Cours de Mécanique      IFIPS-Phys103
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Cours de Mécanique IFIPS-Phys103

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IFIPS Cycle préparatoireSemes tre 2MECANIQUEver sion 2006-2007C.Pasquie rPolycop ié réalisé av ec la su ite gratu ite Op enoffice.org 2.1.0 (http://www.o penoffice.org)Cours de méc an ique I FIPS-S2: C.Pasquier, Un ivers ité d'Orsay 1IFIPS Cycle p répa ratoireCours de méc an ique I FIPS-S2: C.Pasquier, Un ivers ité d'Orsay 2Chapitre I : Introduction gé néraleChapitre I : Introductio n générale Le module ‘Lois d’évolution en ph ysique’ du prem ier semestre a permis de met tre en évidence certaines lois d’évolutions obse rvées en physique. Ainsi des phénomènes obs ervés en électrici té, en mécanique, en chimie ou en sciences de la vie peuvent être régies pa r les mêmes équations ma thém atiques. Ainsi étudier les phénomènes phy siques qui régis sent un de ces doma ines permet aus si de comprendre en partie certains ph énomènes dans un autre domaine. Le cour s qui suit est un cour s de Méc anique du Point et du Solide.Dans un premier temps, chaqu e objet étudié sera ramené à un point. Ceci suppose que l’ob jet est rigide et non dé formab le et que toute la masse est concentrée au centre de gravité de celui- ci. O n parle alor s de ‘point ma tériel’ de masse m. En électrostatique, on doit aussi considér er que ce point ma tériel porte une charg e q. Cet obj et se déplace dans l’espa ce au cou rs du temps : il possède une vitesse, une accélér ation, c’est le domaine de la cinématique. ...

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Langue Catalan

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IFIPS Cycle préparatoire
Semes tre 2
MECANIQUE
ver sion 2006-2007
C.Pasquie r
Polycop ié réalisé av ec la su ite gratu ite Op enoffice.org 2.1.0 (http://www.o penoffice.org)
Cours de méc an ique I FIPS-S2: C.Pasquier, Un ivers ité d'Orsay 1IFIPS Cycle p répa ratoire
Cours de méc an ique I FIPS-S2: C.Pasquier, Un ivers ité d'Orsay 2Chapitre I : Introduction gé nérale
Chapitre I : Introductio n générale

Le module ‘Lois d’évolution en ph ysique’ du prem ier semestre a permis de met tre en évidence
certaines lois d’évolutions obse rvées en physique. Ainsi des phénomènes obs ervés en électrici té, en
mécanique, en chimie ou en sciences de la vie peuvent être régies pa r les mêmes équations
ma thém atiques.
Ainsi étudier les phénomènes phy siques qui régis sent un de ces doma ines permet aus si de
comprendre en partie certains ph énomènes dans un autre domaine. Le cour s qui suit est un cour s de
Méc anique du Point et du Solide.
Dans un premier temps, chaqu e objet étudié sera ramené à un point. Ceci suppose que l’ob jet est
rigide et non dé formab le et que toute la masse est concentrée au centre de gravité de celui- ci. O n
parle alor s de ‘point ma tériel’ de masse m. En électrostatique, on doit aussi considér er que ce point
ma tériel porte une charg e q. Cet obj et se déplace dans l’espa ce au cou rs du temps : il possède une
vitesse, une accélér ation, c’est le domaine de la cinématique. Né anmo ins, cette notion de vitesse ou
d’a ccélération est toute relative. Un passa ger im mobile dans un train regarde défiler le pays age. Si
on se place dans le train, la vitesse du pa ssa ger est évide mmen t nulle. Par contre, si on considèr e
une vach e dans un pré qui regard e passe r les trains, pour elle, le passa ger se déplace par rapport à la
Terre (à la même vitesse que le train en l’occur rence ). Cette notion de relativ ité du mouvem ent nous
conduira à dé finir des référentiels et d’étudier les lois de composit ion des vitesses et accélérations
pour pa sser d ’un ré fér entiel à l’autre.
Le point ma tériel interagit av ec d’autre s objets par des forces d’interaction gravitat ionnel le,
d’interaction électrostatique, de frottem ents. Ces for ces conduisent à la dynamique du système
étudié et donc au mouve men t de celui-ci…
Au cours de son mouvem ent, l’énergie cinétique du système va rie si sa vitesse n’ est pa s constante.
La variation d’éner gie cinétique peut-être transfo rmée en un autre type d’éne rgie : éner gie
potentie lle électrostatique, éne rgie potent ielle de g ravitat ion, chaleur,…
Certains corps tournent autour d’autres ou d’eux- mêmes : la Lune tourne autour de la Terre qui
tourne elle-même autour du Solei l. Les électrons tournent autour du noyau ato mi que. Le patineur
tourne sur lui-mê me même si son mouve me nt est nettem ent moins perpétuel que dans les cas
précédents. Ses systèmes mécaniques possèdent un moment cinétique qui est relativemen t bien
conse rvé dans le temps en ce qui con cerne les planètes ou les électrons et faible men t pour le
patineur. Ceci provient du fait que dans le cas des planètes et des électrons, la force d’interaction
gr avitationne lle ou électrostat ique est une force centrale c' est -à-dire que la planète ou l’électron est
soumis à une forc e toujours dirigée ver s un point fixe. N otre ma lheureux patineur ne peut tourner
indéfini men t à caus e des fr otte men ts.
Même dans le cas d’une force centrale, il se peut que les deux obj ets aient des masses semblab les
(par exemple 2 étoiles) et ces deux ob jets semb lent ainsi danse r dans l’espa ce dans un mouvem en t
comp lex e. En réalité, on peut décomposer le mouve me nt en un mouvem ent du centre de masse de
l’ensemble et un mouve me nt relatif par rapport au centre de gr avité. Le problème de l’interact ion à
deux co rps ser a également appliquée au cas d’un choc élastique entre 2 obj ets ou bien à la poussée
d’une fusée.
Enfin, nou s nous intéresseron s à la dynami que de s solides indéformables…..
Ce cours sera ainsi constitué de 8 Chapitres et quelques annexes. Ces ann exes seront constitués de
Cours de méc an ique I FIPS-S2: C.Pasquier, Un ivers ité d'Orsay 3Chapitre I : Introduction gé nérale
rapp els de M athé mat iques pour la Physique a priori dé jà vu antérieurement ma is indispensable pour
le cours.

I Introd uction générale à la mécanique :

MECANI QUE (adj.) = Qui concerne le mouvement et ses propriétés…(n.f.)= partie des
mathématiques qui a pour objet l’étude du mouvement et de l’équilibre des corps. Telles sont
quelques-une s des dé finitions du mot mécanique dans le dictionna ire Robert de la lang ue franç aise.
La dé finition est simp le même si la mécanique est plutôt considéré e com me une pa rtie de la
phy sique.
Parmi les « corp s » visés par la mécanique, on p eut men tionner :
Les corps dits ponctuels c' est -à-dire ceux qui peuvent se ramener à un point en
considérant que c’est le mouve men t de l’ensemble comple t du corp s qui nous
intéresse. Dans ce cas, l’objet volumi neux peut-être ramené à un point dans l’espa ce
qui con centre toute la masse de l’objet. Par exemple, dans le mouvem en t d’une
voiture sur la route, on va s’intéresse r à la voiture dans son ensemble ma is pas au
mouve me nt précis de la pédale de frein ou d’accélér ateur dans la voiture. La voiture et
ses occupants seront ainsi sch ématisés par un point ma tériel de masse M qui est la
masse de toutes les pa rties de la voiture plus la masse des occup ants. O n parle alors de
MECANIQ UE DU POIN T.
D’ une man ière plus r éaliste, les corps s olides indéformables sont massifs et constitués
d'un ensemb le de points matérie ls chacun ay ant sa propre masse. L’é tude de ce
doma ine est l’objet de la MECANI QUE DU SOLIDE.
Les corps étudiés peuvent ne pas être solides ma is fluides. O n peut ainsi étudier le
mouve me nt d’une ‘g outte d’eau’ dans une rivière de sa source jusqu’à la mer, la
vitesse d’aspiration de l’air dans un conduit de chem inée. Ceci est l’ob jet de la
MECANIQ UE DES FLUID ES .
Enfin, pour de s pa rticules telles que les électrons, les protons dans la ma tière
nucléaire (les ato mes, molécules…) ou même la mat ière condens ée (‘physique du
solide’), il faut faire app el à la ph ysique quantique, c’est le doma ine de la
MECANIQ UE QUANT IQ UE .
On peut rajouter à cette lis te, l’étude des propriétés d’un objet lorsque la vitesse de
l’objet approch e la vitesse de la lumi ère, ceci est le doma ine de la MECANI QUE
RE LA TI VI STE.

Dans ce cou rs, nous nous intéress erons uniquemen t aux doma ines de la mécanique du point et de la
mécanique du solide. La mécanique quantique sera abord ée au premier semestre de la première
année de cy cle ingénieur. Les autres pa rties ne seront pas abordé es au cou rs du cur sus du cy cle
ing énieur mais l’étudiant intéressé peut consulter les livres con cernant ces domaines à la
Bibliothèque Universitaire. D ans la suite nous ne considére rons donc que de s objets solides
indéformables.
Cours de méc an ique I FIPS-S2: C.Pasquier, Un ivers ité d'Orsay 4Chapitre I : Introduction gé nérale
La mécanique e st donc l’étude du mouve men t et de l’équilibre des corps ( ou du sy stème
étudié). O n peut remarquer que l’équilibre cor respond au mom en t dans le te mps ou bien à
l’interval le de temps où le s ystème e st im mobile.
Les mouve men ts d’un co rps sont caractérisés par deux class es de vecteur s associées à des
gr an deurs s calaires :
Un e première "cl asse " qui définit la position du corps et qui con sti tue donc les
conséqu ences du mouvem en t. Cette classe est caractérisée par 3 vecteur s : le vecteur
position, le vecteur vitesse et le vecteur accélération. L’étud e de cette classe est
l’objet de la CINEMATI QUE. On peut rajouter à ces vecteurs, une gr andeur sc alaire
qui e st l’éne rgie cinétique, E .
c
U ne deux ièm e "class e" qui dé finit les cause s du mouve me nt et qui traduit le fait
que le système étudié interagit avec le monde extérieur. Cette class e est consti tué par
l'ensemble des forces qui agi ssent sur le système. Les interactions dép endent de s
propriétés spécifiques du système étudié. Par exemple, pour une masse, la force
pertinente sera le champ de gravitat ion, pour une particule chargé e, ce sera le champ
électrique ou bien le champ magnétique. L’étud e de ces forces est l’objet de la
DYNA MI QUE . Les grandeu rs scalaires qui se rapportent à ces forc es sont le travail, W,
l’éner gie potentiel le, E , l’éner gie totale, E, et la puissance, P.
p
Ces deux class es sont reliées entre elles pa r les lois de la dynam ique ou des lois de
conse rvation.
II Mouvement et modélisation du système :
D ans un p roblè me de mécanique, la p rem ière étape e st de modél iser le s ystème. Cette
modé lisa tion p asse tout d'ab ord pa r la déter mina tion du mouvem ent à étudier.
Par exemple, on considère un être huma in sur Terre qui conte mple le ciel et se demande
pourquoi la Terre met un an pour faire le tour du Solei l. Pour répondre à cette question il fa ut
modé liser le système. Tout d'ab ord, il est évident qu'il est inuti le de con sidérer le mouve me nt des
nuag es autour de la Terre ni même que la Terre tourne sur elle-mê me voire que la Terre a un
satelli te, la Lune. Cette intuit ion vient du fait que la masse de s nua ges ou de la Lu ne est négligeable
devant celle de la Terre. Le fait que la Terre tourne est un ef fet 'interne' à la Terre et que la Terre
tourne plus ou moins vite, l'année dur era toujours un an. L'étude du mouvem ent de la Terre autour
du Soleil se réduit donc à étudier le mouvem ent de la masse terr estre av ec son cœur, son manteau,
ses océans, ses montagnes.... et ses êtres vivants autour du Soleil. Ici enco re la tectonique de s
plaques n'est pa s pe rtinente pour mod ifier l'année au moi ns a notre échelle de vie huma ine. La Terre
peut ainsi être assim ilée à un objet qui a pour masse la somme de toutes les masses de s enti tés
précédem me nt citées et qui tourne autour du Soleil. Cet ob jet p eut être con sidéré com me ponctuel et
placé au centre de gr avité de la Terre (le centre de la Terre ) étant donné que la masse de la Terre est
très faible devant celle du Soleil. De même en première approxi ma tion, on négli gera l'impor tance
des interactions de la Terre avec les autre s planètes et nota mmen t la plus gr osse d'entre-elles,
Jupi ter. En ef fet, la distance Terre-Soleil est de 1UA (UA= unité astronomi que=150 000 000 km) et
la distance Terre-Jupiter varie entre environ 4,5 et 6,5 UA . Sachant que la for ce de gr avitation varie
2com me le produit de s masses conc ernée s et en 1/r où r est la distance entre les ob jets, et que la
masse de Jupiter est beaucoup plus faible que celle du Solei l, il est évident que la for ce d'attraction
exercée pa r Jup iter sur la Terre est très faible devant celle exercée pa r le Soleil. Par cons équent, à
Cours de méc an ique I FIPS-S2: C.Pasquier, Un ivers ité d'Orsay 5Chapitre I : Introduction gé nérale
notre échelle de vie humaine, l'année dur era un an et la traj ectoire de la Terr e ne sera pa s modif iée.
Par contre, si on veut étudier le mouvem en t de la Terre à trav ers le temps, il faut tenir compte des
autres planètes ma is le calcul devient plus comp lex e.
Cet exemple mon tre ég alemen t deux chose s. Pour répond re à la que stion, nous nous sommes
implici tem en t placé loin de la Terr e comm e un spationaute dans sa capsule spatiale qui regarde les
planètes tourne r autour du Solei l et qui considèr e le Soleil comme fixe. Le terrien, lui, va plutô t voir
le Soleil tourner autour de la Terre comm e le croyait nos ancêtres de l'antiqu ité ou du Mo yen-â ge.
Ceci conduit à dé finir des référentiels d'espace . Ceci montre ég alem ent que le mouve me nt est un
phénomène relatif au référentiel choisi. De même , il faut définir un 'référentiel de temps' pour
mesurer l' écoule ment de celui-ci qui e st la gran deur su r laquelle s' ap puie le mouve me nt.
III Référentie ls d'espace et de temps :
1) Référentiel de temps :
Le temps se mesure par la répéti tion périodique de certains événemen ts et on peut util iser
pour mesurer le temps tout système qui vérifie cette propriété que ce soit l'antique sablier, une
horlo ge éventuelle men t ato mique voire un simp le oscillateur non amort i. Le choix du chronomètre
le plus adapté correspond à celui pour lequel les lois ph ysiques sont les plus si mples. L'unité de
temps dans le sy stème international d'unités est la s econde.
D epuis 1967, la seconde est dé finie com me 9 192 634 770 périodes de la
radiation électromagnétique correspondant à la transition entre deux
niveaux hy perfins de l'état fondamental du césium 133 .
Les principales con séquence s de l' exis tence d'un r éfé rentiel de temps sont :
les lois ph ysiques restent invariantes par tran slation dans le temps et sont indépendantes du
réfé rentiel d'espace.
les phénomènes ph ysiques se succèdent de man ière irréve rsibles : on ne peut pa s remonter le
temps!
le principe de causalité est vérifié : si un événement a lieu à t=0, il ne peut être la cause d'un
événemen t à t<0..
2) Référentiels d'espace :
D éfinir la position d'un ob jet impose de choisir d'autres objets ou directions de référenc e. Par
exemple, dans une salle de cou rs, on choisira l'inters ection d'un de s montan ts de la porte avec le sol
com me ori gine O et on définira alors trois directions naturelles, une direction ho rizonta le pa rallèle
au mur qui tient la porte, une autre direction horizonta le perpendiculaire au mur et en fin une
troisiè me direction verticale. Tout obj et ou pe rsonne, P, de la pièce ser a ainsi rep éré pa r trois
nombres (x,y,z) app elées coo rdonnées de P dans le référ entiel (R) dé fini pa r son ori gine O et les
trois directions p récéd emment dé finies.
Cette définit ion du référ entiel (R) n'a en fait été possible que parc e que la porte est un ob jet
solide indéformable ainsi que le m ur de soutien.
La dé finition gé nérale d'un réfé rentiel d'espac e est la suivante : Un référentiel (R) est
constitué par un solide ou un ensemble de solides de formes invariantes
Cours de méc an ique I FIPS-S2: C.Pasquier, Un ivers ité d'Orsay 6Chapitre I : Introduction gé nérale
dans l e tem ps permettant de repérer la p osition de tout o bjet.
Le vecteur est appelé vecteur position. La norme de ce vecteur s'exprime en r=OP
fonction d'un étalon qui e st le mè tre ou un d e ses mul tiples.
D epuis 1983, le mètre e st dé fini comme la l ongueur pa rcourue pa r la lumière
dans l e vide pendant une dur ée de 1 /299 792 458 s econde.
Cours de méc an ique I FIPS-S2: C.Pasquier, Un ivers ité d'Orsay 7Chapitre I : Introduction gé nérale
Cours de méc an ique I FIPS-S2: C.Pasquier, Un ivers ité d'Orsay 8Chapitre II : Ciném atique du point
Chapitre II : Cinématique du point
Com me nous l 'avons vu a u chapitre p récéd ent, la ciné mat ique co rrespond à l' étude des
vecteurs vitesse et accélér ation qui dépendent du ré fér entiel considér é.
D ans un p rem ier temps, nou s allons ca ractériser la position d'un point M de l'esp ace dans
diffé rents s ystèmes de coo rdonnées. Ensuite, nous p résenteron s la cinéma tique du point dans un
référ entiel avant d' ab orde r les lois de compos ition lors des chan gements de réfé rentiels.
I Systèmes de coordonnées :
Ce paragraphe expose diff érentes r eprés entations d'un mê me vecteur d e l'espac e ou du plan.
   O ,u ,u ,uPour cela, on considèr e un repè re orthonormé direct de l'espac e O ,i ,j ,k ou x y z
.
1) Coordonnées carté siennes :
   Soit M un point de l'espac e tel que OM= x i y jz k . Les coordonnée s cartésiennes de
M sont donc (x,y,z). La no rme du v ecteur est :OM
2 2 2
 .∥OM∥= x yz
Mz
yO
x
D ans de nombreux cas, il est beaucoup plus facile de repé rer un point su r une cou rbe, une
surface e n uti lisan t d'aut res types d e coordonné es
2) Coordonnées polaires :
L'équation d'un cercle de centre O et de ray on R, en coordonnée s cartésiennes e st :
2 2 2
x  y= R
2 2
O n peut alor s en déduire l 'expression de y en fonction de x : . Cette y=± R−x
expression n 'est absolu ment p as parlante et on ne voit plus vraimen t qu' on a af faire à un cercle de
Cours de méc an ique I FIPS-S2: C.Pasquier, Un ivers ité d'Orsay 9q
q
r
r
Chapitre II : Ciném atique du point
centre R. Un e man ière plus si mple de décrire un cer cle e st de dire que le ce rcle est l 'ensemb le des
points M qui s ont à la mê me distance R d'un point O. Ceci s'éc rit :
=∥OM∥= R
Ceci ne suf fit pas à caractérise r le point M de manière univoque. Un e man ière de le faire est
de choisir un axe polaire Ox et de dé finir l'an gle θ qui est l'an gle entre l'axe Ox et le vecteur
 . Ainsi, la donn ée de ρ et θ dé finissent les coo rdonnées polaires du point M.OM
Ceci se généralise pour tout point M du plan : les coordonnées polaires de M sont
ρ et θ tels que :
 et  .=∥OM∥ =Ox ,OM
O n a alors : OM=u
OM
u  uoù est le ve cteur unita ire porté par : u= . O n note le vecteur unitaire OM 
∥OM∥
u  M ,u ,u   formant un angl e de +π /2 à . Le repère est orthonormé direct et   
s'appelle repère lo cal.
Remarques : L'an gle θ est un ang le orienté et ρ est un nombre toujours positif.
En uti lisan t le produit vectoriel et un vecteur unitaire norma l au plan, k
u= k∧u . 
u
y
u
M
j
O x
i
Les formules de trans format ion entre les coordonnée s cartésiennes et les coordonné es
polaires sont les suivantes :
Cartésiennes -> polaires Polaires -> cartésiennes
2 2 x=cos = x y
y=sin y
tan =
x
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