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• Publié par: Mefig
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• Langue: Slovak

Extrait

Chapitre 3
Vecteurs du plan.
I Introduction.
Vous pouvez consulter ces deux sites :
http ://epvf.net/
http ://www.curiosphere.tv/mecanique-du-vol/
On voit, pour expliquer le vol d’un avion, la présence d’un symbole matérialisé par des flêches. Ce sont les
vecteurs que l’on utilise en physique pour modéliser la notion de force.
Pour le cours de mathématiques de seconde, nous n’aurons pas l’ambition de décrire le vol d’un avion, mais
de définir et d’utiliser les vecteurs dans quelques cas simples issus de la géométrie du plan.
II Les vecteurs du plan.
1 Les translations du plan.
On sait déjà, trois pointsA,B etD étant donnés, tracer le pointC tel queABCD soit un parallélogramme,
éventuellement applati.
25b
b
b
b
b
b
26 CHAPITRE 3. VECTEURS DU PLAN.
B
A A
D
B
D
On remarque que, quand on déplace le point D, le point C suit un déplacement identique. On obtient ainsi
deux figures identiques.
Bien sûr, D peut parcourir un segment, ou un cercle, il en sera de même pour le point C.b
b
b
b
II. LES VECTEURS DUPLAN. 27
On constate que, par ce moyen, on associe à tout point D du plan un point C. On définit ainsi une transfor-
mation du plan. On l’appelle translation.
Définition 1 A et B sont des points du plan. L’image d’un point D par la translation qui envoieA sur B est
le point C tel que le quadrilatèreABCD est un parallélogramme, éventuellement applati.
Exercice 1. Tracer ci-dessous l’image du pointD, puis l’image du pointM, par la translation qui envoie le
point A sur le point B.
B
A
M
D
2 Définition des vecteurs du plan.
On convient de représenter le déplacement du point A vers le point B, du point D vers le point C par une
flêche.28 CHAPITRE 3. VECTEURS DU PLAN.
Remarque 1 On constate que la flêche qui va de A vers B et celle qui va de D vers C ont de nombreuses
propriétés en commum.
• Les longueurs des flêches sont·················· (parce que ABCD est un parallélogramme).
• Les flêches ont pour support des droites ·················· (toujours parce que ABCD est un parallélogramme).
• Enfin, les flêches ont le même ············ , parce que un parallélogramme est un quadrilatère qui n’est pas croisé.
−→ −→
On note alors : AB =DC
Ceci fourni une idée visuelle de la notion de vecteur.
♠ Propriété 1
−→ −→
Quand on écrit AB =DC, ceci est équivalent à :
• Le quadrilatèreABCD est un ...............................................................
• Les segments [AC] et [BD] ont ...............................................................
Exercice 2. MNRS est un parallélogramme. Quelles sont les égalités de vecteurs que l’on peut écrire?
Exercice 3. On considère deux parallèlogrammesABCD et ABEF (ces deux parallélogrammes ont donc
le côté [AB] en commun).
1. Donner toutes les égalités de vecteurs que l’on peut écrire.
2. Quell est la nature du quadrilatèreDCEF ? Démontrez votre résultat en utilisant la notion de vecteur.
3. Quelles nouvelles égalités de vecteurs peut-on en déduire?
4. Que peut-on dire des segments [DE] et [CF]?
−→ −→
Remarque 2 On voit, dans l’égalité AB = DC, que l’écriture d’un vecteur à l’aide de points n’est pas une
écriture unique. On utilise souvent des noms de lettres en minuscule pour désigner les vecteurs. On peut par
−→ −→
exemple écrire~u =AB =DC.b
b
III. VECTEURS DUPLAN ET COORDONNÉES. 29
B
~u
D
~u
A
C
−−→
Exercice 4. Sur le dessin ci-dessous, tracer le point N qui vérifie l’égalitéMN =~u et le point S qui vérifie
−→
l’égalité RS =~v.
vu
R
M
3 Le vecteur nul.
−→ −→
Définition 2 Si A est un point quelquonque du plan, le veteur AA est le vecteur nul. On le note 0.
4 Vecteurs opposés.
−−→ −−→
Définition 3 A et B sont des points du plan. On dit que les vecteurs AB et BA sont des vecteurs opposés.
◦ ◦Faire les exercices du livre page 231, n 1 à n 4.
III Vecteurs du plan et coordonnées.
Dans tout ce paragraphe, le plan est muni d’une repère (O, I, J) .
1 Lectures graphiques.
Considérons deux points du plan A et B donnés par leurs coordonnées dans un repère. Comment peut-on
−→
caractériser le vecteur AB en utilisant le repère (et donc la grille)?b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
30 CHAPITRE 3. VECTEURS DU PLAN.
5 5
B B
4 4
−→ −→ 4AB AB
3 3
2 2
3
C
1 1
A A
−1 1 2 3 4 5 6 −1 1 2 3 4 5
−1 −1
On peut, pour utiliser la grille, passer par le pointC qui a la même abscisse queB et la même ordonnée queA.
Pour se déplacer sur la grille de A versB, en passant par C, on se déplace de ······ carreaux horizontalement
−→
et de······ carreaux verticalement. On dit alors que les coordonnées du vecteur AB sont :
−→
AB(······ ; ······)
Exercice 5.
1. Lire sur de graphique ci-dessous les coordonnées des vecteurs qui sont tracés.
A E
5
u
4
B w3
−→
G GH H
2
D F
1
v
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
C
−1
−2

−→ −→ −→ −→
AB ······;······ ; CD ······;······ ; EF ······;······ ; GH ······;······
2. Lire sur de graphique ci-dessous les coordonnées des vecteurs qui sont tracés.b
b
b
III. VECTEURS DUPLAN ET COORDONNÉES. 31
5
4
~u ~u ······;······
w~3
~z ~v ······;······
2
w~ ······;······
1 ~v
~z ······;······
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
3. Tracer sur dans le repère ci dessous des représen-
~~tants des vecteurs t(−2;−1),~a(0;3) et b(5;1).
3
2
1
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
−2
2 Une formule.
−→
Il s’agit maintenant de calculer les coordonnées du vecteur AB en fonction des coordonnées des points A et B.
On reprend le premier dessin mais en faisant apparaître ces coordonnées.
4 B(6,4)
−→
AB
3
3
2
4 C
1
A(2,1)
−1 1 2 3 4 5 6 7
−132 CHAPITRE 3. VECTEURS DU PLAN.
−→
On peut deviner, en utilisant le pointC comment calculer les coordonnées du vecteurAB en fonctions de celles
des points A et B :
−→ −→x =·················· =······ ; y =·················· =······
AB AB
Indication : on peut penser, pour trouver comment faire, à la formule qui donne la distance de deux points.
Donner alors la formule à utiliser :
Si, dans un repère, on donne deux points A et B par leurs coordonnées,A(x ;y ) et B(x ;y ),A A B B
alors :
−→
AB ··················; ··················
Exercice 6. Dans un repère (O, I, J) on donne les points :
A(−2;3) ; B(1;1) ; C(5;−2)
−→ −→ −→ −→ −→ −→
Calculer les coordonnées des vecteurs AB, CI, BA, OC, AC et CC.
−→ −→
AB ··················; ·················· CI ··················; ··················
−→ −→
AB ······ ; ······ CI ······; ······
−−→ −−→
BA ··················; ·················· OC ··················; ·········