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Universit´e de Paris 7 CAPES Ecrit: 2001-20022.4 Sous espaces affines• D´efinition: (Sous espace affine) Soit E un espace affine, et V une partie de E. V est un sous→− →−~espace affine deE s’il existe un point a deE et un sous espace vectoriel V deE tel que V =a+V .→−L’action induite par la structure affine deE fait de V un espace affine de direction V . NB: a∈V• Propri´et´es ´el´ementaires: Soient V,W des sous espaces affines deE, et a,b∈E.→− →− →− −→ −→−→ −→(m∈a+ V ⇐⇒ am∈ V ); (m,n∈V ⇒mn∈ V ); (V ⊂W ⇒ V ⊂W)−→ −→−→ −→ −→ →− −→ −→ −→ −→(a+ V =b+ V ⇐⇒ ab∈ V ); (a+ V =b+W ⇐⇒ V =W et ab∈ V )• Proposition: Soit (V ) une famille de sous espaces affines de E. (I quelconque). Alors sii i∈Il’ensemble ∩ V est non vide, c’est un sous espace affine de E. Plus pr´ecis´ement, si a ∈ ∩ V ,i∈I i i∈I i→−alors∩ V =a+∩ Vi∈I i i∈I i•D´efinition: (Sousespaceengendr´eparunepartie)SoitAunepartienonvidedeE. L’intersectiondes sous espaces affines deE contenant A est appel´e sous espace affine deE engendr´e par A. On lenote [A]. C’est le plus petit (au sens de l’inclusion) sous espace affine deE contenant A.•Proposition: Soient A une partie deE, et a un ´el´ement de A, alors [A] =a+F ou` F est le sous−→~espace vectoriel deE engendr´e par{am|m∈A}.−−→ −−→Ex: Si A ={a ,...,a }, alors [A] =a +[a a ,...,a a ]0 n 0 0 1 0 n2.5 Rep`eres affines• Proposition: (Points affinement ind´ependants) Soient (a ,...,a ) i + 1 points de E. Il y a0 i´equivalence entre les propri´et´es suivantes:−−→ −→- (a a ,...,a a ) ...

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Universit´edeParis7
2.4 Sous espaces affines
CAPES Ecrit: 2001-2002
on:nitie´D(Sous espace affine) SoitEun espace affine, etVune partie deE.Vest un sous espace affine deEs’il existe un pointadeEcepaneaduosnpsesuteelrievactoecVeddicereE~leqttueV=Ba+VV. L’action induite par la structure affine deEfait deVun es ionV :. NarPneatrise:opri´et´es´el´emSoientV, Wdes sous espaces affines deE, eta, b∈ E. (ma+Va−→m∈ −V); (m, nV⇒ −mnV−→); (VW⇒ −V→ ⊂ −W) (a+V−→=b+Va−→bV−→); (a+V−→=b+WV=Weta−→bV−→) Proposition:Soit (Vi)iIune famille de sous espaces affines deE. (I siquelconque). Alors l’ensembleiIViest non vide, c’est un sous espace affine deE.Plusrpe´ic´smene,tisa∈ ∩iIVi, alorsiIVi=a+iIVi no:init´DetioS)eitrapenuraoSsu(r´epgendceenespaAune partie non vide deE. L’intersection des sous espaces affines deEcontenantAl´peoueseapsteaacspseeednEpe´rdnegenraA. On le note [A(au sens de l’inclusion) sous espace affine de le plus petit ]. C’estEcontenantA. Proposition:SoientAune partie deE, etadentme´eel´nuA, alors [A] =a+F`ouFest le sous espace vectoriel deE~egne´rdnarep{a−→m|mA}. Ex:SiA={a0, . . . , an}, alors [A] =a0+ [a0a1, . . . , a0an]
2.5 Re ` affi peres nes
Proposition:)Soiantspendnd´ene(tmenitneioP(astna0, . . . , ai)i+ 1 points deE y a. Il ´equivalenceentlespropri´ete´ssuivantes: re - (a0a1, . . . , a0aipeneni´dsadtns)tlon´einreaintme - dim[a0, . . . , ai] =i Lorsquequellessontr´ealis´ees,onditquelespointssontnitnpe´daemenendants. Proposition:SoientVetWdes SEA deEtels queVW. AlorsV=WdimV= dimW Proposition:Soient (a0, . . . , ai)intmed´inenepntdaop1+stnienadseE, alors il existe un seul sous espace affine de dimensionideEcontenanta0, . . . , ai. Corollaire:Par2tsdipoingnlinanotsinpor3nuessapse´uneuassectspstinteapti,edeorinuq plan et un seul. Th´eor`eem:SiAest une partie d’un espace affineE, alorsAest un sous espace affine deEsi et seulement si tout barycentre de points deAest encore dansA. :´Deinitno(Rep`ereane)SiEest un espace affine de dimensionn, on appelleneaerp`reede Eun (n´dpetnnienemstapoin´edetituconselpu-)1+daens.nt ´eDitn:noiiStriques)sbarycennodree´nooC(Eest un espace affine de dimensionn, alorsE n n admetunrepe`reane(a0, . . . , an), et (m∈ E,!(λ0, . . . , λn)kn+1,Pλi= 1 etm=Pλi.ai). i=0i=0 (λ0, . . . , λn) sont leseuscoordonn´eesbarycentriqdemadsneler`peaere(na0, . . . , an) 2.6Comple´ments
opriPre:´et´Sifest une application affine deEdansE0, alors l’image parfd’un SEA deEest un SEA deE0tlimage,epeuqrace´rorpifd’un SEA deE0est un SEA deElorsqu’elle n’est pas vide. SiV0est un SEA deE0, alorsf1(V0) = (f)1(V−→0). Proposition:SiEetE0sont 2 sous espaces affines de dimensionn, et (a0, . . . , an`pernu)edere E, et (a00, . . . , a0nredeer`p)uneE0, alors il existe une unique application affine deEdansE0telle que i,1in, f(ai) =ai0.fest alors bijective. Proposition:Sifetgnodts(plicesap−→ations affines deEdansE0, alors: (f=g)⇐⇒f=−→geta∈ E, f(a) =g(a))
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2.7 Applications affines classiques Translations:Cf 2.1 Homotheties:Soientω∈ Eetλk. L’application:E → E Onest affine. m7→m0=ω+λ ω−→ . m lappellehomothe´tiedecentreωet rapportλ. Exercice:en0BN(nesupast´ethmohoitveceotirleelM)ontrerquelesousemesndelbeA(E) forme´deshomoth´etiesetdestranslationsestunsousgroupedeGA(E) Proposition:Sif∈ A(E),λk−{0,1}, alorsfeto´hteeitsnuhemotradeorppλsi et seulement s−→est l~ ifedllieore´htomohtceveiteL(E) de rapportλ. ProjecV=Vun sous espace affine deE, etXsuunl´ppmeneatrideeVdans tions:Soita+ ~ E. Alorsm∈ E,V(m+Xtniopnua`itdu´etres)m0. L’applicationE → E´leepaepets m7→m0 projection deEsurV`tnea`llamelearpX. C’estune application affine dont la direction n’est autre ~que la projection vectorielle deEsurVtaell`enempalarX. ` Proposition:Soitp∈ A(E). Sipp=palorspest une projection. tn´ieAs:Soitλk, etp∈ L(E) une projection d’imageVpalarle`lnemea`tX. L’application E → Esteeel´peapde´tinatroppareλde baseVmele`antarape`llX. C’est −− m7→m00=p(m) +λ.p(m)−→m une transformation affine deEde direction:E~=VX→ E~u(o`x0, x)∈ −V×X x0+x7→x0+λ.x ´mteyS:riesSoitVun sous espace affine deEetXusnu´lppnemeriatedeVdansE~. On notepla projection deEsurVa`tnemepell`alarX. L’application EE →seate´epple m7→2.p(m)m syme´trieparrapport`aVa`tneelemall`parXofmratra`´mysetteC.nsraetunsteerietVtaelnln`daelaereneomiEt ~ dontlapplicationline´aireassoci´eeestlasym´etrievectorielledeEpar rappo p a`X. Proposition:Soits∈ A(E). Siss=idEalorssetm´earie.nseutenys
Exercice I: Onconside`reunplananeEeneml´´eunutqdinO.tfdeA(E(et´epri´aproile´vre)) si (M∈ E, f(−−−)f2(−−MM−−f(−−M)). M) = 1) Donner un exemple de transformation affine deEtnaire´v(). 2) a) Montrer que siftexopnireite´ve(aun), alorsfnaee´ti.eunst b)Ende´duiretouteslestransformationsanessatisfaisant() rDanslesexeerc`neise´t(ices suivants,Eneigunse´dIR-espace affine de dimension 3 dont on a choisi un pere carO,i,−→j ,k).
Exercice II: D´eterminerle´quationduplan 1) passant par le pointAedrooc(1´eesdonn,1,rseuctxuevleaela`lptra1)euet−→vde coor-donne´es(1,2,1) et (2,1,`le`e.)0j 2) passant par les pointsAetBedocroodnn´ees(0,1,2) et (1,2,3) et parall a
Exercice III: De´terminerunpointetunvecteurdirecteurdeladroite(2xx++y3y2+zz+2=00=1
Exercice IV: Onconside`relespointsA(1,2,1),B(3,2,0),C(2,1,1),D(1,0,4),E(1,1,re´eet)m1rDn.i un vecteur directeur de la droite (ABC)(ADE)
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