Cours de vibrations pour le DESS modelisation

Luc Jaouen

Description

Vibrations des milieuxdiscrets et continusLuc JaouenVersion datee du 19 avril 2005Table des matieresIntroduction iii1 Un Degre De Liberte 11.1 Oscillations libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Reponse a une excitation harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Theoreme de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Reponse a une excitation periodique quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Reponse a une quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 n degres de liberte 92.1 Methode de la base modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Systemes avec amortissement visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Reponses forcees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Vibration transversale des cordes 134 Vibrations des poutres 194.1 De nition d’une poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 Vibrations longitudinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2.1 Champ de deplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2.2 Fonctionnelle de Hamilton ...

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Vibrations des milieux discrets et continus

LucJaouen

Versiondateedu19avril2005

Tabledesmatieres Introductioniii 1 Un Degre De Liberte1 1.1 Oscillations libres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2Reponseauneexcitationharmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Theoreme de superposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .  3 1.4 Reponse a une excitation periodique quelconque. . . . . . . . . . . . .  4. . . . . . . . . . . . . . . 1.5Reponseauneexcitationquelconque 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 n degres de liberte9 2.1 Methode de la base modale 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Systemes avec amortissement visqueux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Reponses forcees 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Vibration transversale des cordes13 4 Vibrations des poutres19 4.1 Denition d’une poutre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.2 Vibrations longitudinales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.2.1Champdedeplacement 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Fonctionnelle de Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Vibrations de exion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  23 4.3.1Champdedeplacement. . . . . . . . . . . . . . . . .  23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Fonctionnelle de Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.4 Vibrations de torsion 26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1Champdedeplacement 26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Fonctionnelle de Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5 Vibrations des plaques29 5.1 Denition d’une plaque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  29 5.2 Hypotheses de condensation. . . . . . . . . . . . . . . . . .  29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Vibrations longitudinales des plaques minces 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Vibrations de exion des plaques minces 30. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1Champdedeplacement 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Fonctionnelle de Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . .  31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Introduction a l’analyse modale35 6.1 Denition de l’analyse modale 35. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Theoreme de reciprocite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Di erentes formes de FRF 36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Estimateurs de FRF 36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Amortissements visqueux et structural. . . . . . . . . . . . . . . . . 37. . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Methodes d’extraction de parametres. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .  38 6.7 Exemple : cas d’une poutre en exion. . . . . . . . . . . . . . . .  39. . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

A

Tabledesmatieres

FormalismedeLagrangeetequationsd’Euler A.1 Rappel sur le formalisme de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . A.2 Equations d’Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.1 Fonctionnelle de Hamilton pour les vibrations longitudinales de poutres droites minces A.2.2 Autres formes de fonctions d’Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

43 43 43 43 44

Introduction

Cecoursestfortementinspire,danssoncontenuetsaredaction,dediversautressourcesd’enseignement, particulierement:

  

LecoursdemecaniqueduDEAd’AcoustiqueAppliquee(UniversiteduMaine,France)realiseparBernard Castagn  ede. Lecoursdevibrationsdel’ENSIM(UniversiteduMaine)deJean-ClaudePascal. Lecoursderayonnementacoustiquedesstructures(GMC721,UniversitedeSherbrooke,Qc,Canada) d’AlainBerry.

Cesouvrages,souventecritsdansdescontextespluslargesouconnexesaupresentdocument,peuventconsti- tuerunebonnesourced’informationcomplementaireoualternative.

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1 Un Degre De Liberte

Cechapitrepresenterapidementlesresultatsimportantspourlecasd’unsystememecaniquelineairea1 ddlavecamortissement.L’analogieavecunsystemeelectriqueestevidente,lalitteraturesurlesujetn’enest que plus fournie. 1.1 Oscillations libres Soit l’oscillateur harmonique amorti par eet visqueux (proportionnel a la vitesse) de la gure1.1. k x m

c

Fig.mortisimple’dnusoiclltauearontihscatemueiq1.1peR–seratne

L’equationdesonmouvementest: mx(t) +cx˙ (t) +kx(t) = 0 (1.1) En supposant une dependance en temps de la formee rt , on peut ecrire l’equation caracteristique associee a cetteequationdumouvement: mr 2 +cr+k= 0 Lessolutionsdel’equationcaracteristiquesont: c c 2   4km r 1,2 =   2m  2m En introduisant les termes : ω 2 0 = k m pulsation naturelle non amortie 2 c cr   4km= 0 =⇒c cr = 2km= 2mω 0 amortissement critique = c c c r 2 = c facteur d’amortissement visqueux mω 0 onpeutalorsre-ecrirel’equationdumouvementsouslaforme: x+ 2ω 0  x˙ +ω 02 x= 0 Lasolutiongeneraledecetteequationdierentiellelineaire,homogene,acoecientsconstantss’ecrit(cf cours math.) : x(t) =Ae r 1 t +Be r 2 t ouAetBedtnosimnteresedarrirbittesastanscontinielaitidnsnoislecoessdeepr’as. 3cassontobservessuivantlesignede
=c 2   4km(cfgures1.2,1.3et1.4) :

2UnDegreDeLiberte x x x t t t Fig.1.2 – Sur amorti.Fig.1.3 – CritiqueFig.1.4 – Sous amorti Si
>0, >1,r 1,2 =    ω 0 ω 0  2   1, l’oscillateur est dit sur amorti. x(t) =C 1 e r 1 t +C 2 e r 2 t (1.2) Si
 0, == 1,r 1,2 =    ω 0 =   ω 0 , l’amortissement est critique. C’est ce qu’on recherche dans le cas d’une suspension automobile par exemple. x(t) = (C 1 t+C 2 )e    ω 0 t (1.3) Si
<0, 0 << 1,r 1,2 =    ω 0 jω 0 1    2 , l’oscillateur est dit sous amorti. C’est le cas de la plupart desoscillateursmecaniquescourants. x(t) = " C 1 cos  1    2 ω 0 t  +C 2 sin  1    2 ω 0 t  # e    ω 0 t (1.4) oux(t) =Asin  1    2 ω 0 t     e    ω 0 t Ce dernier resultat est celui d’un regime pseudo-periodique dont on remarque que lapseudo pulsation ω p =ω 0 1    2 di ere de la pulsation naturelle non amortieω 0 par le terme 1    2 lonctionuimˆemef de l’amortissement;ω p 6ω 0 (cfg.1.5). 1.4 Π  1 = 0.1 Π= 0.5 = 1 1.2 Π 0.9 0.8 1 0.7 0.8 0.6 0.5 0.6 0.4 0.3 0.4 0.2 0.2 0.1 Π= 0.1 Π 0.5 = 0 Π= 1   0 0 1 2 3 0 1 2 3 w/w 0 w/w 0 Fig.sur la position de la resonance d’une systeme a 1 ddl. l’amortissement  de1.5 – In uencem= 10 kg,k= 4 N.m   1 .

Reponseauneexcitationharmonique3 1.2 Reponse a une excitation harmonique L’equationdumouvementpourunoscillateurharmoniqueamortisoumisauneforceexterieureF(t) s’ecrit : mx+c˙x+kx=F(t) (1.5) Le cas le plus simple est celui d’une force harmonique,ieF(t) =Fcos(ωt+). La solution generale de l’equationdumouvementestalorsunecombinaisonlineairedelasolutiongeneraledel’equationsanssecond membre(regimedesoscillationslibres,cf§1.1bre.econdmemoianevsc’leuqtadereelicutiarnpoitulosenu’dte,) Comme precedemment, on peut re-ecrire1.5comme : x+ 2 ω 0 ˙x+ω 2 0 x= m F(t)

et passer en notation complexe 1 : F(t) =F ˆ jωt F(t ) ˆ 0 cos(ωt+) soit en notation complexeF(t) =Fe ,=Re[F(t)] On considere une solution particuliere sous la forme : x(t) =Acos(ωt++ en notation complexe) soitxˆ(t) =Xe jωt , x(t) =Re[ˆx(t)] (1.6) L’equation1.5s’ecrit alors en notation complexe :    ω 2 +j2 ωω 0 +ω 02  Xe jωt = m F e jωt (1.7) A partir de cette derniere notation, l’amplitude complexeXtiarlicureeobs’neitcaftmeli:tnedlesalotuoipn X= F/m ω 2 0   ω 2 +j2 ω 0 ω On peut exprimer le module et la phase du deplacementx(t) comme : |F| |X| ( = ω 2 0   ω 2 ) 2 /m + (2 ω 0 ω) 2 =A 2 ω 0 ω = arctan ω 02   ω 2 On peut d’ores et deja exprimer lafonction de transfertH(ω) qui sera etudiee plus en detail dans le chapitre d’analyse modale : H(ω) = X1 0 ω) = Fm(ω 02   ω 2 +j2 ω 1 = (k   mω 2 ) +jcω Cettefonctiondetransfertpeutˆetrerepresenteesuivantsonamplitudeetsaphaseousuivantsesparties reelleetimaginaire(cfg.1.2).



1.3Theoremedesuperposition Six 1 (t’eqndelutiotsol)senoitau1.5et six 2 (t) l’est egalement, alorsx(t) =x 1 (t) +x 2 (t) est aussi solution de1.5:  mx 1 +cx˙ 1 +kx 1 =F 1 (t) mx 2 +cx 2 +kx 2 =F 2 (t) ˙ =⇒mx+c˙x+kx=F(t) avecF=F 1 +F 2 Le theoreme de superposition tient au fait que l’equation di erentielle de l’oscillateur harmonique est lineaire. Dans le cas d’une equation di erentielle non lineaire, il ne s’applique plus. 1 segrandeurscomplexeserpersedtnetneundrasgasgrenrseL