cours-geometrie-affine2

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Universit´e de Paris 7 CAPES Ecrit: 2001-20022.4 Sous espaces affines• D´efinition: (Sous espace affine) Soit E un espace affine, et V une partie de E. V est un sous→− →−~espace affine deE s’il existe un point a deE et un sous espace vectoriel V deE tel que V =a+V .→−L’action induite par la structure affine deE fait de V un espace affine de direction V . NB: a∈V• Propri´et´es ´el´ementaires: Soient V,W des sous espaces affines deE, et a,b∈E.→− →− →− −→ −→−→ −→(m∈a+ V ⇐⇒ am∈ V ); (m,n∈V ⇒mn∈ V ); (V ⊂W ⇒ V ⊂W)−→ −→−→ −→ −→ →− −→ −→ −→ −→(a+ V =b+ V ⇐⇒ ab∈ V ); (a+ V =b+W ⇐⇒ V =W et ab∈ V )• Proposition: Soit (V ) une famille de sous espaces affines de E. (I quelconque). Alors sii i∈Il’ensemble ∩ V est non vide, c’est un sous espace affine de E. Plus pr´ecis´ement, si a ∈ ∩ V ,i∈I i i∈I i→−alors∩ V =a+∩ Vi∈I i i∈I i•D´efinition: (Sousespaceengendr´eparunepartie)SoitAunepartienonvidedeE. L’intersectiondes sous espaces affines deE contenant A est appel´e sous espace affine deE engendr´e par A. On lenote [A]. C’est le plus petit (au sens de l’inclusion) sous espace affine deE contenant A.•Proposition: Soient A une partie deE, et a un ´el´ement de A, alors [A] =a+F ou` F est le sous−→~espace vectoriel deE engendr´e par{am|m∈A}.−−→ −−→Ex: Si A ={a ,...,a }, alors [A] =a +[a a ,...,a a ]0 n 0 0 1 0 n2.5 Rep`eres affines• Proposition: (Points affinement ind´ependants) Soient (a ,...,a ) i + 1 points de E. Il y a0 i´equivalence entre les propri´et´es suivantes:−−→ −→- (a a ,...,a a ) ...

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Extrait

Universit´edeParis7

2.4 Sous espaces affines

CAPES Ecrit: 2001-2002

•on:nitifie´D(Sous espace affine) SoitEun espace affine, etVune partie deE.Vest un sous − espace affine deEs’il existe un pointadeE cepaneaffid uosnpsesuteelrievactoecV e → d dic e re E ~ leq t t → ueV= B a+ − V V → . − L’action induite par la structure affine deEfait deVun es ionV :. Na∈ •rPneatrise:opri´et´es´el´emSoientV, Wdes sous espaces affines deE, eta, b∈ E. (m∈a+ − V → ⇐⇒a −→ m ∈ − V → ); (m, n∈V ⇒ − m → n∈V −→ ); (V⊂W ⇒ − V → ⊂ − W → ) − (a+V −→ =b+V⇐ → ⇒a −→ b∈V −→ ); (a+V −→ =b+ − W⇒ −→ ⇐V → = − W → eta −→ b∈V −→ ) •Proposition:Soit (V i ) i∈I une famille de sous espaces affines deE. (I siquelconque). Alors l’ensemble∩ i∈I V i est no → n vide, c’est un sous espace affine deE.Plusrpe´ic´smene,tisa∈ ∩ i∈I V i , − alors∩ i∈I V i =a+∩ i∈I V i •no:init´DfietioS)eitrapenuraoSsu(r´epgendceenespaAune partie non vide deE. L’intersection des sous espaces affines deEcontenantAl´peoueseapsteaacspseeedffinEpe´rdnegenraA. On le note [A(au sens de l’inclusion) sous espace affine de le plus petit ]. C’estEcontenantA. •Proposition:SoientAune partie deE, etadentme´eel´nuA, alors [A] =a+F`ouFest le sous espace vectoriel deE ~ egne´rdnarep{a −→ m|m∈A}. Ex:SiA={a 0 , . . . , a n }, alors [A] =a 0 + [a − 0 − a → 1 , . . . , a − 0 − a → n ]

2.5 Re ` affi peres nes

•Proposition:)Soiantspendnd´ene(tmenffiitneioP(astna 0 , . . . , a i )i+ 1 points deE y a. Il ´equivalenceentlespropri´ete´ssuivantes: re - (a − 0 − a → 1 , . . . , a 0 −→ a i peneni´dsadtns)tlon´einreaintme - dim[a 0 , . . . , a i ] =i Lorsquequ’ellessontr´ealis´ees,onditquelespointssontnitnpe´dffiaemenendants. •Proposition:SoientVetWdes SEA deEtels queV⊂W. AlorsV=W⇔dimV= dimW •Proposition:Soient (a 0 , . . . , a i )intmed´inenepntdaop1+stnienffiadseE, alors il existe un seul sous espace affine de dimensionideEcontenanta 0 , . . . , a i . •Corollaire:Par2tsdipoingnlinanotsinpor3nuessapse´uneuassectspstinteapti,edeorinuq plan et un seul. •Th´eor`eem:SiAest une partie d’un espace affineE, alorsAest un sous espace affine deEsi et seulement si tout barycentre de points deAest encore dansA. •:´Dfieinitno(Rep`ereaffine)SiEest un espace affine de dimensionn, on appelleffineaerp`reede Eun (n´dpetnnienemstffiapoin´edetituconselpu-)1+daens.nt •´eDitfin:noiiStriques)sbarycennodree´nooC(Eest un espace affine de dimensionn, alorsE n n admetunrepe`reaffine(a 0 , . . . , a n ), et (∀m∈ E,∃!(λ 0 , . . . , λ n )∈k n+1 , P λ i = 1 etm= P λ i .a i ). i=0i=0 (λ 0 , . . . , λ n ) sont leseuscoordonn´eesbarycentriqdemadsneler`peaere(ffina 0 , . . . , a n ) 2.6Comple´ments

•opriPre:´et´Sifest une application affine deEdansE 0 , alors l’image parfd’un SEA deEest un SEA deE 0 tl’image,epeuqrace´rorpifd’un SEA deE 0 est un SEA deElorsqu’elle n’est pas vide. SiV 0 est un SEA deE 0 , alorsf − − − 1 ( − V − 0 → ) = ( − f → ) −1 (V −→ 0 ). •Proposition:SiEetE 0 sont 2 sous espaces affines de dimensionn, et (a 0 , . . . , a n `pernu)edere E, et (a 0 0 , . . . , a 0 n redeer`p)uneE 0 , alors il existe une unique application affine deEdansE 0 telle que ∀i,1≤i≤n, f(a i ) =a i 0 .fest alors bijective. •Proposition:Sifetgnodts ( plicesap −→ ations affines deEdansE 0 , alors: (f=g)⇐⇒f= −→ get∃a∈ E, f(a) =g(a))

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2.7 Applications affines classiques •Translations:Cf 2.1 •Homotheties:Soientω∈ Eetλ∈k ∗ . L’application: E → E  Onest affine. m7→m 0 =ω+λ ω −→ . m l’appellehomothe´tiedecentreωet rapportλ. •Exercice:e’n0BN(nesupast´ethmohoitveceotirleelM)ontrerquelesousemesndelbeA(E) forme´deshomoth´etiesetdestranslationsestunsousgroupedeGA(E) •Proposition:Sif∈ A(E),λ∈k−{0,1}, alorsfeto´hteeitsnuhemotradeorppλsi et seulement s −→ est l ~ ifedllieore´htomoh’tceveiteL(E) de rapportλ. •ProjecV= − V → un sous espace affine deE, etXsuunl´ppmeneatridee − V → dans tions:Soita+ ~ E. Alors∀m∈ E,V∩(m+Xtniopnua`itdu´etres)m 0 . L’application E → E ´leepaepets m7→m 0 projection deEsurV`tnea`llamelearpX. C’estune application affine dont la direction n’est autre  ~ − que la projection vectorielle deEsurV → taell`enempalarX. ` •Proposition:Soitp∈ A(E). Sip◦p=palorspest une projection. •tn´ieAsffi:Soitλ∈k ∗ , etp∈ L(E) une projection d’imageVpalarle`lnemea`tX. L’application E → E steeel´peapde´tinffiatroppareλde baseVmele`antarape`llX. C’est −− m7→m 00 =p(m) +λ.p − (m) −→ m une transformation affine deEde direction: E ~ =V⊕ →− X→ E ~ u(o`x 0 , x) ∈ − V → ×X x 0 +x7→x 0 +λ.x − •´mteyS:riesSoitVun sous espace affine deEetXusnu´lppnemeriatedeV → dansE ~ . On notepla projection deEsurVa`tnemepell`alarX. L’application  EE → seate´epple m7→2.p(m)−m syme´trieparrapport`aVa`tneelemall`parXofmra tra` ´mysetteC.nsraetunsteeriet − V t → a el n l nffi ` d a e la e rene o m iE t ~ dontl’applicationline´aireassoci´eeestlasym´etrievectorielledeEpar rappo p a`X. •Proposition:Soits∈ A(E). Sis◦s=id E alorssetm´earie.ffinseutenys

Exercice I: Onconside`reunplanaffineEeneml´´eunu’tqdinO.tfdeA(E(et´epri´aprofiile´vre)∗) si (∀M∈ E, f − ( −−− ) − f − 2 ( −− M − → M −− f( −− M → )). M) = 1) Donner un exemple de transformation affine deEtnafiire´v(∗). 2) a) Montrer que siffitexopnirefiite´ve(aun∗), alorsfnffiaee´ti.eunst b)Ende´duiretouteslestransformationsaffinessatisfaisant(∗) r •Danslesexe e rc `neise´t( ices suivant → s,Eneigunse´dIR-espace affine de dimension 3 dont on a choisi un pere carO, − i → , −→ j , − k).

Exercice II: D´eterminerl’e´quationduplan 1) passant par le pointAedrooc(1´eesdonn,1,rseuctxuevleaela`lptra1)e − u → et −→ vde coor- donne´es(1,2,1) et (2,−1, `le`e .)0 → j − 2) passant par les pointsAetBedocroodnn´ees(0,−1,2) et (−1,2,3) et parall a

Exercice III: De´terminerunpointetunvecteurdirecteurdeladroite ( 2x x + +y 3 − y 2 + z z + −2=0 0=1

Exercice IV: Onconside`relespointsA(1,2,−1),B(3,2,0),C(2,1,−1),D(1,0,4),E(−1,1,re´eet)m1rDn.i un vecteur directeur de la droite (ABC)∩(ADE)

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