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Extrait

´ ´Notes du cours “Integration et Probabilites”
Licence de Mathematiques,´ ENS de Cachan
Alain Trouve´
11 janvier 2010Chapitre1
Espacesmesures´
1.1 Riemannintegrabilit´ e,´ integrale´ deRiemann
– OnseplacesurunintervallecompactI = [a,b]etonnoteEl’ensembledesfonctionsenescaliers
surI.Onrappellequeg∈Esiilexisteunesuitefiniecroissantex =a<···<x =bappelee´0 n
1subdivision deI telleg prend une valeur constante (notee´ icig ) sur chaque intervalle ]x ,x [.i i i+1
– Pour toutg∈E, on note
n−1
X.
I(g) = g (x −x )i i+1 i
i=0
(qui ne depend´ pas de la subdivision choisie...).
Pour toute fonctionf surI, on definit´
∗R (f) = inf I(g), R (f) = sup I(g)∗
g≥f, g∈E g≤f, g∈E
respectivement l’integrale´ par valeur superieure´ et celle par valeur inferieure.´
∗Definition1. UnefonctionfsurIestditeRiemannintegrable´ sifestbornee´ etR (f) =R (f).Onnote∗
R
alorsR(f) la valeur commune ou` selon la notation plus classique f.
I
L’integrale´ deRiemannestl’integrale´ quevousconnaissezenentranta` l’ENSbienquelatheorie´ de
l’integration´ vu en classes preparatoires´ soit construite sur la classe plus restreinte des fonctions conti
nues par morceaux surI ou disons sur les fonctions regl´ ees´ (limite uniforme de fonctions en escaliers).
Ladefinition´ gen´ erale´ defonctionRiemannintegrable´ n’estellepasauprogrammemaisc’estengrosla
classe la plus grande sur laquelle on peut essayer d’etendre´ le concept d’integrale´ au sens de Riemann.
L’inter´ etˆ du concept de fonction Riemann integrable´ est la possibilite´ de calculer les integrales´ comme
limite de ... sommes de Riemann c’est a` dire en approximant l’integrale´ par la sommation des aires
algebriques´ de petites tranches rectangulaires verticales :
Theor´ eme` 1. Sif est une fonction Riemann integr´ able surI, alors pour tout > 0, il existeδ > 0 tel
que pour toute subdivision (x ) deI de pas inferieur´ a` δ on ai 0≤i≤n
Z n−1
X
| f − f(ξ )(x −x )|≤i i+1 i
I i=0
lorsqueξ ∈ [x ,x ] pour tout0≤i<n.i i i+1
1On appellera pas de la subdivision la valeur maximale desx −xi+1 i
1Demonstr´ ation. Pour tout > 0, il existe deux fonctions en escaliers g ≤ f ≤ h et une subdivision
(y ) subordonnee´ a` g et h telle que |I(h) − I(f)| ≤ . Notons δ = min (y − y ) etj 0≤j≤q 0 0≤j<q j+1 j
M = sup |f| et considerons´ 0<δ<δ . On verifie´ facilement qu’il existe un entierN (on peut prendre0I
par exemple N = 2q) tel que pour toute subdivision (x ) de pas au plus δ, il existe au plus Ni 0≤i<n
intervalles [x ,x ] qui contiennent l’un des pointsy . Par suite comme pour [x ,x ]⊂]y ,y [ oni i+1 j i i+1 j j+1
ag ≤f(ξ )≤h etquesi [x ,x ]est“a` cheval”surl’undesy onpeutmajorerf(ξ )(x −x )parj i j i i+1 j i i+1 i
Mδ on a :
Z n−1
X
| f − f(ξ )(x −x )|≤ |I(h) −I(g)| +NδM.i i+1 i
I
i=0
En choisissantδ≤ /NM on obtient une majoration par2 .
A priori, par mal de fonctions sur I sont Riemann integrables´ avec cependant des exceptions no
tables :
Exercice1. 1. Verifier´ quesifestcontinueoumonotonesurIalorsfestRiemannintegr´ ablesurI.
2. Verifier´ quef :I→R definie´ parf(x) =1 six∈Q et0 sinon n’est pas integr´ able
Quelestdoncl’ensembledesfonctionsRiemannintegrables´ ?Pourlescaracteriser´ ilnousfautparler
d’ensemble negligeable´ (dont nous verrons une defintion´ plus gen´ erale´ plus loin) :
Definition2. SoitA⊂R.OnditqueAestnegligeable´ sipourtout>0,ilexisteunesuited’intervalle
P
(I ) telleA⊂∪ I et ‘(I )≤ ou` ‘(I ) est la longueur de l’intervalleI .i i≥0 i≥0 i i i ii≥0
Unecaracterisation´ frappantedesfonctionsRiemannintegrables´ estdonnee´ parletheor´ eme` suivant
dont la preuve sera proposee´ en exercice :
Theor´ eme` 2. Une fonctionf est Riemann integr´ able surI ssi l’ensemble de ses points de discontinuite´
est un ensemble neglig´ eable.
Le principal probleme` de la notion de Riemann integrabilit´ e´ est qu’elle n’est pas stable par limite
simple memeˆ en se restreignant aux fonctions a` valeurs dans un intervalle compact fixe´ (afin de gerer´
les problemes` de bornitudes) comme on le verifie´ facilement (cf ex1). De plus, certains theor´ emes` qui
ne concernent que des fonctions continues sont tres` compliques´ a` montrer. Il suffit pour s’en persuader
d’essayerdemontrera` mainsnuesquesi(f )estunefamilledefonctionscontinuessurI,uniformementn
R
bornees´ parMetquitendentsimplementvers0alors f →0. Pourregler´ ceprobleme,` ilfautpouvoirnI
calculer l’integrale´ de fonctions plus irreguli´ eres` et changer de proced´ e´ d’integration´ en integrant´ par
tranches rectangulaires horizontales dont la base peut etreˆ alors des ensembles plus complexes. Bref il
faut changer de theorie´ et introduire la notion de mesure et de fonctions mesurables.
`1.2 Tribus,σ alg ebres
Definition3(Tribu). SoitEunensemble.OnappelletribusurEtoutensembleAdepartiesdeEtelque
1. E∈A
c2. siA∈A alorsA ∈A
3. Si(A ) estunefamilled’el´ ements´ deA,alors∪ A ∈A(stabilite´paruniondenombrable)´n nn∈N n≥0
Le couple (E,A) est alors appele´ espace mesurable.
Remarque1. 1. On dit aussi de fac¸on equivalente´ queA est uneσ alg ebr` e.
2. Comme∅∈A, (3) contient la stabilite´ par union finie.
26
3. Si au lieu de 3, on a seulement la stabilite´ par union finie, on dit queA est une algebre` .
Exemple1. – P(E) est une tribu.
c– {A⊂E |A ouA est au plus den. } est une tribu.
Proposition1. Si (A ) est une famille de tribus deE alors∩ A est une tribu.i i∈I i∈I i
Demonstr´ ation. en exercice.
Corollaire 1. Soit C ⊂ P(E). Il existe une unique tribu contenant C et qui est la plus petite tribu
contenantC. On la noteσ(C) et on l’appelle la tribu engendree´ parC.
Demonstr´ ation. On construitσ(C) comme l’intersection de toutes les tribus contenantC. On note qu’il
en existe au moins une qui estP(E).
Definition4(Tribuborelienne)´ . SoitEunespacetopologiqueetB(E)latribuengendree´ parlesouverts.
B(E) est appele´ tribu borelienne´ et les el´ ements´ deB(E) sont appeles´ boreliens.´
Remarque 2. B(E) est gros mais gen´ er´ alement on a B(E) = P(E). On montrera qu’en utilisant
l’axiome du choix, on peut construire un ensemble non mesurable deR.
Exercice2. 1. Verifier que B(R) = σ({]a,b[ | a < b ∈ R }) = σ({] −∞,a] | a ∈ R }) =´
σ({] −∞,a] |a∈Q }), etc, etc.
2. SiR =R∪{−∞,+∞} est muni de la topologie engendree´ par la famille d’intervalles [−∞,a[,
]a,b[,]b,+∞]pourtousa,b∈R,montrerqueB(R) =σ({[−∞,a[|a∈R }) =σ({[−∞,a[|a∈
Q }) =σ({[−∞,a] |a∈Q }) (etc, etc)..
.
Definition5 (Tribu trace). Soit (E,A) un espace mesurable etB⊂ E. On verifie´ facilement queA =B
´
{A∩B |A∈A } est une tribu surB appelee tribu trace deA surB ou tribu induite parA surB.
Exercice3. 1. Montrer que siA = σ(C) etB ⊂ E, alors la tribu traceA deA surB est la tribuB
.
engendree´ dansB par la traceC = {C∩B |C∈C} deC surB que l’on peut noterσ (C ). OnB B B
a doncσ(C) =σ (C ).B B B
2. Deduir´ e queB(R) est la tribu induite surR parB(R).
Definition6(Tribuproduit). Soient (E ,A )et (E ,A )2espacesmesurables.Onappelletribuproduit1 1 2 2
la tribu surE ×E , notee´ A ⊗A et definie´ par1 2 1 2
A ⊗A =σ{A ×A |A ∈A etA ∈A }1 2 1 2 1 1 2 2
1.3 Mesurespositives
Soit (E,A) un espace mesurable.
Definition7(Mesure). Onappellemesurepositivesur (E,A)toutefonctionμ :A→ [0,+∞]telleque
1. μ(∅) =0
2. Si (A ) est une famille de mesurables disjoints alorsn n∈N
[ X
μ( A ) = μ(A ). (σ additivit e)´n n
n≥0 n≥0
Remarque3. Le point (2) contient l’additivite´ sur les unions finies.
3Proposition2. Soitμ une mesure positive sur (E,A). Alors
1. SiA⊂B sont deux mesurables, on aμ(A)≤μ(B).
2. Si (A ) est une suite croissante de mesurable, alorsn n∈N
[
μ( A ) = lim ↑μ(A ).n n
n→∞
n≥0
On note evidemment´ que lesμ(A ) sont croissants.n
3. Si (A ) est une suite decr´ oissante de mesurables telle queμ(A )<∞, alorsn n∈N 0
\
μ( A ) = lim ↓μ(A ).n n
n→∞
n≥0
4. Si (A ) est une suite quelconque de mesurables, alorsn n∈N
[ X
μ( A )≤ μ(A ) (σ sous additivit e)´n n
n≥0 n≥0
Remarque4. (3)n’estpasvraiesionenleve` laconditionμ(A )<∞:ilsuffitdeconsider´ erlamesure0
de Lebesgue et la famille ([n,+∞[)n≥0
Demonstr´ ation. 1. SiA⊂B,enecri´ vantB =A∪(B\A),onaparadditivite´μ(B) =μ(A)+μ(B\
A).
2. PosonsB = A etB = A \A pourn≥ 1. On a alors∪ B =∪ A et comme lan n n n0 0 n−1 n≥0 n≥0
famille des (B ) est une famille disjointe, on a parσ aditivit e´n
n
X X
μ(∪ A ) = μ(B ) = lim μ(B ) = lim μ(A )n≥0 n n k n
n→∞ n→∞
n≥0 k=0
˜ ˜ ˜3. PosonsA =A \A .Onaalorsque(A ) estunefamillecroissantepourlaquelle∪ A =n n n n0 n≥0 n≥0
A \∩ A . D’apres` (2), on a μ(A \∩ A ) = limμ(A \A ). Or μ(A \∩ A ) =0 n≥0 n 0 n≥0 n 0 n 0 n≥0 n
μ(A ) −μ(∩ A ) et limμ(A \A ) = μ(A ) − limμ(A ). Comme μ(A ) < ∞, on nen n n0 n≥0 0 0 0
travaille que sur des quantites´ finies, et l’on deduit´ le resultat.´
4. Le dernie