Cours-Introduction

Description

rD¶D¶DD¶D¶¶¶¶¶¶rDr¶DeDr¶¶¶¶DDDUNIVERSITE DE BOURGOGNE L3-MATHEMATIQUES´ ´LM5: Analyse Numerique Elementaire,INTRODUCTION1. Un exemple: l’e´quation de la chaleurOn chauffe une barre de longueur 1 pose´e le long de l’axe des abscisses entre l’origine et le point d’abscisse 1. Onconnaˆıt la tempe´rature de la barre au temps t = 0 en tout point de la barre, soit u (x).0On se propose de re´soudre le proble`me d’e´volution suivant:de´terminer la tempe´rature de la barre en tout point d’abscissex et au temps t > 0, soit u(x,t) en supposant que les deux extre´mite´s de la barre sont maintenues a` tempe´rature constante,suppose´e nulle ce qui se traduit par u(0,t)= u(1,t)= 0,∀t> 0 (conditions aux bords). Si (x,t) est la densite´ de la quantite´de chaleur fournie a` la barre au point d’abscisse x et au temps t cela revient a` re´soudre : 2u u − = (x,t) 0< x< 1 t > 02t x (∗).u(x,0) = u (x) 0≤ x≤ 1 0u(0,t) = u(1,t) = 0 t > 02. Re´solution nume´rique par diffe´rences finies:+(a) Maillage de [0,1]×R :1 iOn se donne N ∈N et on pose h = , le pas sur [0,1]. On associe les points x = ih = ,i = 0..N+ 1 deiN+1 N+1+[0,1]. De meˆme on se donne un pas t et on associe les points t = n t, n∈N deR .h et t sont destine´s a` tendrenvers 0.Les points du maillage sont{(x,t )}, i= 0..N, n∈N.i nnOn cherche une approximation nume´rique de u(x,t ) note´e u .i n i(b) On e´crit le syste`me (∗) aux points du maillage(x ,t ):i n2u(x ,t ) u(x,t ) i n ...

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Extrait

UNIVERSITE DE BOURGOGNE

LM5: Analyse Nume´rique Ele´mentaire ,

1.nUlp:exemeatqu ´ el'acelndioruelah

INTRODUCTION

L3-MATHEMATIQUES

Onchauffeunebarredelongueur1pos´eelelongdel'axedesabscissesentrel'origineetlepointd'abscisse1.On connaıˆtlatempe´raturedelabarreautempst=0 en tout point de la barre, soitu 0 (x).

Onseproposeder´esoudreleprobl`emed'e´volutionsuivant:de´terminerlatemp´eraturedelabarreentoutpointd'abscisse xet au tempst>0, soitu(x,t)xtr´emitlesdeuxesonaqteuneusppmpte`aesnuteinmatnoserrabaledse´e,attnocsnutere´ar suppos´eenullecequisetraduitparu(0,t) =u(1,t) =0,∀t>0 (conditions aux bords). Si r (x,t)estladensit´edleqaautntie´ dechaleurfournie`alabarreaupointd'abscissexet au tempst:erduose`ar´ientarevcel  2 ¶ u ¶ u   −= r (x,t)0<x<1t>0 2 ¶ t ¶ x (∗). u(x,0) =u 0 (x)0≤x≤1   u(0,t) =u(1,t) =0t>0

2.nnio ´ eumesR ´ utoleinfisecn:sarepqurire ´ effdi + (a)Maillage de[0,1]×R:

1i On se donneN∈Net on poseh=, le pas sur[0,1]associe les points. Onx i =ih=,i=0..N+1 de N+1N+1 + [0,1]. De meˆmeon se donne un pasDtet on associe les pointst n =nDt,n∈NdeR.hetDtre`aesndtesedt´nitnos vers 0. Les points du maillage sont{(x i ,t n )},i=0..N,n∈N. n Onchercheuneapproximationnum´eriquedeu(x i ,t n )note´eu. i

(b)itle ´ ecrOne ` emysts(∗)aux points du maillage(x i ,t n ):  2 ¶ u(x i ,t n ) ¶ u(x i ,t n ) n  ..N+1∀n∈N  −= r (x i ,t n ) = r i i=0 2 ¶ t n ¶ x i u(x i ,0) =u 0 (x i )i=0..N+1   u(0,nDt) =u(1,nDt) =0∀n∈N

(c)Diffe´rences finies:

Danslesyst`eme(∗∗)re´de´vicalpsele,oemnr:esssiuavtncnsenfieidiff´ereesparles n -u(x i ,t n )paru; i  n+1 n u−u  i i  (sche´ma I) ¶ u(x i ,t n ) Dt - par n n−1 ¶ t u−u  i i (sch´emaII) Dt 2 nn n u−2u+u ¶ u(x i ,t n ) i+1 i i −1 - par. 2 2 ¶ x h 4+ Justifions rapidement cette me´thode. Supposons alorsuau moinsCsur[0,1]R: Danslecasdusch´emaIonvoitque: ¶ u(x i ,t n ) n u(x i ,t n+1 ) =u(x i ,t n +Dt) =u(x i ,t n ) +Dt+ (Dt) e (Dt) i ¶ t soit:

1

(∗∗).

ou dans le cas du sche´ma II :

soit:

n+1 n u−u ¶ u(x i i i ,t n ) n = + e (Dt) i Dt ¶ t

¶ u(x i ,t n ) n ′ u xtDx tt uDtD e Dt u(x i ,t n−1 () = i , n −) =( i , n )−+ (t) i ( ) ¶ t

n n−1 u−u ¶ u(x i ,t n ) n i i′ = + e (Dt) i Dt ¶ t

UneformuledeTaylora`l'ordre4permetd'´ecrire: 4 + 2 23 34 ¶ tu x n + q h) ¶ u(x i ,t n )h ¶ u(x i ,t n )h ¶ u(x i ,t n )h ( i , i,n u(x i+1 ,t n ) =u(x i ,t n ) +h+ + +, 2 34 ¶ x2 ¶ x6 ¶ x24 ¶ x ′ 4 − 2 23 34 ¶ u xt q h) ¶ u(x i ,t n )h ¶ u(x i ,t n )h ¶ u(x i ,t n )h ( i , n + i,n u(x i−1 ,t n ) =u(x i ,t n )−h+−+, 2 34 ¶ x2 ¶ x6 ¶ x24 ¶ x −+ avec−1< q <0< q <1d,o'u`l'ond´eduit: 4 + 4 − 2 4 ¶ u(x,t+ q ¶ u(x,t n )h i i n h) ¶ u(x i ,t n + q h) i,n i,n 2 −u(x i+1 ,t n ) +2u(x i ,t n )−u(x i−1 ,t n ) =−h−( + ) 2 44 ¶ x24 ¶ x ¶ x D'o`u:

4 + 4 − 2 2 n + q h) ¶ u(x i ,t n + q h) u(x i+1 ,t n )−2u(x i ,t n ) +u(x i−1 ,t h ¶ u(x i ,t i,n i,n n ) ¶ u(x i ,t n ) = +( + ) 2 24 4 h ¶ x24 ¶ x ¶ x

n+1 n ¶ u(x i ,t n ) u−u i i Cesd´eveloppementsjustifientlesapproximationsdesd´eriv´eespartiellespar(sche´maI)oupar ¶ tDt n n−1 2 u−u )u(x i+1 ,t n )−2u(x,t) +u(x,t) i i ¶ u(x i ,t n in i −1 n (sch´emaII)etdepar. 2 2 Dt ¶ x h

N (d)pmeRemdusyst ` elacement(∗∗)ursnsy ` tapnsdareai ´ einelemR:

Rempla¸consdanslesyst`eme(∗∗)peslrpas´ivteleereu´xierrealedlssionpresnctienfofidsednoecnere´fenesnisfi n n choisissant le sche´ma II. Compte-tenu queu=u=0, posons: 0N+1   n u 1   N U n =   ∈R,∀n∈N. . n u N Alors lesyste`me(∗∗)devient: Dt (I N +A)U n =U n−1 +B n , 2 h ou`I N riceIdenestlamatdrerit´tdeo'N,Ala matrice d'ordreNsuivant:   2−1 −1 2−1 −1 2−1 A= . . . . . . . . .     −1 2−1 −1 2

2

N etB n la colonne deRod:eparnn´e   4 + 4 − ¶ u(x 1 ,t n + q h) ¶ u(x 1 ,t n + q h) n 1,n1,n ′2 n − e −h+( + ) r 1 1 4 4 ¶ x ¶ x . 4 + 4 − ¶ u(x i ,t n + q h) ¶ u(x i ,t n + q h) n i,n i,n ′2 n B n =Dt. − e −h( + )+ r i i 4 4 ¶ x ¶ x .     4 + 4 − ¶ u(x N ,t n + q h) ¶ u(x N ,t n + q h) n N,n N,n ′2 n − e −h+( + ) r N N 4 4 ¶ x ¶ x ′2 DansB n nesemr´ntuilgelregetsepeon e et enh.AlorsB n Connaissantest une donne´e.U n−1 ,on est donc amene´, Dt pour calculerU n nie´iaerys`tmeleudsolere,`´ear(I N + 2 A)X=U n−1 +B n peOn.rentmouto¸cafedreruogirnueuseq h lasolutionobtenueestuneapproximationdesvaleursdelasolutiondel'´equationdelachaleuraveclesconditions au bord choisies. 3.Quelques remarques en guise de conclusion:

LorsqueNdgrntieevysel,dnaileme`tsire`n´easoudar´eivneeredesltgtoriaferustlaceslucsoonaiuhchmae:inetodcn de´velopperdesalgorithmesnume´riquescalculantlasolutionexacte(qui,defait,nel'estjamais`acausedesarrondisde calcul)ouapproch´ee,avecunnombred'ope´rationsminimal.Remarquonsiciquelamatricequigouvernelesyste`men'a des termes non nuls que sur la diagonale, la sous-diagonale et la sur-diagonale et donc beaucoup de ze´ros: c'est une matr ice creuse,icitridiagonale.OnverraenTDquelecoˆutd'unem´ethodedeGaussesttr`esavantageuxavecunetellematricepar rapport`aunematricepleine.

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