe uneapplication −→ϕ : E×E → E −→(A,B) 7→ ϕ(A,B) =ABvérifiant les conditions suivantes:−→ −→−→ −→a)∀ A∈E,∀ u ∈ E, il existe un unique point B∈ E tel que u =ϕ(A,B) =AB.b) On a la relation de Chasles: ∀ A,B,C ∈E, ϕ(A,C) =ϕ(A,B)+ϕ(B,C), i.e−→ −→ −→AC =AB +BC.−→On définit la dimension de l’espace affine E en posant dimE = dimE : on a ainsi lanotion de droite et de plan ...

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LICENCE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE DEUXIÈME ANNÉE PARCOURS MATHÉMATIQUES

Unité d’enseignement LMI 4.32

GÉOMÉTRIE 1

Françoise GEANDIER

Université Henri Poincaré Nancy I Département de Mathématiques

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Table des matières

I Espaces affines∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙1

1. Espaces affines. 2. Applications affines. 3. Lien avec les barycentres.

II Isométries planes∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

1. Structure des isométries. 2. Classification des isométries. 3. Etude pratique des isométries planes.

III Similitudes∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

1. Généralités. 2. Utilisation des nombres complexes. 3. Triangles semblables.

IV Isométries de l’espace∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

1. Droites et plans de l’espace. 2. Structure des isométries. 3. Etude géométrique.

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CHAPITRE I - ESPACES AFFINES

1. Espaces affines 1.1 Définition −→ SoitEun ensemble non vide etEespace vectoriel sur un corps commutatifun K; on dit −→ queEest un espace affine associé à l’espace vectorielEsi et seulement si il existe une application −→ ϕ:E×E→E −→ (AB)7→ϕ(AB) =AB vérifiant les conditions suivantes : −→ u →− ∈il existe un unique pointB∈Etel que −→ u=ϕ(AB) =A −→ B. a)∀A∈E∀E, b) On a la relation de Chasles :∀ABC∈E ϕ(AC) =ϕ(AB) +ϕ(BC), i.e −→−→−→ AC=AB+BC. −→ On définit la dimension de l’espace affineEen posantdimE= dimE: on a ainsi la notion de droite et de plan affine. 1.2 Exemple L’espace vectorielR n peut être muni d’une structure d’espace affine en prenantR n comme espace vectoriel associé à l’espace affineR n et en considérant l’applicationϕsuivante ϕ:R n ×R n →R n (AB)7→ϕ(AB) =B−A on constate alors aisément queϕvérifie les conditions requises et ainsiR n est un espace affine de dimensionn. 1.3 Proposition SoitE ; alors pour tous pointsun espace affineA,B,CetDdeE :, on a −→ −→ a)AB= 0⇐⇒A=B; −→−→ b)AB=−BA; −→−→−→−→ c)AB=CD⇐⇒AC=BD. 1.4 Proposition et définition SoitEespace affine de dimension finie et soitun Oun point deE; alors l’application −→ ϕ O :E→E −−→ M7→OM est une bijection : on dit qu’on choisitOcomme origine de l’espace affineE; siOest un −→ point deEetBune base deE,(OB)est appelé repère cartésien de l’espace affineE d’origineO.

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1.5 Définition −→−→ Soient(Eϕ)un espace affine,Aun point deEetFun sous-espace vectoriel deE: on −→ appelle sous-espace affine passant parAet de directionFl’ensembleFdes pointsMde −−→−→ Etels queAM∈F:Fest naturellement muni d’une structure d’espace affine grâce à la −→ restriction àF×Fde l’applicationϕet son espace vectoriel associé n’est autre queF. −→−→ Deux sous-espaces affinesF 1 etF 2 sont dits parallèles si et seulement siF 1 =F 2 . 2 Applications affines 2.1 Définition SoientEetFdeux espaces affines ; on dit qu’une applicationfdeEdansFest une −→ −→−→ application affine s’il existe une application linéairefdeEdansFtelle que −−−−−−→ −→ −→ ∀A B∈E f(A)f(B) =f(AB) −→ On dit alors que l’applicationf(qui est unique) est l’application linéaire associée à l’application affinef. Exemples a) SoitOun point du plan affinePetk ; alors l’homothétie de centreun réel non nulO et de rapportkdéfinie par − − −→− → ∀A∈P Oh(A) =k OA ~ est une application affine d’application linéaire associée l’homothétie vectorielleh(~u) =ku. ~

b) La projection orthogonalepsur une droiteΔdu plan affine euclidien est une application affine : son application linéaire associée n’est autre que la projection orthogonale sur la −→ droite vectorielleΔ.

Δ

M

p(M)

c) La symétrie orthogonalespar rapport à une droiteΔdu plan affine euclidien est une application affine appelée symétrie axiale d’axeΔ: son application linéaire associée n’est −→ autre que la symétrie orthogonale par rapport à la droite vectorielleΔ. 2

M

H

Δ s(M) d) De même la symétrie orthogonales P par rapport à un planPde l’espace euclidien de dimension3est une application affine appelée réflexion de planP: son application −→ linéaire associée n’est autre que la symétrie orthogonale par rapport au plan vectorielP.

M

H

s P (M)

Preuve: a) Pour tous pointsAetBdePon a −−−−−−→−−−−→−−−→ −→−→−→ ~ −→ h(A)h(B) =Oh(B)−Oh(A) =k OB−k OA=k AB=h(AB)

b) Considérons la projection orthogonalepsur une droiteΔdu plan affine euclidien : pour −−→ tout pointMdeP,H=p(M)est défini parH∈ΔetM Hest orthogonal àe~ 1 vecteur directeur unitaire deΔ. −→ Notonsπprojection orthogonale sur la droite vectoriellela Δet considéronse~ 2 un vecteur −→ unitaire orthogonal àe~ 1 : alors(e~ 1 e~ 2 )est une base orthonormée dePet pour tout vecteur −→ ~udeP, on aπ(~u) =h~u|e~ 1 ie~ 1 . SoientMetNdeux points dePetH=p(M),K=p(N)leurs images parp, alors on a −−→−−→−−→ M N=hM N|e~ 1 ie~ 1 +hM N|e~ 2 ie~ 2 et −−→−−→ π(M N) =hM N|e~ 1 i~ e 1  3

− −→−−−→ −−−−−→ −→− D’autre part on ap(M)p(N) =H K=hH K|e~ 1 ie~ 1 carhH K|e~ 2 i= 0et −−→−−→−−→−−→−−→−→−→−−→ hM N|e~ 1 i=h(M H+H K+KN)|e~ 1 i=hM H|e~ 1 i+hH K|e~ 1 i+hKN|e~ 1 i=hH K|e~ 1 ipuisque −−→−−→ M HetKNsont orthogonaux àe~ 1 . On en déduit alors que −−→ −−−−−−→ π(M N) =p(M)p(N) et ainsipest une application affine d’application linéaire associéeπ. La démonstration est analogue pour une symétrie orthogonale par rapport à une droiteΔ du plan affine euclidien ou par rapport à un plan de l’espace affine euclidien de dimension 3.

✷

2.2 Proposition ~ Soientfetgdeux applications affines coïncidant en un pointAet telles quef=g~; alors f=g. Preuve: −−−−−−→ ~ → −−→→−− −−−−−−−−−−−−→ SoitMun point deE; alorsf(A)f(M) =f(AM) =g~(AM) =g(A)g(M) =f(A)g(M) doncf(M) =g(M)et ainsif=g. ✷

2.3 Proposition SoientE,FetG sides espaces affines ;fest une application affine deEdansFet sig est une application affine deFdansG, alorsg◦fest une application affine deEdansG et −−→ f → → − − g◦=g◦f. 2.4 Proposition Soitfune application affine d’un espace affineEdans un espace affineF :, alors on a −→ a)fest injective⇐⇒f ;est injective −→ b)fest surjective⇐⇒fest surjective ; −→ c)fest bijective⇐⇒fest bijective. 2.5 Corollaire Toute symétrie axiale est une application affine bijective. 2.6 Proposition Soitfune application affine bijective d’un espace affineEdans un espace affineF, alors l’applicationf −1 est affine etf − − → 1 = ( − f → ) −1 (et nécessairementdimE= dimF).

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2.7 Proposition SoitA ;l’ensemble des applications affines bijectives alors(A◦)est un groupe. Preuve: c’est une conséquence immédiate de 2.3 et 2.6.

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2.8 Proposition Soitfune application affine d’un espace affineEdans lui-même ; sifpossède un point fixeA, alors l’ensemble des points fixes defest le sous-espace affine passant par le point ~ Aet de directionker(f−I d E~ ). Preuve: SoitMun point deE :, alors on a ~ −−→ − − − − −− → −−→ −→− ~ f(M) =M⇐⇒f(AM) =f(A)f(M) =AM⇐⇒AM∈ker(f−I d E ) ~ d’où le résultat.

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2.9 Expression dans un repère Soitfune application affine d’un espace affineEde dimension finiendans un espace affineFde dimension finiep. Considérons un pointOdeEet un pointΩdeF, puis une baseB= (e −→ 1 e −→ 2 ∙ ∙ ∙e −→ n )de −→ E et une baseB 0 ( −→ u −→ 2 ∙ ∙ ∙u −→ p )de −→ =u 1  F; alors on peut exprimerfdans les repères(OB) deEet(ΩB 0 )deFde la façon suivante : tout pointAdeEs’écrit de manière unique dans le repère(OB)sous la forme − O → A=x 1 e −→ 1 +∙ ∙ ∙x n e −→ n d’où, −−−→−→−−−−−→−−− Ωf(A) = Ωf(O) +f(O)f(A) −−−→ −→ −→ = Ωf(O) +f(OA) − = Ω − f − ( − O → ) +x 1 − f → (e −→ 1 ) +∙ ∙ ∙+x n f → ( −→ ) e n −−−→  x x 1 2  = Ωf(O) +M   x . n   −→ oùMest la matrice defdans les basesBetB 0 .

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3 Lien avec les barycentres 3.1 Définition Soient(M 1 ∙ ∙ ∙M r )une famille de points d’un espace affineEet(λ 1 ∙ ∙ ∙λ r )une famille de réels tels queλ 1 +∙ ∙ ∙+λ r = 1; on appelle barycentre des points(M 1 ∙ ∙ ∙M r )affectés des coefficients(λ 1 ∙ ∙ ∙λ r )l’unique pointG :défini par r ∀O∈E − O → G= X λ i − O − M → i  i=1

3.2 Proposition Soient(M 1 ∙ ∙ ∙M r )une famille de points d’un espace affineEet(λ 1 ∙ ∙ ∙λ r )une famille de réels tels queλ 1 +∙ ∙ ∙+λ r = 1; alorsGest le barycentre des points(M 1 ∙ ∙ ∙M r ) affectés des coefficients(λ 1 ∙ ∙ ∙λ r ) :si et seulement si r − X λ i G − M → i = −→ 0 i=1

3.3 Théorème a) Soitfune application affine d’un espace affineEdans un espace affineFet soitGle barycentre des points(M 1 ∙ ∙ ∙M r )deEaffectés des coefficients(λ 1 ∙ ∙ ∙λ r ); alorsf(G) est le barycentre des points(f(M 1 )∙ ∙ ∙f(M r ))deFaffectés des coefficients(λ 1 ∙ ∙ ∙λ r ).  b) Réciproquement, sifest une application d’un espace affineEdans un espace affineF vérifiant la propriété suivante(P): (P): pour toutλ∈Ret pour tousAetBdansE, siGest le barycentre deA(λ)et de B(1−λ),f(G)est le barycentre def(A)(λ)et def(B)(1−λ); alors l’applicationfest affine. 3.4 Corollaire Sifest une application affine d’un espace affineEdans un espace affineF, l’image parf d’une droite est une droite ou un point ; l’image parfd’un plan est un plan, une droite ou un point ; l’image parfd’un segment est un segment ou un point. 3.5 Définition SoitEun espace affine de dimension finien; on appelle repère barycentrique deEtout −−−→−−−→ ∙ ∙ ∙ (n+1)-uplet de points(M 0 ∙ ∙ ∙M n )deEtels que le système de vecteurs(M 0 M 1  M 0 M n ) −→ est une base deE. Ainsi, un repère barycentrique d’un espace affine de dimension3est la donnée de4points non coplanaires, un repère barycentrique d’un plan affine est la donnée de3points non alignés et un repère barycentrique d’une droite affine est la donnée de2points distincts.

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3.6 Proposition et définition SoitEun espace affine de dimension finienet(M 0 ∙ ∙ ∙M n )un repère barycentrique de E; alors à tout pointAdeEest associé un unique(n+ 1)-uplet de réels(λ 0 ∙ ∙ ∙λ n ) vérifiantλ 0 +∙ ∙ ∙+λ n = 1tel queAest le barycentre des points(M 0 ∙ ∙ ∙M n )affectés des coefficients(λ 0 ∙ ∙ ∙λ n ); les réels(λ 0 ∙ ∙ ∙λ n )sont appelés les coordonnées barycentriques −−→ du pointAdans ce repère :(λ 1 ∙ ∙ ∙λ n )sont les coordonnées du vecteurM 0 Adans la base −−−→−−−→ (M 0 M 1 ∙ ∙ ∙M 0 M n )etλ 0 = 1−(λ 1 +∙ ∙ ∙+λ n ).

3.7 Théorème Une application affine d’un espace affineEde dimension finiendans un espace affineF de dimension finiepdonnée de ses valeurs en les pointsest parfaitement déterminée par la d’un repère barycentrique deE.

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