Universit´e de Paris 7 CAPES Ecrit: 2001-20022.4 Sous espaces affines• D´efinition: (Sous espace affine) Soit E un espace affine, et V une partie de E. V est un sous→− →−~espace affine deE s’il existe un point a deE et un sous espace vectoriel V deE tel que V =a+V .→−L’action induite par la structure affine deE fait de V un espace affine de direction V . NB: a∈V• Propri´et´es ´el´ementaires: Soient V,W des sous espaces affines deE, et a,b∈E.→− →− →− −→ −→−→ −→(m∈a+ V ⇐⇒ am∈ V ); (m,n∈V ⇒mn∈ V ); (V ⊂W ⇒ V ⊂W)−→ −→−→ −→ −→ →− −→ −→ −→ −→(a+ V =b+ V ⇐⇒ ab∈ V ); (a+ V =b+W ⇐⇒ V =W et ab∈ V )• Proposition: Soit (V ) une famille de sous espaces affines de E. (I quelconque). Alors sii i∈Il’ensemble ∩ V est non vide, c’est un sous espace affine de E. Plus pr´ecis´ement, si a ∈ ∩ V ,i∈I i i∈I i→−alors∩ V =a+∩ Vi∈I i i∈I i•D´efinition: (Sousespaceengendr´eparunepartie)SoitAunepartienonvidedeE. L’intersectiondes sous espaces affines deE contenant A est appel´e sous espace affine deE engendr´e par A. On lenote [A]. C’est le plus petit (au sens de l’inclusion) sous espace affine deE contenant A.•Proposition: Soient A une partie deE, et a un ´el´ement de A, alors [A] =a+F ou` F est le sous−→~espace vectoriel deE engendr´e par{am|m∈A}.−−→ −−→Ex: Si A ={a ,...,a }, alors [A] =a +[a a ,...,a a ]0 n 0 0 1 0 n2.5 Rep`eres affines• Proposition: (Points affinement ind´ependants) Soient (a ,...,a ) i + 1 points de E. Il y a0 i´equivalence entre les propri´et´es suivantes:−−→ −→- (a a ,...,a a ) ...
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