Cours de vibrations pour le DESS modelisation
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Vibrations des milieuxdiscrets et continusLuc JaouenVersion datee du 19 avril 2005Table des matieresIntroduction iii1 Un Degre De Liberte 11.1 Oscillations libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Reponse a une excitation harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Theoreme de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Reponse a une excitation periodique quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Reponse a une quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 n degres de liberte 92.1 Methode de la base modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Systemes avec amortissement visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Reponses forcees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Vibration transversale des cordes 134 Vibrations des poutres 194.1 De nition d’une poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 Vibrations longitudinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2.1 Champ de deplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2.2 Fonctionnelle de Hamilton ...

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Vibrations des milieux discrets et continus
LucJaouen
Versiondateedu19avril2005
Tabledesmatieres Introductioniii 1 Un Degre De Liberte1 1.1 Oscillations libres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2Reponseauneexcitationharmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Theoreme de superposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .  3 1.4 Reponse a une excitation periodique quelconque. . . . . . . . . . . . .  4. . . . . . . . . . . . . . . 1.5Reponseauneexcitationquelconque 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 n degres de liberte9 2.1 Methode de la base modale 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Systemes avec amortissement visqueux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Reponses forcees 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Vibration transversale des cordes13 4 Vibrations des poutres19 4.1 De nition d’une poutre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.2 Vibrations longitudinales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.2.1Champdedeplacement 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Fonctionnelle de Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Vibrations de exion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  23 4.3.1Champdedeplacement. . . . . . . . . . . . . . . . .  23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Fonctionnelle de Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.4 Vibrations de torsion 26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1Champdedeplacement 26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Fonctionnelle de Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5 Vibrations des plaques29 5.1 De nition d’une plaque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  29 5.2 Hypotheses de condensation. . . . . . . . . . . . . . . . . .  29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Vibrations longitudinales des plaques minces 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Vibrations de exion des plaques minces 30. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1Champdedeplacement 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Fonctionnelle de Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . .  31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Introduction a l’analyse modale35 6.1 De nition de l’analyse modale 35. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Theoreme de reciprocite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Di  erentes formes de FRF 36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Estimateurs de FRF 36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Amortissements visqueux et structural. . . . . . . . . . . . . . . . . 37. . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Methodes d’extraction de parametres. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .  38 6.7 Exemple : cas d’une poutre en exion. . . . . . . . . . . . . . . .  39. . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
A
Tabledesmatieres
FormalismedeLagrangeetequationsdEuler A.1 Rappel sur le formalisme de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . A.2 Equations d’Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.1 Fonctionnelle de Hamilton pour les vibrations longitudinales de poutres droites minces A.2.2 Autres formes de fonctions d’Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
43 43 43 43 44
Introduction
Cecoursestfortementinspire,danssoncontenuetsaredaction,dediversautressourcesdenseignement, particulierement:

LecoursdemecaniqueduDEAdAcoustiqueAppliquee(UniversiteduMaine,France)realiseparBernard Castagnede. LecoursdevibrationsdelENSIM(UniversiteduMaine)deJean-ClaudePascal. Lecoursderayonnementacoustiquedesstructures(GMC721,UniversitedeSherbrooke,Qc,Canada) d’AlainBerry.
Cesouvrages,souventecritsdansdescontextespluslargesouconnexesaupresentdocument,peuventconsti-tuerunebonnesourcedinformationcomplementaireoualternative.
Mercidemefairepartdeseventuelleserreursouincoherencesquevousreleverezaucoursdecesquelques pages,ainsiquevoscritiquesetsuggestionsa:
luc.jaouen@univ-lemans.fr
1 Un Degre De Liberte
Cechapitrepresenterapidementlesresultatsimportantspourlecasdunsystememecaniquelineairea1 ddlavecamortissement.Lanalogieavecunsystemeelectriqueestevidente,lalitteraturesurlesujetnenest que plus fournie. 1.1 Oscillations libres Soit l’oscillateur harmonique amorti par e et visqueux (proportionnel a la vitesse) de la gure1.1. k x m
c
Fig.mortisimplednusoiclltauearontihscatemueiq1.1peRseratne
Lequationdesonmouvementest: mx(t) +cx˙ (t) +kx(t) = 0 (1.1) En supposant une dependance en temps de la formeert, on peut ecrire l’equation caracteristique associee a cetteequationdumouvement: mr2+cr+k= 0 Lessolutionsdelequationcaracteristiquesont: c c2 4km r1,2= 2m2m En introduisant les termes : ω20=kmpulsation naturelle non amortie 2 ccr 4km= 0 =ccr= 2km= 20amortissement critique =cccr2=cfacteur d’amortissement visqueux 0 onpeutalorsre-ecrirelequationdumouvementsouslaforme: x+ 2ω0 x˙ +ω02x= 0 Lasolutiongeneraledecetteequationdi erentiellelineaire,homogene,acoecientsconstantssecrit(cf cours math.) : x(t) =Aer1t+Ber2t ouAetBedtnosimnteresedarrirbittesastanscontinielaitidnsnoislecoessdeepras. 3cassontobservessuivantlesignede=c2 4km(cf gures1.2,1.3et1.4) :
2UnDegreDeLiberte x x x t t t Fig.1.2 – Sur amorti.Fig.1.3 – CritiqueFig.1.4 – Sous amorti Si >0, >1,r1,2=  ω0ω02 1, l’oscillateur est dit sur amorti. x(t) =C1er1t+C2er2t(1.2) Si  0, == 1,r1,2=  ω0= ω0, l’amortissement est critique. C’est ce qu’on recherche dans le cas d’une suspension automobile par exemple. x(t) = (C1t+C2)e  ω0t(1.3) Si <0, 0 << 1,r1,2=  ω001 2, l’oscillateur est dit sous amorti. C’est le cas de la plupart desoscillateursmecaniquescourants. x(t) ="C1cos1 2ω0t+C2sin1 2ω0t #e  ω0t(1.4) oux(t) =Asin1 2ω0t e  ω0t Ce dernier resultat est celui d’un regime pseudo-periodique dont on remarque que lapseudo pulsation ωp=ω01 2di ere de la pulsation naturelle non amortieω0par le terme 1 2lonctionuimˆemef de l’amortissement;ωp6ω0(cf g.1.5). 1.4 Π 1= 0.1 Π= 0.5 = 1 1.2Π0.9 0.8 1 0.7 0.8 0.6 0.5 0.60.4 0.3 0.4 0.2 0.20.1 Π= 0.1 Π 0.5 = 0Π= 1  0 0 1 2 3 0 1 2 3 w/w0w/w0 Fig.sur la position de la resonance d’une systeme a 1 ddl. l’amortissement  de1.5 – In uencem= 10 kg,k= 4 N.m 1.
Reponseauneexcitationharmonique3 1.2 Reponse a une excitation harmonique LequationdumouvementpourunoscillateurharmoniqueamortisoumisauneforceexterieureF(t) s’ecrit : mx+c˙x+kx=F(t) (1.5) Le cas le plus simple est celui d’une force harmonique,ieF(t) =Fcos(ωt+). La solution generale de lequationdumouvementestalorsunecombinaisonlineairedelasolutiongeneraledelequationsanssecond membre(regimedesoscillationslibres,cf§1.1bre.econdmemoianevscleuqtadereelicutiarnpoitulosenudte,) Comme precedemment, on peut re-ecrire1.5comme : x+ 2 ω0˙x+ω20x=mF(t)
et passer en notation complexe1: F(t) =FˆjωtF(t) ˆ 0cos(ωt+) soit en notation complexeF(t) =Fe ,=Re[F(t)] On considere une solution particuliere sous la forme : x(t) =Acos(ωt++ en notation complexe) soitxˆ(t) =Xejωt, x(t) =Rex(t)] (1.6) L’equation1.5s’ecrit alors en notation complexe :  ω2+j2 ωω0+ω02Xejωt=mFejωt(1.7) A partir de cette derniere notation, l’amplitude complexeXtiarlicureeobsneitcaftmeli:tnedlesalotuoipn X=F/m ω20 ω2+j2 ω0ω On peut exprimer le module et la phase du deplacementx(t) comme : |F| |X|(=ω20 ω2)2/m+ (2 ω0ω)2=A 2 ω0ω = arctan ω02 ω2 On peut d’ores et deja exprimer lafonction de transfertH(ω) qui sera etudiee plus en detail dans le chapitre d’analyse modale : H(ω) =X10ω) = Fm(ω02 ω2+j2 ω 1 = (k 2) +jcω Cettefonctiondetransfertpeutˆetrerepresenteesuivantsonamplitudeetsaphaseousuivantsesparties reelleetimaginaire(cf g.1.2).

1.3Theoremedesuperposition Six1(teqndelutiotsol)senoitau1.5et six2(t) l’est egalement, alorsx(t) =x1(t) +x2(t) est aussi solution de1.5: mx1+cx˙1+kx1=F1(t) mx2+cx2+kx2=F2(t) ˙ =mx+c˙x+kx=F(t) avecF=F1+F2 Le theoreme de superposition tient au fait que l’equation di  erentielle de l’oscillateur harmonique est lineaire. Dans le cas d’une equation di  erentielle non lineaire, il ne s’applique plus. 1segrandeurscomplexeserpersedtnetneundrasgasgrenrseL
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