Cours de statistiques
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Seconde 2 2008/2009Chapitre 51. Séries statistiques. Effectifs. Fréquences. On étudie les notes obtenues dans la classe de seconde B du Lycée Stat :Valeur7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 19(Note en points)Effectif 2 3 3 2 2 4 4 2 2 1 1 1Il s’agit d’une série statistique discrète : chaque valeur est bien précisée.L ’effectif de chaque valeur es tici le nombre d’élèves qui ont eu cette note. Par exemple, 4 élèves ont obtenu la note 12.La fréquence de chaque valeur est le quotient de son effectif par l’effectif total. On peut exprimer les fréquences sous form ede fractions, sous forme décimale ou encore en pourcentages. La somme des fréquences est toujours éga le à1 (ou à 100 %). L’ensemble des fréquences est appelé la distribution des fréquences de la série .Compléter le tableau suivant par les fréquences exprimées sous forme fractionnaire :Valeur7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 19 Total(Note en points)Effectif 2 3 3 2 2 4 4 2 2 1 1 1Fréquence On étudie maintenant la durée de vie d’un lot de 500 ampoules électriques. Les valeurs de la série (en heures) sont regroupées par intervalles de longueur 200 h (appelés classes de valeurs).Classe de valeurs[1 000 ; 1 200[ [1 200 ; 1 400[ [1 400 ; 1 600[ [1 600 ; 1 800[(en heures)Effectif 50 120 270 60Il s’agit d’une série statistique continue : toutes les valeurs ne sont pas précisées. On peut lire dans letableau que 120 ...

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Langue Français

Exrait

Seconde 2
2008/2009
Chapitre 5
1. Séries statistiques. Effectifs. Fréquences.
On étudie les notes obtenues dans la classe de seconde B du Lycée Stat :
Valeur
(Note en points)
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8
9
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12
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19
Effectif
2
3
3
2
2
4
4
2
2
1
1
1
Il s’agit d’une série statistique discrète : chaque valeur est bien précisée. L’effectif de chaque valeur est
ici le nombre d’élèves qui ont eu cette note. Par exemple, 4 élèves ont obtenu la note 12. La fréquence de
chaque valeur est le quotient de son effectif par l’effectif total. On peut exprimer les fréquences sous forme
de fractions, sous forme décimale ou encore en pourcentages. La somme des fréquences est toujours égale à
1 (ou à 100 %). L’ensemble des fréquences est appelé la distribution des fréquences de la série.
Compléter le tableau suivant par les fréquences exprimées sous forme fractionnaire :
Valeur
(Note en points)
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
19
Total
Effectif
2
3
3
2
2
4
4
2
2
1
1
1
Fréquence
On étudie maintenant la durée de vie d’un lot de 500 ampoules électriques. Les valeurs de la série (en
heures) sont regroupées par intervalles de longueur 200 h (appelés classes de valeurs).
Classe de valeurs
(en heures)
[1 000 ; 1 200[ [1 200 ; 1 400[ [1 400 ; 1 600[ [1 600 ; 1 800[
Effectif
50
120
270
60
Il s’agit d’une série statistique continue : toutes les valeurs ne sont pas précisées. On peut lire dans le
tableau que 120 ampoules ont eu une durée de vie comprise entre 1 200 h et 1 400 h.
Compléter le tableau suivant par les fréquences exprimées en pourcentages :
Classe de valeurs
(en heures)
[1 000 ; 1 200[ [1 200 ; 1 400[ [1 400 ; 1 600[ [1 600 ; 1 800[
Total
Effectif
50
120
270
60
Fréquence
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Seconde 2
2008/2009
2. Effectifs et fréquences cumulés.
Effectifs cumulés croissants : les valeurs étant rangées dans l’ordre croissant, on additionne les
effectifs successifs en partant de la plus petite valeur (même définition pour les fréquences).
Effectifs cumulés décroissants : les valeurs étant rangées dans l’ordre croissant, on additionne les
effectifs successifs en partant de la plus grande valeur (même définition pour les fréquences).
Exemple : on reprend l’exemple des notes de seconde B. Compléter le tableau :
Valeur
(Note en points)
7
8
9
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12
13
14
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16
17
19
Effectif
2
3
3
2
2
4
4
2
2
1
1
1
Eff. cumulés croissants
Eff. cumulés décroissants
On représente souvent les effectifs cumulés sur un graphique appelé diagramme des effectifs cumulés :
Diagramme des effectifs cumulés
0
5
10
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20
25
30
7
8
9
10
11
12
13
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15
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17
19
Valeurs (notes)
Effectifscumulés
3.Diagrammes statistiques
On utilise en statistiques différents types de diagrammes pour représenter des données.
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35
40
0
5
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20
25
30
35
40
45
Diagramme en bâtons
Diagramme circulaire
Asie
Europe
Amérique du Nord
Afrique
[0;10[
[10;20[
[20;30[
[30;40]
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Histogramme
Seconde 2
2008/2009
4. Caractéristiques de position d’une série statistique.
4.1. La moyenne.
Définition
La moyenne d’une série statistique discrète est le nombre réel noté
x
défini par :
N
x
n
x
n
x
n
x
p
p
+
+
+
=
...
2
2
1
1
, où
N
est l’effectif total.
Remarques
Dans le cas d’une série continue, on remplace les classes de valeurs par le centre de la classe pour
faire le calcul. On obtient alors une valeur approchée de la moyenne.
On peut utiliser le symbole « somme » pour abréger l’écriture des formules :
p
n
n
n
+
+
+
...
2
1
est noté
=
p
i
i
n
1
. On lit « somme des
n
i
, de
i
= 1 à
p
». La moyenne s’écrit alors :
=
=
p
i
i
i
x
n
N
x
1
1
.
Exemples
Pour les notes de seconde B, l’effectif total est
N
= …… et la moyenne est :
Pour la durée de vie des ampoules, on calcule les centres des classes :
Classe de valeurs
(en heures)
[1 000 ; 1 200[ [1 200 ; 1 400[ [1 400 ; 1 600[ [1 600 ; 1 800[
Centres
Effectif
50
120
270
60
L’effectif total est
N
= …… et la moyenne est :
4.2. La médiane.
Définition
La médiane d’une série statistique discrète (dont les valeurs sont rangées par ordre croissant) est une
valeur du caractère qui partage la série en deux ensembles de valeurs de même effectif.
Exemples
Pour les notes de seconde B,
N
= ……. On peut trouver une note « centrale » qui partagera les notes
en deux groupes de 13 notes :
7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 14 14 15 15 16 17 19
La médiane est ……
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Valeur
x
1
x
2
x
p
Effectif
n
1
n
2
n
p
Seconde 2
2008/2009
La considération des effectifs cumulés permet de trouver la médiane sans faire la liste complète des
notes.
Il y a une difficulté lorsque la série comporte un nombre pair de valeurs.
Valeurs
7
8
10
11
12
15
Effectifs
2
2
4
3
3
2
Ici, l’effectif total est
N
= …… On peut faire la liste complète des valeurs :
7 7 8 8 10 10 10 10 11 11 11 12 12 12 15 15
Il n’y a pas de note médiane : on convient alors de prendre la demi somme des deux valeurs centrales
comme médiane. Ici, la médiane est égale à :
......
2
......
......
=
+
Pour une série statistique continue, on donne la classe médiane, c’est-à-dire celle dans laquelle se
trouve la médiane. Pour les ampoules, la classe médiane est la classe [……… ; ………[ (premier effectif
cumulé supérieur à la moitié de l’effectif total).
4.3.Le mode et la classe modale.
Définition
Pour une série statistique discrète, le mode est la valeur qui a la plus grand effectif.
Pour une série statistique continue, la classe modale est la classe qui a le plus grand effectif.
5. Caractéristique de dispersion : l’étendue.
Définition
L’étendue d’une série statistique est la différence entre sa plus grande valeur et sa plus petite valeur.
Exemple
Pour les notes de seconde B, l’étendue est égale à : …… – ……… = ……… points.
6. Propriétés de la moyenne.
6.1.Linéarité de la moyenne.
Exemples
On veut calculer la moyenne de la série suivante :
Valeurs
0,07
0,08
0,09
0,10
0,12
Effectifs
20
40
70
14
8
Pour simplifier les calculs, on peut multiplier toutes les valeurs
x
i
par 100. La moyenne
x
sera aussi
multipliée par 100 :
.........
.........
.........
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
100
=
×
+
×
+
×
+
×
+
×
=
x
La moyenne est donc égale à ………
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Seconde 2
2008/2009
On considère maintenant la série :
Valeurs
68
69
70
71
72
73
Effectifs
6
18
32
44
35
23
De même, on peut retrancher 68 à toutes les valeurs. La moyenne
x
sera aussi diminuée de 68 :
.........
.........
.........
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
68
=
×
+
×
+
×
+
×
+
×
+
×
=
-
x
La moyenne est donc égale à ………
Théorème
Lorsqu’on ajoute (ou retranche) un même nombre
r
à chacune des valeurs d’une série, sans changer
les effectifs, la moyenne augmente (ou diminue) de
r
.
Lorsqu’on multiplie toutes les valeurs d’une série par un même nombre
k
, sans changer les effectifs,
la moyenne est multipliée par
k
.
6.2.Calcul de la moyenne à partir des moyennes de sous-groupes.
Théorème
Une série d’effectif total
N
et de moyenne
m
est partagée en deux groupes disjoints :
1
er
groupe d’effectif
p
et de moyenne
m
1
2
ème
groupe d’effectif
q
et de moyenne
m
2
(avec
p
+
q
=
N
)
On a alors :
N
qm
pm
m
2
1
+
=
.
Exemple
Dans une entreprise, il y a 25 cadres et 18 ouvriers. La moyenne des salaires annuels des cadres est de
38 700 € et celle des ouvriers est de 15 800 €.
La moyenne
m
de tous les employés est :
.
..........
..........
.........
.........
.........
.........
.........
×
+
×
=
m
6.3.Calcul de la moyenne à partir de la distribution des fréquences.
Théorème
On considère une série statistique et sa distribution des fréquences :
Valeur
x
1
x
2
x
p
Fréquence
f
1
f
2
f
p
On a alors :
p
p
x
f
x
f
x
f
x
+
+
+
=
...
2
2
1
1
, ce qui s’écrit aussi :
=
=
p
i
i
i
x
f
x
1
.
Exemple
Valeur
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Fréquence
0,04
0,06
0,09
0,15
0,16
0,19
0,15
0,10
0,04
0,02
On obtient :
...
1
=
=
=
p
i
i
i
x
f
x
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