Cours - Eléments d'algèbre linéaire

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Eléments d’algèbre linéaire K désigne un corps de caractéristique nulle. I. Généralités 1°) Espace vectoriel Déf : On appelle K -espace vectoriel tout ensemble E muni d’une loi de composition interne +:E×E →E et d’une loi externe : .:K×E →E vérifiant : (1) (E,+) est un groupe dont l’élément neutre est appelé vecteur nul, (2) ∀x,y ∈E,∀λ,∈K , λ(x +y)=λx +λy , (λ+)x =λx +x , λ(x)= (λ)x et 1.x =x . Prop : Si L est un sous-corps de K alors par restriction du produit extérieur, tout K -espace vectoriel est encore un L -espace vectoriel. Prop : Si E ,…,E sont des K -espaces vectoriels alors E =E ×⋯×E est un K -espace vectoriel pour les 1 n 1 nlois + et . définies par : (x ,…,x )+ (y ,…,y )= (x +y ,…,x +y ) et λ.(x ,…,x )= (λx ,…,λx ) . 1 n 1 n 1 1 n n 1 n 1 nDe plus le vecteur nul de E est alors 0 = (0 ,…,0 ) . E E E1 nProp : Si X désigne un ensemble et E un K -espace vectoriel alors F (X,E) est un K -espace vectoriel pour les lois + et . définies par : λ.f :x֏λ.f (x) et f +g :x֏f (x)+g(x) . ɶDe plus le vecteur nul de E =F (X,F ) est la fonction nulle : 0 :x֏o . 2°) Sous-espace vectoriel a) définition Déf : On appelle sous-espace vectoriel d’un K -espace vectoriel E toute partie F de E vérifiant : (1) F ≠∅ , (2) ∀λ,∈K,∀x,y ∈F , λx +y ∈F . Prop : Si F et G sont des sous-espaces vectoriels de E alors F +G = x +y /x ∈F,y ∈G et F ∩G sont des { }sous-espaces vectoriels de E . b) sous-espaces vectoriels supplémentaires Déf : Deux sous-espaces ...

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Extrait

Elémentsd’algèbrelinéaire

Kdésigne un corps de caractéristique nulle.

I. Généralités

1°) Espacevectoriel Déf :appelle On K-espace vectoriel tout ensembleEmuni d’une loi de composition interne+:E×E→E et d’une loi externe :. :K×E→Evérifiant : (1)(E,+)est un groupe dont l’élément neutre est appelé vecteur nul, (2)∀x,y∈E,∀λ,µ∈K,λ(x+y)=λx+λy,(λ+µ)x=λx+µx,λ(µx)=(λµ)xet1.x=x. Prop :SiLest un sous-corps deKalors par restriction du produit extérieur, toutK-espace vectoriel est encore unL-espace vectoriel. Prop :SiE,…,Esont desK-espaces vectoriels alorsE=E×⋯×Eest unK-espace vectoriel pour les 1n1n lois + et.définies par :(x,…,x)+(y,…,y)=(x+y,…,x+y)etλ.(x,…,x)=(λx,…,λx). 1n1n1 1n n1n1n De plus le vecteur nul deEest alors0=(0 ,…), 0 . E E E 1n Prop :SiXdésigne un ensemble etEunK-espace vectoriel alorsF(X,E)est unK-espace vectoriel pour les lois + et.définies par :λ.f:x֏λ.f(x)etf+g:x֏f(x)+g(x). ɶ De plus le vecteur nul deE=F(X,F)est la fonction nulle :0 :x֏o.

2°) Sous-espace vectoriel a)définition Déf : On appelle sous-espace vectoriel d’unK-espace vectorielEtoute partieFdeEvérifiant : (1)F≠ ∅, (2)∀λ,µ∈K,∀x,y∈F, λx+µy∈F . Prop :SiFetGsont des sous-espaces vectoriels deEalorsF+G= { x+y/x∈F,y∈G } etF∩Gsont des sous-espaces vectoriels deE. b)sous-espaces vectorielssupplémentaires Déf :sous-espaces vectoriels Deux FetGsont dits supplémentaires ssiF∩G= { 0 } etF+G=E. Théorème : Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E alors : ∀x∈E,∃!(u,v)∈F×G,x=u+v. c)sous-espacevectorielengendré Prop :Etant donné une partieAdeE, il existe un unique sous-espace vectorielGdeEvérifiant : 1)A⊂G 2) Pour tout sous-espace vectorielFdeE:A⊂F⇒G⊂F. Gapparaît comme étant le plus petit sous-espace vectoriel contenantA. Déf :les notations précédentes, on dit que Avec Gest le sous-espace vectoriel engendré parAet on note G=VectA. Prop :A⊂B⇒Vect(A)⊂Vect(B), Vect(A∪B)=Vect(A)+Vect(B). d)sous-espace affine Déf :appelle sous-espace affine passant On a∈Eet dirigé parFsous-espace vectorielEl’ensemble a+F= { a+x/x∈F } . Prop :Sibappartient à un sous-espace affineVde directionFalorsV=b+F. Prop :L’intersection de deux sous-espaces affines de directionsFetGest soit vide soit égale à un sous-espace affine de directionF∩G.

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3°) Applicationlinéaire SoitEetFdesK-espaces vectoriels. a)définition Déf : On appelle application linéaire deEversFtoute applicationf:E→Fvérifiant : ∀λ,µ∈K,∀x,y∈E,f(λx+µy)=λf(x)+µf(y). On noteL(E,F)l’ensemble des applications linéaires deEversF, c’est unK-espace vectoriel d’élément nulo ɶ . b)propriétés Prop :Sif∈L(E,F)alorsf(0 )=0. E F Prop :Soitf∈L(E,F). SiGest un sous-espace vectoriel deEalorsf(G)est un sous-espace vectoriel deF. −1 SiHest un sous-espace vectoriel deFalorsf(H) est un sous-espace vectoriel deE. Prop :Soitf∈L(E,F) . SiVest un sous-espace affine deEde directionG alorsf(V) est un sous-espace affine deFde directionf(G) . −1 SiWest un sous-espace vectoriel deFde directionHalorsf(Wsoit vide, soit égale à un sous-) est −1 espace affine deEde directionf(H) . Prop :Pourf∈L(E,F) etApartie deE,f(Vect(A))=Vect(f(A)) . c)imageetnoyau −1 Déf : Soitf∈L(E,F) . On appelle noyau et image de l’application linéairefles ensembles kerf=f( { 0 } ) et Imf=f(E) . Ce sont des sous-espaces vectoriels de respectivementEetF. Prop :f∈L(E,F) est injective ssi kerf= { 0 } Imet surjective ssi f=F. Théorème : Soitf∈L(E) . 2 Sif=falorsF=Imf=ker(f−Id) etG=kerfsont supplémentaires dansEetfest la projection surFparallèlement àG. Théorème : Soitf∈L(E). 2 Sif=IdalorsF=ker(f−Id)etG=ker(f+Id)sont supplémentaires dansEetfest la symétrie vectorielle par rapport àFet parallèlement àG.

4°) Applicationmultilinéaire Déf :application Une b:E×E→Fest dite bilinéaire ssi 1 2 (1)∀x∈E, l’applicationx֏b(x,x)est linéaire, 2 2 1 1 2 (2)∀x∈E, l’applicationx֏b(x,x)est linéaire. 1 1 2 1 2 Déf : SoitE,…,EetFdesK-espaces vectoriels. Une applicationm:E×⋯×E→Fest dite 1n1n ˆ ( , ,x, ,x)E E multilinéaire ssi :∀i∈ { 1,…,n } ,∀x… ˆ i … n ∈ ×⋯× i ×⋯×E,x֏f(x,…,x,…,x)est 1 1i1i n linéaire deEversF. i

5°) Algèbre a)définition Déf :appelle On K-algèbre tout quadruplet(E,+,×,.)formé d’un ensembleE, de deux lois de composition interne+,×:E×E→Eet d’une loi externe :. :K×E→Evérifiant : (1)(E,+,.)est unK-espace vectoriel, (2)(E,+,×)est un anneau, (3)∀λ∈K,∀x,y∈E,(λ.x)y=λ.(xy)=x(λ.y).

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Prop :SiE,…,Esont desK-algèbres alorsE×⋯×Emuni des lois produits est uneK-algèbre.3 1n1n Prop :SiEest uneK-algèbre etXun ensemble alorsF(X,E)muni des lois produit est uneK-algèbre. b)sous-algèbre Déf : On appelle sous-algèbre d’uneK-algèbreEtoute partieFdeEvérifiant : (1)1∈F, E (2)∀λ,µ∈K,∀x,y∈F,λx+µy∈F (3)∀x,y∈F,xy∈F. Théorème : Une sous-algèbre est uneK-algèbre pour les lois restreintes. c)morphisme d’algèbres Déf : Etant donné deuxK-algèbresEetF, on appelle morphisme d’algèbre deEversFtoute application f:E→Fvérifiant : (1)f(1 )=1, E F (2)∀λ,µ∈K,∀x,y∈E,f(λx+µy)=λf(x)+µf(y) (3)∀x,y∈F,f(xy)=f(x)f(y). On parle encore d’isomorphisme, endomorphisme et d’automorphisme d’algèbres.

II. Based’un espacevectoriel Idésigne un ensemble, éventuellement infini. Edésigne unK-espace vectoriel.

1°) Familleàsupportfini I Déf :note On El’ensemble des familles(a)d’éléments deEindexées surI. i i∈I I Prop :Eest unK-espace vectoriel. I Déf :famille Une (a)∈Eest dite à support fini ssi il n’existe qu’un nombre fini d’indicesi∈Itels que i i∈I (I) a≠0. On noteEl’ensemble de ces familles. i (I)I Prop :Eest un sous-espace vectoriel deE.

2°) Combinaison linéaire Déf : On appelle combinaison linéaire des vecteurs d’une famille finie(x)de vecteurs deEtout vecteur de i i∈I I Epouvant s’écrireλxavec(λ)∈K. ∑ i i i i∈I i∈I Plus généralement Déf : On appelle combinaison linéaire des vecteurs d’une famille infinie(x)de vecteurs deEtout vecteur i i∈I (I) deEpouvant s’écrireλxavec(λ)∈K. ∑ i i i i∈I i∈I   ∑ ∑ Prop :Sif∈L(E,F)alorsfλx=λf(x). i i i i    i∈I  i∈I Théorème : SiAest une partie deEalorsVectAest l’ensemble des combinaisons linéaires des familles d’éléments deA.

3°) Famillegénératrice Déf : famille Une (x)de vecteurs deEest dite génératrice ssi tout vecteur deEest combinaison linéaire i i∈I de cette famille. Prop :L’image d’une famille génératrice par une application linéaire surjective est une famille génératrice.

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4°) Famillelibre I ∑ Déf :famille finie Une (x)de vecteurs deEest dite libre ssi∀(λ)∈K,λx=0⇒ ∀i∈I,λ=0. i i∈iI i ∈i iI i i∈I Sinon la famille est dite liée et toute relation de la formeλx=0avec desλnon tous nuls est ∑ i i i i∈I appelée relation linéaire sur la famille(x). i i∈I Plus généralement (I) Déf :famille Une (x)de vecteurs deEest dite libre ssi pour toute(λ)∈Kon a l’implication : i i∈iI i ∈I λx=0⇒ ∀i∈I,λ=0. ∑ i i i i∈I Sinon la famille est dite liée. Prop :L’image d’une famille libre par une application linéaire injective est libre.

5°) Base Déf :  On appelle base deEtoute famille(x)de vecteurs deEà la fois libre et génératrice. i i∈I Théorème : (I) Si(e)est une base deEalors pour tout vecteurx∈Eil existe une unique famille(λ)∈Ktelle i i∈I i i∈I que :x=λx. ∑ i i i∈I Déf :les notations ci-dessus, la famille Avec (λ)est appelée famille des composantes (ou coordonnées) de i i∈I xdans la base(e). i i∈I (I) Prop :L’application deEversKqui àxassocie la famille de ces composantes dans(e)est un i i∈I isomorphisme deK-espace vectoriel. Théorème : Si(e)est une base duK-espace vectorielEet(f)une famille de vecteurs d’unK-espace i i∈iI i ∈I vectorielFalors il existe une unique application linéaireudeEversFvérifiantu(e)=fpour tout i i i∈I. Prop :Soitu∈L(E,F)et(e)une base deE. i i∈I uest injective⇔(u(e))est libre. i i∈I uest surjective⇔(u(e))est génératrice. i i∈I uest un isomorphisme⇔(u(e))est une base. i i∈I

6°) Exemple:Algèbredes fonctionspolynomialesen n variables ∗ Soitn∈ℕ. IciKdésigneℝouℂ. n n Déf : On appelle fonction monôme (unitaire) surKtoute application deKversKde la forme : α 1 α n (x,…,x)֏x…x. La sommeα+…+αest appelée degré de ce monôme 1n1n1n Prop :Le produit de deux fonctions monômes est une fonction monôme. n n Déf : On appelle fonction polynomiale surKtoute combinaison linéaire de fonction monôme surK. On n noteP(K)l’ensemble de ces fonctions. Théorème : n n P(K)est une sous-algèbre deF(K,K). α 1 αn n De plus la famille des fonctions monômes(x,…,x)֏x…xavec(α,…,α)∈ℕest une base de 1n1n1n n P(K). n Cor :description d’une fonction polynomiale sur La Kcomme somme de monôme est unique. n Déf : On appelle degré d’une fonction polynomialepnon nulle surKle plus haut degré des monômes intervenant dans l’écriture depavec un coefficient non nul. On le notedegpet convient que deg 0= −∞.

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