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´ ´Notes du cours “Integration et Probabilites”Licence de Mathematiques,´ ENS de CachanAlain Trouve´11 janvier 2010Chapitre1Espacesmesures´1.1 Riemannintegrabilit´ e,´ integrale´ deRiemann– OnseplacesurunintervallecompactI = [a,b]etonnoteEl’ensembledesfonctionsenescalierssurI.Onrappellequeg∈Esiilexisteunesuitefiniecroissantex =a<···

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´ ´Notes du cours “Integration et Probabilites”
Licence de Mathematiques,´ ENS de Cachan
Alain Trouve´
11 janvier 2010Chapitre1
Espacesmesures´
1.1 Riemannintegrabilit´ e,´ integrale´ deRiemann
– OnseplacesurunintervallecompactI = [a,b]etonnoteEl’ensembledesfonctionsenescaliers
surI.Onrappellequeg∈Esiilexisteunesuitefiniecroissantex =a<···<x =bappelee´0 n
1subdivision deI telleg prend une valeur constante (notee´ icig ) sur chaque intervalle ]x ,x [.i i i+1
– Pour toutg∈E, on note
n−1
X.
I(g) = g (x −x )i i+1 i
i=0
(qui ne depend´ pas de la subdivision choisie...).
Pour toute fonctionf surI, on definit´
∗R (f) = inf I(g), R (f) = sup I(g)∗
g≥f, g∈E g≤f, g∈E
respectivement l’integrale´ par valeur superieure´ et celle par valeur inferieure.´
∗Definition1. UnefonctionfsurIestditeRiemannintegrable´ sifestbornee´ etR (f) =R (f).Onnote∗
R
alorsR(f) la valeur commune ou` selon la notation plus classique f.
I
L’integrale´ deRiemannestl’integrale´ quevousconnaissezenentranta` l’ENSbienquelatheorie´ de
l’integration´ vu en classes preparatoires´ soit construite sur la classe plus restreinte des fonctions conti
nues par morceaux surI ou disons sur les fonctions regl´ ees´ (limite uniforme de fonctions en escaliers).
Ladefinition´ gen´ erale´ defonctionRiemannintegrable´ n’estellepasauprogrammemaisc’estengrosla
classe la plus grande sur laquelle on peut essayer d’etendre´ le concept d’integrale´ au sens de Riemann.
L’inter´ etˆ du concept de fonction Riemann integrable´ est la possibilite´ de calculer les integrales´ comme
limite de ... sommes de Riemann c’est a` dire en approximant l’integrale´ par la sommation des aires
algebriques´ de petites tranches rectangulaires verticales :
Theor´ eme` 1. Sif est une fonction Riemann integr´ able surI, alors pour tout > 0, il existeδ > 0 tel
que pour toute subdivision (x ) deI de pas inferieur´ a` δ on ai 0≤i≤n
Z n−1
X
| f − f(ξ )(x −x )|≤i i+1 i
I i=0
lorsqueξ ∈ [x ,x ] pour tout0≤i<n.i i i+1
1On appellera pas de la subdivision la valeur maximale desx −xi+1 i
1Demonstr´ ation. Pour tout > 0, il existe deux fonctions en escaliers g ≤ f ≤ h et une subdivision
(y ) subordonnee´ a` g et h telle que |I(h) − I(f)| ≤ . Notons δ = min (y − y ) etj 0≤j≤q 0 0≤j<q j+1 j
M = sup |f| et considerons´ 0<δ<δ . On verifie´ facilement qu’il existe un entierN (on peut prendre0I
par exemple N = 2q) tel que pour toute subdivision (x ) de pas au plus δ, il existe au plus Ni 0≤i<n
intervalles [x ,x ] qui contiennent l’un des pointsy . Par suite comme pour [x ,x ]⊂]y ,y [ oni i+1 j i i+1 j j+1
ag ≤f(ξ )≤h etquesi [x ,x ]est“a` cheval”surl’undesy onpeutmajorerf(ξ )(x −x )parj i j i i+1 j i i+1 i
Mδ on a :
Z n−1
X
| f − f(ξ )(x −x )|≤ |I(h) −I(g)| +NδM.i i+1 i
I
i=0
En choisissantδ≤ /NM on obtient une majoration par2 .
A priori, par mal de fonctions sur I sont Riemann integrables´ avec cependant des exceptions no
tables :
Exercice1. 1. Verifier´ quesifestcontinueoumonotonesurIalorsfestRiemannintegr´ ablesurI.
2. Verifier´ quef :I→R definie´ parf(x) =1 six∈Q et0 sinon n’est pas integr´ able
Quelestdoncl’ensembledesfonctionsRiemannintegrables´ ?Pourlescaracteriser´ ilnousfautparler
d’ensemble negligeable´ (dont nous verrons une defintion´ plus gen´ erale´ plus loin) :
Definition2. SoitA⊂R.OnditqueAestnegligeable´ sipourtout>0,ilexisteunesuited’intervalle
P
(I ) telleA⊂∪ I et ‘(I )≤ ou` ‘(I ) est la longueur de l’intervalleI .i i≥0 i≥0 i i i ii≥0
Unecaracterisation´ frappantedesfonctionsRiemannintegrables´ estdonnee´ parletheor´ eme` suivant
dont la preuve sera proposee´ en exercice :
Theor´ eme` 2. Une fonctionf est Riemann integr´ able surI ssi l’ensemble de ses points de discontinuite´
est un ensemble neglig´ eable.
Le principal probleme` de la notion de Riemann integrabilit´ e´ est qu’elle n’est pas stable par limite
simple memeˆ en se restreignant aux fonctions a` valeurs dans un intervalle compact fixe´ (afin de gerer´
les problemes` de bornitudes) comme on le verifie´ facilement (cf ex1). De plus, certains theor´ emes` qui
ne concernent que des fonctions continues sont tres` compliques´ a` montrer. Il suffit pour s’en persuader
d’essayerdemontrera` mainsnuesquesi(f )estunefamilledefonctionscontinuessurI,uniformementn
R
bornees´ parMetquitendentsimplementvers0alors f →0. Pourregler´ ceprobleme,` ilfautpouvoirnI
calculer l’integrale´ de fonctions plus irreguli´ eres` et changer de proced´ e´ d’integration´ en integrant´ par
tranches rectangulaires horizontales dont la base peut etreˆ alors des ensembles plus complexes. Bref il
faut changer de theorie´ et introduire la notion de mesure et de fonctions mesurables.
`1.2 Tribus,σ alg ebres
Definition3(Tribu). SoitEunensemble.OnappelletribusurEtoutensembleAdepartiesdeEtelque
1. E∈A
c2. siA∈A alorsA ∈A
3. Si(A ) estunefamilled’el´ ements´ deA,alors∪ A ∈A(stabilite´paruniondenombrable)´n nn∈N n≥0
Le couple (E,A) est alors appele´ espace mesurable.
Remarque1. 1. On dit aussi de fac¸on equivalente´ queA est uneσ alg ebr` e.
2. Comme∅∈A, (3) contient la stabilite´ par union finie.
26
3. Si au lieu de 3, on a seulement la stabilite´ par union finie, on dit queA est une algebre` .
Exemple1. – P(E) est une tribu.
c– {A⊂E |A ouA est au plus den. } est une tribu.
Proposition1. Si (A ) est une famille de tribus deE alors∩ A est une tribu.i i∈I i∈I i
Demonstr´ ation. en exercice.
Corollaire 1. Soit C ⊂ P(E). Il existe une unique tribu contenant C et qui est la plus petite tribu
contenantC. On la noteσ(C) et on l’appelle la tribu engendree´ parC.
Demonstr´ ation. On construitσ(C) comme l’intersection de toutes les tribus contenantC. On note qu’il
en existe au moins une qui estP(E).
Definition4(Tribuborelienne)´ . SoitEunespacetopologiqueetB(E)latribuengendree´ parlesouverts.
B(E) est appele´ tribu borelienne´ et les el´ ements´ deB(E) sont appeles´ boreliens.´
Remarque 2. B(E) est gros mais gen´ er´ alement on a B(E) = P(E). On montrera qu’en utilisant
l’axiome du choix, on peut construire un ensemble non mesurable deR.
Exercice2. 1. Verifier que B(R) = σ({]a,b[ | a < b ∈ R }) = σ({] −∞,a] | a ∈ R }) =´
σ({] −∞,a] |a∈Q }), etc, etc.
2. SiR =R∪{−∞,+∞} est muni de la topologie engendree´ par la famille d’intervalles [−∞,a[,
]a,b[,]b,+∞]pourtousa,b∈R,montrerqueB(R) =σ({[−∞,a[|a∈R }) =σ({[−∞,a[|a∈
Q }) =σ({[−∞,a] |a∈Q }) (etc, etc)..
.
Definition5 (Tribu trace). Soit (E,A) un espace mesurable etB⊂ E. On verifie´ facilement queA =B
´
{A∩B |A∈A } est une tribu surB appelee tribu trace deA surB ou tribu induite parA surB.
Exercice3. 1. Montrer que siA = σ(C) etB ⊂ E, alors la tribu traceA deA surB est la tribuB
.
engendree´ dansB par la traceC = {C∩B |C∈C} deC surB que l’on peut noterσ (C ). OnB B B
a doncσ(C) =σ (C ).B B B
2. Deduir´ e queB(R) est la tribu induite surR parB(R).
Definition6(Tribuproduit). Soient (E ,A )et (E ,A )2espacesmesurables.Onappelletribuproduit1 1 2 2
la tribu surE ×E , notee´ A ⊗A et definie´ par1 2 1 2
A ⊗A =σ{A ×A |A ∈A etA ∈A }1 2 1 2 1 1 2 2
1.3 Mesurespositives
Soit (E,A) un espace mesurable.
Definition7(Mesure). Onappellemesurepositivesur (E,A)toutefonctionμ :A→ [0,+∞]telleque
1. μ(∅) =0
2. Si (A ) est une famille de mesurables disjoints alorsn n∈N
[ X
μ( A ) = μ(A ). (σ additivit e)´n n
n≥0 n≥0
Remarque3. Le point (2) contient l’additivite´ sur les unions finies.
3Proposition2. Soitμ une mesure positive sur (E,A). Alors
1. SiA⊂B sont deux mesurables, on aμ(A)≤μ(B).
2. Si (A ) est une suite croissante de mesurable, alorsn n∈N
[
μ( A ) = lim ↑μ(A ).n n
n→∞
n≥0
On note evidemment´ que lesμ(A ) sont croissants.n
3. Si (A ) est une suite decr´ oissante de mesurables telle queμ(A )<∞, alorsn n∈N 0
\
μ( A ) = lim ↓μ(A ).n n
n→∞
n≥0
4. Si (A ) est une suite quelconque de mesurables, alorsn n∈N
[ X
μ( A )≤ μ(A ) (σ sous additivit e)´n n
n≥0 n≥0
Remarque4. (3)n’estpasvraiesionenleve` laconditionμ(A )<∞:ilsuffitdeconsider´ erlamesure0
de Lebesgue et la famille ([n,+∞[)n≥0
Demonstr´ ation. 1. SiA⊂B,enecri´ vantB =A∪(B\A),onaparadditivite´μ(B) =μ(A)+μ(B\
A).
2. PosonsB = A etB = A \A pourn≥ 1. On a alors∪ B =∪ A et comme lan n n n0 0 n−1 n≥0 n≥0
famille des (B ) est une famille disjointe, on a parσ aditivit e´n
n
X X
μ(∪ A ) = μ(B ) = lim μ(B ) = lim μ(A )n≥0 n n k n
n→∞ n→∞
n≥0 k=0
˜ ˜ ˜3. PosonsA =A \A .Onaalorsque(A ) estunefamillecroissantepourlaquelle∪ A =n n n n0 n≥0 n≥0
A \∩ A . D’apres` (2), on a μ(A \∩ A ) = limμ(A \A ). Or μ(A \∩ A ) =0 n≥0 n 0 n≥0 n 0 n 0 n≥0 n
μ(A ) −μ(∩ A ) et limμ(A \A ) = μ(A ) − limμ(A ). Comme μ(A ) < ∞, on nen n n0 n≥0 0 0 0
travaille que sur des quantites´ finies, et l’on deduit´ le resultat.´
4. Le dernier point est laisse´ en exercice.
Exemple2. – (Masse de Dirac) Soitx∈ E etδ :A→ [0,+∞] tel queδ (A) = 1 six∈ A et0x x
sinon.δ est appelee masse de Dirac enx.´x
– (Mesure de comptage)μ(A) = |A| (cardinal deA) definie surP(E).
–edeLebesgue)Enanticipantsurlecoursa` venir,onappellemesuredeLebesgue,l’unique
mesure positive definie´ sur les boreliens´ deR telle queλ(]a,b[) = b −a pour tousa < b∈R
(la partie difficile est l’existence de cette mesure).
Definition8. Soitμ une mesure sur (E,A). On dit que
– μ est finie siμ(E)<∞
– μ est une mesure de probabilite´ siμ(E) =1.
– μ est σ finie si il existe une suite croissante (A ) de mesurables telle que E = ∪ A etn nn∈N n≥0
μ(A )<∞ pour toutn≥0.n
41.4 Fonctionsmesurables
Definition 9 (Fonctions mesurables). Soient (E,A) et (F,B) deux espaces mesurables. On dit que f :
E → F est mesurable (sous entendu pour les tribus respectives A etB sur les ensembles de depart´ et
−1 −1´ ´d’arrivee) si pour toutB∈B on af (B)∈A ouf (B) = {x∈E|f(x)∈B}.
SiE etF sont topologiques munis de leur tribu borelienne´ i.e.A =B(E) etB =B(F), alors on dit
quef est borelienne.
Proposition3. 1. Sif :E→F etg :F→G sont mesurables alorsg◦f l’est.
−12. SiB = σ(C) etf : E→ F, alorsf est mesurable de (E,A) dans (F,B) sif (C) ∈ A pour tout
C∈C.
Demonstr´ ation. 1. exo.
2. Lafac¸ondeproceder´ iciesttypiquedebeaucoupdedemonstr´ ationsenintegr´ ation.SiM = {B∈
−1B | f (B) ∈ A}, on verifie´ queM est une tribu qui contientC (le faire). Elle contient donc la
plus petite tribu contenantC c’est a dire` σ(C) =B.
Corollaire2. SoientEetFdeuxespacestopologiques.Sif :E→Festcontinue,alorsfestborelienne.
−1Demonstr´ ation. soitT l’ensemble des ouverts de F. Pour tout U ∈ T , f (U) est un ouvert, donc un
borelien´ deE. Par suite, commeB(F) =σ(T ) la proposition donne le resultat.´
Definition 10. Soient E un ensemble, (F ,B ) une famille d’espaces mesurables et pour tout i ∈ I,i i i∈I
une fonctionf : E→ F . On noteσ(f ,i∈ I) la plus petite tribu surE qui rend toutes les fonctionsfi i i i
mesurables.
Q
Exercice 4. SoitI un ensemble fini. SiE = F etp : E→ F est la projection canonique surFi i i ii∈I
(i.e.p ((x ) ) =x ) alorsj i i∈I j
σ(p ,i∈I) =⊗ B .i i∈I i
Dans le cas ou` I est quelconque, on peut prendre l’egalite´ prec´ edente´ comme la definition´ d’un produit
tensoriel quelconque de tribus.
2Exercice5. Montrer queB(R ) n’est rien d’autre queB(R)⊗B(R)
Proposition4. 1. Soient f : (E,A) → (F ,B ) et f : (E,A) → (F ,B ) deux fonctions mesu 1 1 1 2 1 2
rables. Alors h : E → F ×F definie´ par h(x) = (f (x),f (x)) est mesurable pour la tribu1 2 1 2
produitB ⊗B sur l’espace d’arrivee´ .1 2
+ −2. Sif ,f : (E,A)→ (R,B(R)) sont mesurables alorsf +f ,f f ,f ∨f ,f ∧f ,f ,f sont1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
mesurables.
3. Si pour toutn≥0,f : (E,A)→ (R,B(R) sont mesurables, alors inf f , sup f , limf ,n n≥0 n n nn≥0
limf sont mesurables dans (R,B(R)).n
Demonstr´ ation. 1. CommeB ⊗B = σ(B ×B ), il suffit de verifier´ d’apres` la proposition 3 (2)1 2 1 2
−1queh (B ×B )∈A pour tous (B ,B )∈B ×B . Or1 2 1 2 1 2
−1 −1 −1h (B ×B ) =f (B )∩f (B )1 2 1 21 2
etA est stable par intersections denombrable.´
22. On considerant´ h comme prec´ edemment,´ puis g : R → R definie´ par g(x,y) = x +y alors
2 2´f +f = g◦h. Org est continue, donc borelienne i.e. mesurable pour la tribuB(R ) surR et1 2
2B(R)surR.CommeB(R ) =B(R)⊗B(R)(cfexo),ondeduit´ delaproposition3(1)quef +f1 2
est mesurable. On continue de la memeˆ fac¸on pour le produitf f , etc.1 2
5−1 −13. Soit g = inff . On a pour tout a ∈ R, g ([a,∞]) = ∩ f ([a,∞]). Comme B(R) =n n≥0 n
σ({ [a,+∞]|a∈R},ondeduit´ delaproposition3(2)quegestmesurable.Dememeˆ sup fnn≥0
estmesurable.Commeliminf f = sup inf f ondeduit´ queliminff estmesurable.n→∞ n k≥n k nn≥0
Remarque5. Si (f ) converge simplement versf : (E,A)→ (R,B(R)), alorsf est mesurable.n n≥0
Exercice 6. Si (f ) est une suite de fonctions mesurables de (E,A) → (R,B(R)) alors { x ∈n n∈N
E | lim f (x) existe } est un ensemble mesurable.n≥0 n
Definition 11 (Mesure image). Soient (E,A) et (F,B) deux ensembles mesurables. Soit f : E → F
−1mesurableetμunemesuresur (E,A).Onappellemesureimagedeμparfnotee´ f(μ)ouencoreμ◦f ,
−1la mesureν sur (F,B) definie´ parν(B) =μ(f (B)) pour toutB∈B.
1.5 Theor´ eme` deDynkin
Definition12 (λ syst eme,` π syst eme)` . SoitE un ensemble.
1. On appelleπ syst eme` surE toute familleC de partie deE qui est stable par intersection finie.
2. On appelleλ syst eme` surE toute familleΛ de sous ensembles de E telle que
(a) E∈Λ
(b) SiA∈Λ etB∈Λ avecA⊂B alorsB\A∈Λ.
(c) Si (A ) est une suite croissante d’el´ ements´ de Λ (i.e. A ⊂ A pour tout n ≥ 0)n n∈N n n+1
alors∪ A ∈Λn≥0 n
Remarque6. – SiA est une tribu, alorsA est unλ syst eme` .
– Par contre la recipr´ oque est fausse car on a seulement la stabilite´ par union ou intersection
denombrablecroissante.Pourtant,laσ alg ebr` en’estpassiloincarilsuffitdemontrerlastabilite´
par intersection finie (ou union finie).
– Uneinterquelconquedeλ syst emes` surEestunλ syst eme` surE.Parsuiteonpeutparler
deλ syst eme` engendre´ par une famille de parties.
Theor´ eme` 3 (Dynkin). SiC est unπ syst eme` surE alorsΛ(C) =σ(C).
Demonstr´ ation. Commeσ(C) est unλ syst eme,` on aΛ(C)⊂σ(C).
Montronsσ(C) ⊂ Λ(C). Pour ce, il suffit de montrer queΛ(C) est une tribu et donc (cf remarque)
queΛ(C) est stable par intersection finie.
SoitC∈Λ(C) etΛ = {A∈Λ(C) |A∩C∈Λ(C) }. Verifions´ queΛ est unλ syst eme` :C C
1. E∈Λ carE∩C =C∈Λ(C)C
2. SiA⊂B∈Λ ,alors (B\A)∩C = (B∩C)\(A∩C).Commeparhypothese,` B∩CetA∩CC
sont dansΛ(C), (B∩C)\ (A∩C)∈Λ(C) d’apres` le point (2) de la definition´ d’unλ syst eme.`
3. Si (A ) est une suite croissante d’el´ ements´ de Λ , alors (∪ A )∩C = ∪ (A ∩C)n n∈N C n≥0 n n≥0 n
et (A ∩C) est une suite croissante d’el´ ements´ deΛ(C). C’est donc (point 3) un el´ ement´ den n≥0
Λ(C).
Par suite si C ∈ C, on deduit queC ⊂ Λ et donc Λ(C) ⊂ Λ ⊂ Λ(C) i.e. Λ(C) = Λ . On deduit´C C C
en particulier que pour tout B ∈ Λ(C) et C ∈ C, B∩C ∈ Λ(C). C’est a dire` que C ⊂ Λ pour toutB
B∈Λ(C). CommeΛ est unλ syst eme,` on deduit´ Λ =Λ(C).B B
Corollaire 3 (Unicite´ de mesures). Soient μ et ν deux mesures sur (E,A) qui co¨ıncident sur un π-
systeme` C tel queA =σ(C). Alors
61. siμ(E) =ν(E)<∞ alorsμ =ν
2. Si il existe une suite croissante (A ) d’el´ ements´ deC telle que∪ A = E et μ(A ) =n n∈N n≥0 n n
ν(A )<∞ alorsμ =ν.n
Demonstr´ ation. 1. SiΛ = {A ∈ A |μ(A) = ν(A) } alors on montre queΛ est unλ syst eme` qui
contientC et donc par le theor´ eme` de Dynkin,Λ =σ(C) =A. En effet,
– E∈Λ carμ(E) =ν(E)<∞.
– DeplussiA⊂B∈Λ,alorsμ(B\A) =μ(B)−μ(A) =ν(B)−ν(A) =ν(B\A)(noterque
la premiere` et la derniere` eg´ alite´ n’a de sens que parce queμ(A) <∞ etν(A) <∞ puisque
les deux mesures sont finies).
– Si (A ) est une suite croissante d’el´ ements´ deΛ, alorsμ(∪ A ) = lim μ(A ) =n n∈N n≥0 n n→∞ n
lim ν(A ) =ν(∪ A )n→∞ n n≥0 n
2. En considerant´ pour tout n ≥ 0 la tribu traceA deA sur A , on a que μ et ν co¨ıncident surn n
A : il suffit de remarquer que siC = { C∩A | C ∈ C} est la trace deC sur A , alorsCn n n n n
est unπ syst eme` tel queA = σ(C ) et appliquer le point (1). Par suite, pour toutA∈A, on an n
μ(A) = lim μ(A∩A ) = lim ν(A∩A ) =ν(A).n→∞ n n→∞ n
71
Chapitre2
Integration´ parrapporta` unemesure
2.1 Integration´ parrapporta` unemesure
Henri Leon´ Lebesgue
“Sur l’integr´ ation des fonctions discontinues”, Annales
´Scientifiques de l’E.N.S., 1910.
L’idee´ centraledel’integration´ deLebesgueestd’integrer´ lesfonctionspar tranches.Soit (E,A)un
espace mesure.´
Definition13 (Fonctions etag´ ees)´ . 1. Onappellefonctioneta´ gee´ toutefonctionmesurablef : (E,A)→
(R,B(R)) ne prenant qu’un nombre fini de valeurs. On noteE l’ensemble des fonctions etag´ ees´
+etE les fonctions etag´ ees´ positives.
Pn
2. Pour toutf∈E,f peut s’ecrire´ comme une somme finief = α ou` (α ,A )∈R×Ai A i ii=1 i
pour tout1≤ i≤ n et les ensembles (A ) sont disjoints. Sif≥ 0, on appelle integr´ ale dei 1≤i≤n
R
f par rapport a` μ, notee´ μ(f) ou fdμ :
Z n
X
fdμ = α μ(A )i i
i=1
avec la convention0×∞ =∞×0 =0.
81
6
1
1
1
Remarque7. On dit parfois queE est l’espace des fonctions simples.
P Pn m
Remarque 8. Si f = α = β correspond a` deux decompositions´ de f, alors eni A j Bi=1 i j=1 j
n c m cnotantA = (∪ A ) ,B = (∪ B ) ,α =0 etβ =0, on a0 i 0 j 0 0i=1 j=1
n n m
X XX
α μ(A ) = α μ(A ∩B ) (2.1)i i i i j
i=1 i=0 j=0
n m
XX
= β μ(A ∩B ) (2.2)j i j
i=0 j=0
n
X
= β μ(B ) (2.3)j j
j=1
car {B ,B ,··· ,B } est une partition deE. Commeα = β siA ∩B =∅, on deduit´ que l’integr´ ale0 1 m i j i j
est bien definie.´
Definition14. Soitf : (E,A)→ [0,+∞] mesurable. Alors on definit´
Z Z
fdμ = sup hdμ.
+h∈E ,h≤f
R
Remarque9. – On introduira parfois une variable muette d’integr´ ation et on ecrir´ a f(x)dμ(x)
R
ou encore f(x)μ(dx).
+– Sif∈E , la nouvelle definition´ co¨ıncide avec la prec´ edente´ .
R R
– Si0≤f≤g alors fdμ≤ gdμ
Theor´ eme` 4 (Convergence monotone). Soit (f ) une suite de fonctions mesurables de E dansn n≥0
[0,+∞] tellef ≤ f pour toutn ≥ 0 (monotonie). Alors sif = lim ↑ f est la limite simplen n+1 n→∞ n
(eventuellement´ infinie) de la suite, on a
Z Z
fdμ = lim↑ f dμn
Remarque10. Il s’agit de notre premier theor´ eme` d’intervertion limite int egr´ ale :
Z Z
lim↑f dμ = lim↑ f dμn n
R R R R
Demonstr´ ation. Commef ≤f, on a f dμ≤ fdμ et donc lim f dμ≤ fdμ.n n n
+Montrons l’autre ineg´ alite.´ Il nous sufit de montrer que pour tout h ∈ E tel que h ≤ f alors
R R
hdμ≤ lim f dμ. Decomposons´ h sur une famille finie de partie disjointesn
m
X
h = αi Ai
i=1
et prenons > 0 tel que α − > 0 pour tout i. Si A = { x ∈ A | f (x) ≥ α − }, alorsi i,n i n i
Pm
f ≥ (α −) et donc pour toutk≥0n i Ai=1 i,n
Z Z m
X
lim f dμ≥ f dμ≥ (α −)μ(A ).n k i i,k
i=1
Or (A ) est une suite croisante de mesurables telle que∪ A = A . Par suite,μ(A ) = lim↑i,k k≥0 k≥0 i,k i i
R P
m
μ(A ) et lim f dμ≥ (α −)μ(A ). Comme>0 est arbitraire, on obtient le resultat.´i,k n i ii=1
9