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Table des matières1 Séries de Fourier 11.1 Série de Fourier d’une fonction périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Principales propriétés des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Théorème de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 de Fejer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Théorème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.4 de Plancherel-Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Equation des ondes : l’exemple d’une corde vibrante 132.1 L’équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Corde vibrante à extrémités fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Equation de la chaleur 193.1 L’équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Diffusion de la chaleur dans une barre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 (à suivre) Equations des ondes et de la chaleur sous Mupad et Matlab 25iii TABLE DES MATIÈRESChapitre 1Séries de FourierOn considère ici des fonctions définies sur R; à valeurs réelles ou complexes, qui2sont périodiques de période T: Si on pose ! = ; on a parmi les fonctions pério-Tdiques des fonctions très particulières, appelées polynômes trigonométriques.Ce sont les de la ...

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Table des matières

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Séries de Fourier 1.1 Série de Fourier d’une fonction périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Principales propriétés des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Théorème de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Théorème de Fejer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Théorème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Théorème de Plancherel-Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Equation des ondes : l’exemple d’une corde vibrante 2.1 L’équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Corde vibrante à extrémités fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Equation de la chaleur 3.1 L’équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Diffusion de la chaleur dans une barre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(à suivre) Equations des ondes et de la chaleur sous Mupad et Matlab

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1 2 7 7 8 8 10

13 13 14

19 19 19

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ii

TABLE

DES

MATIÈRES

Chapitre 1

Séries de Fourier

On considère ici des fonctions définies sur R ,à valeurs réelles ou complexes, qui sont périodiques de périodeT .Si on poseω= 2π T ,on a parmi les fonctions pério- diques des fonctions très particulières, appeléespolynômes trigonométriques. Ce sont les fonctions de la forme p f(t) =α 0 + X [α n cos(nωt) +β n sin(nωt)],(1.1) n=1 oùα 0 , ..., α n , β 1 , ..., β n ∈ C . Sifest périodique de périodeTet continue par morceaux sur R ,on peut associer de maniére naturelle àfunesérie trigonométrique formellede la forme +∞ S(f)(t) =α 0 + X [α n cos(nωt) +β n sin(nωt)], n=1 appeléesérie de Fourierdef.Les liens entre la fonctionfet sa série de Fourier, ou, en d’autres termes, la possibilité d’approcher la fonctionfpar les polynômes trigonométriques formés par les sommes partielles de sa série de Fourier, sont l’objet de ce Chapitre. Les phénomènes de convergence sont subtils : quandfest continue, c’est la "moyenne de Cesaro" des sommes partielles de la série de Fourier defqui converge versfle théorème de Fejer, et quand, voir fest de classeC 1 par morceaux, la série de Fourier defconverge pour touttvers la demi-somme des limites à droite et à gauche defent,voir le théorème de Dirichlet. Enfin la bonne notion de convergence pour les séries de Fourier est la convergence en moyenne quadratique,donnée par le théorème de Plancherel-Parseval. Afin de faciliter l’accès à ces résultats, d’un intérêt fondamental en Physique (les séries de Fourier ont été inventées par Fourier pour étudier l’équation de la chaleur), nous les donnons ici sans démonstration, en les illustrant par deux exemples. On trouvera les démonstrations dans leCours d’Analyse, accessible sur le site de l’ESTIA. 1

2 SÉRIES DE FOURIERCHAPITRE 1. 1.1 Série de Fourier d’une fonction périodique On dit qu’une fonction estcontinue par morceauxsur R sifadmet une limite à droite et à gauche en tout point et sifn’admet qu’un nombre au plus fini de points de discontinuité sur tout intervalle fermé borné de R .Dans ce cas lon peut calculer R b a f(x)dxpoura, b∈ R . Définition 1.1.1Soitfune fonction définie sur R .On dit quefest périodique de périodeTs’il existeT >0tel quef(x+T) =f(x)pour toutx∈ R .Dans ce cas on dit queTest une période def. Notons que siTest une période def,alorsnTest aussi une période defpour toutn≥1.D’autre part sifest périodique de périodeTalorsfest continue par morceaux sur R si et seulement sifest continue par morceaux sur[0, T],c’est à dire si et seulement sifadmet un nombre au plus fini de discontinuités sur[0, T] et admet une limite à droite en0,une limite à gauche enT ,et une limite à droite et à gauche en toutx∈[0, T]. Supposonsfcontinue par morceaux et périodique de périodeT ,et soita∈ R . Un calcul élémentaire donne T Z a+ f(x)dx= Z 0 T f(x)dx∀x∈ R .(1.2) a Définition 1.1.2Soitfune fonction périodique de périodeTcontinue par mor- ceaux sur R .On pose

a 0 (f) = T 1 Z 0 T f(t)dt, et pourn≥1,avecω= 2 T π , a n (f) = T 2 Z 0 T f(t)cos(nωt)dt, b n (f) = T 2 Z 0 T f(t)sin(nωt)dt. Les nombres ci-dessus sont appelés lescoefficients de Fourieret on définit lasérie de Fourierdefpar la formule +∞ S(f)(t) =a 0 (f) + X [a n (f)cos(nωt) +b n (f)sin(nωt)]. n=1

1.1. SÉRIE DE FOURIER D’UNE FONCTION PÉRIODIQUE

3

En physique le nombreωest appelé lasatipulno,a 1 (f)cos(ωt) +b 1 (f)sin(ωt) est appelé leterme fondamentaleta n (f)cos(nωt) +b n (f)sin(nωt)est appelé la n e que,harmoniouharmonique de rang n. D’autre part, sifest à valeurs réelles, on peut poserρ n (f) = q a n 2 (f) +b n 2 (f).Il existe alorsφ n (f)∈[0,2π[tel quea n =ρ n (f)cos(φ n (f)), b n (f) =ρ n sin(φ n (f)). Avec la conventionρ 0 (f) =|a 0 (f)|, φ 0 (f) = 0sia 0 (f)>0, φ 0 (f) =πsia 0 (f)<0, la série de Fourier defs’écrit alors sous la forme +∞ S(f)(t) = X ρ n (f)cos(nωt−φ n (f)). n=0 Le nombreρ n (f)est appelé en Physiquel’amplitude d’ordre n,tandis queφ n (f) est appelé laphased’ordren.Notons que cette phase est indéterminée siρ n (f) = 0.

Signalons qu’il n’y a a priori aucune raison pour que la série de Fourier defsoit convergente, et ceci est d’ailleurs faux si on suppose seulement quefest continue par morceaux, ou même quefest continue. Notons également quecos(nω(t+T)) = cos(nωt+ 2πn) =cos(nωt)et de mêmesin(nω(t+T)) =sin(nωt+ 2πn) = sin(nωt),intervenant dans la série de Fourier d’une fonctiondonc les fonctions périodique de périodeTsont également des fonctions périodiques de périodeT . On a l’observation élémentaire suivante.

Proposition 1.1.3Soitfune fonction périodique continue par morceaux sur R . (i) Sifest paire, alorsb n (f) = 0pourn≥1. (ii) Sifest impaire, alorsa n (f) = 0pourn≥0. Exemple 1.1.41) Soitfla fonction paire, périodique de période2πtnvéfiari f(t) = 1sit∈[0, 2 π [, f(t) = 0sit∈[ π 2 , π].Alorsfest continue par morceaux sur R ,et la série de Fourier defest donnée par la formule 2 +∞ S(f)(t+ 2 1 =) n X =0 2 ( n − + 1) n 1 cos((2n+ 1)t)(1.3) π

2) Soitgla fonction périodique de période2πévafiirtng(t) =tsit∈[0, π], g(t) = 2π−tsit∈[π,2π].Alorsgest continue sur R ,et la série de Fourier de gest donnée par la formule

S(g)(t) = π 2 − 4 π n + X = ∞ 0 cos 2( (( n 2n+1 )1+ 2 )t)

(1.4)

4 SÉRIES DE FOURIERCHAPITRE 1. En effetfest continue entsit6= π 2 +kπzpour toutk∈ Z , fadmet une limite à droite nulle et une limite à gauche égale à1en 2 π +kπpourkentier relatif pair, etfadmet une limite à gauche nulle et une limite à droite égale à1en 2 π +kπ pourkentier relatif impair. Commefest paire, on ab n (f) = 0pourn≥1.D’autre part a 0 (f)= 1 2 Z 0 2π f(t)dt 2 1 = π Z − π π f(t)dt 1 2 = π Z − π 2 π 2 dt= 1 2 . π Pourn≥1,on obtient

2 2π a n (f  2 ) = π Z 0 f(t)cos(nt)dt= π 1 Z −π π f(t)cos(nt)dt= 1 π Z − 2 π π 2 cos(nt)dt π t) 2 =   π sni( n n   − 2 π = 2 π ins( n n 2 π ) . Sinest pair, ceci donnea n (f) = 0.Sin= 2m+ 1est impair, on asin( n 2 π ) = sin( π +mπ) = (−1) m ,et on obtient la série de Fourier def. 2 Considérons maintenant la fonctiong.Pourt∈[0, π],on ag(−t) =g(2π−t) = 2π−(2π−t) =t=g(t),doncgest paire. De plusgest continue sur[−π, π],et g(π) =g(−π) = 0,ce qui montre quegest continue sur R . Commegest paire, on ab n (g) = 0pourn≥1.D’autre part a 0 (g 2 1 =) π Z −π π |t|dt= 1 π Z 0 π tdt 2 =. π Pourn≥1,on obtient (nt)dt= 2 tcos a n (g 2 2 =) π Z − π π |t|soc π Z 0 π (nt)dt. En posantu=t, dv=cos(nt),soitdu=dt, v= sin(nt) on obtient, en intégrant n , par parties, a n (g) = π 2   ist n n(nt)   0 2π − 2 π Z 0 π n sni(nt) dt 2 = π Z 0 π n nsi(nt) dt − =− 2 π   − n cso( 2 nt)   0 π = π 2   (− n 1 2 ) n − n 1 2   . Sinest pair, ceci donnea n (g) = 0,et sin= 2m+ 1est impair, on obtient a n (g) =− (2m+ 4 1) 2 ,ce qui donne la série de Fourier deg.

5

1;

On donne une représentation graphique sous Matlab defetg.

1.1. SÉRIE DE FOURIER D’UNE FONCTION PÉRIODIQUE

nirpgifttefs;)’gaireonspnctiesfo(eL’itlt’);)g=x(’y’,x)f(y=(’ndgeel ;)’neerg’,2y,43xy,,2g’erne,’x- -x2,y2,’green’, - 4x,’,2y,erg’,’ne’,en,yx3’g2,enre(t2xp ; olg’ery,,2 red’12,’ldon);ho er’,11y, y,4x- ,’d,’12,yx2x3,-d’re esuqa;ixdlno ;) oh 12,’x2,ylot( al; pder’,11y,3x,’der,-d’re,’12,yx4’, y ; =2ba(s 210=y*11 (x1,y11,x1);plotodlolp;nder’h;)’gr,’n’ee(xoty21, /2:03*pi5*pi.01: 4x[= 2/;] 2/0:*5ippi7*1:.0 1=y1 ];/2 zis(senoy;))1x(e x=1-[ip2/0:0.:1/2pix2];pi=[:0/2:10.ip*3;]2/[=3x

6 SÉRIES DE FOURIERCHAPITRE 1. Le résultat suivant décrit une situation, celle des" polynômes trigonométriques," où le calcul des coefficients de Fourier est trivial. Proposition 1.1.5Supposons quefest définie pourt∈ R par la formule p f(t) =α 0 + X [α n cos(nωt) +β n sin(nωt)]. n=1 Alorsa n (f) =α n pour0≤n≤p, b n (f) =β n pour1≤n≤p,eta n (f) = b n (f) = 0pour toutn≥p+ 1,de sorte quefcoincide avec la somme de sa série de Fourier. Preuve : On a, pourn≥1, Z 0 T cos(nωt)dt=   sin(nωt)  T ω  0 = 0, − Z 0 T sin(nωt)dt=   ω sco(nωt)   T 0 = 0, T 1 Z T dt= 1 0 ,

et on voit quea 0 (f) =α 0 . D’autre part on a, pourn≥1, T 2 Z 0 T cos 2 (nωt)dt= T 2 Z 0 T d 2 t + T 2 Z 0 T cos 2 (2nωt) =1, T 2 Z 0 T sin 2 (nωt)dt= T 2 Z 0 T d 2 t − T 2 Z 0 T cos 2 2(nωt)dt = 1, et pourn≥1, m≥1, m6=n, 2 T T Z cos(nωt)cos(mωt)dt 0 = T 2 Z 0 T cos((m+ 2 n)ωt)dt + T 2 Z 0 T cos((n− 2 m)ωt)dt = 0, 2 T s T Z 0 in(nωt)sin(mωt)dt 2 T T Z 0 cos((m+ 2 n)ωt)dt + T 2 Z 0 T cos((n− 2 m)ωt)dt = 0, =− Enfin pourn≥1, m≥0,on a

(1.5) (1.6)

(1.7) (1.8)

(1.9)

(1.10)

1.2. PRINCIPALES PROPRIÉTÉS DES SÉRIES DE FOURIER

7

T 2 Z 0 T sin(nωt)cos(mωt)dt 2 = Z 0 T sin((m+ 2 n)ωt)dt + T 2 Z 0 T sin((n− 2 m)ωt)dt = 0.(1.11) T D’autre part sigethsont deux fonctions continues par morceaux sur R ,répio- diques de périodeT ,on a, pourα, β∈ C , n≥0,par linéarité de l’intégrale de Riemann

a n (αg+βh) =αa n (g) +βa n (h), et de même, pourn≥1,

(1.12)

b n (αg+βh) =αb n (g) +βb n (h).(1.13) La proposition résulte alors immédiatement des identités ci-dessus.♣

On a dans le même ordre d’idées le résultat suivant . Proposition 1.1.6Soitω >0,et supposons que n + P = ∞ 0 |α n |<+∞et n + P = ∞ 1 |β n |< +∞. Alors la fonctionfdéfinie par la formule +∞ f(t) =α 0 + X [α n cos(nωt) +β n sin(nωt)], n=1 est bien définie, continue, périodique de périodeT= 2 ω π ,et on a a n (f) =α n ∀n≥0,

b n (f) =β n ∀n≥1.

1.2 Principales propriétés des séries de Fourier 1.2.1 Théorème de Lebesgue On a le théorème suivant (dont une version plus générale est due à Lebesgue). Théorème 1.2.1Soitfune fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé borné[a, b]. Alors lim |s|→+∞ R a b f(t)e ist dt= 0.

CHAPITRE 1. SÉRIES DE FOURIER

8 On en déduit le corollaire suivant Corollaire 1.2.2Soitfune fonction périodique de périodeT, continue par mor- ceaux sur R .On a alors lim n→+∞ a n (f) =lim n→+∞ b n (f) = 0. Ces résultats restent en fait valables pour les fonctions intégrables au sens de Lebesgue sur[a, b]et pour les fonctions périodoques de périodeTintégrables au sens de Lebesgue sur[0, T].Ce corollaire explique pourquoi les coefficients de Fourier des deux fonctions étudiées au paragraphe précédent convergent vers0, et montre une certaine tendance des séries de Fourier à converger. La réalité est beaucoup plus subtile : il n’est pas vrai que la série de Fourier d’une fonction fcontinue et périodique sur R converge simplement versf,ou même converge simplement.

1.2.2 Théorème de Fejer Pour les fonctions continues périodiques, on a le résultat suivant, dû à Fejer (de même que plus haut , on poseω= 2 T π poutT >0). Théorème 1.2.3Soit Soitfune fonction périodique de périodeT, continue sur R .Pourt∈ R ,ponssoS 0 (f)(t) =a 0 (f), p S p (f)(t) =a 0 (f) + X [a n (f)cos(nωt) +b n (f)sin(nωt)], n=0 pourp≥1,et , pourp≥0, p σ p (f)(t) = p+ 1 1 X S m (f)(t). m=0 Alors la suite(σ p (f)) p≥0 converge uniformémentversfsur R ,c’est à dire que lim n→+∞ sup t∈ R |σ p (f)(t)−f(t)|= 0. Ce résultat peut en particulier s’appliquer à la deuxième fonction étudiée à l’exemple précédent.

1.2.3 Théorème de Dirichlet Définition 1.2.4Soitfune fonction périodique de périodeTsur R .On dit que fest de classeC 1 par morceaux sur R quand les trois conditions suivantes sont vérifiées : (i)fest continue par morceaux sur R .

1.2. PRINCIPALES PROPRIÉTÉS DES SÉRIES DE FOURIER9 (ii)fest dérivable sur[0, T]privé d’un ensemble vide ou fini, etf 0 admet une limite à droite en0,une limite à gauche enT ,et une limite à droite et à gauche en toutt∈]0, T[. Une vérification de routine montre que pour que la condition (ii) soit vérifiée il faut et il suffit qu’elle soit vérifiée sur un intervalle quelconque de la forme[a, a+T], aveca∈ R . On a le théorème de Dirichlet. Théorème 1.2.5Soitfune fonction périodique de périodeT ,de classeC 1 par morceaux sur R .Pourt∈ R ,notonsf + (t)la limite à droite defentetf − (t)la limite à gauche defent. Alors la série de Fourier defconverge pour toutt∈ R ,et on a, pourt∈ R , +∞ nωt) +b n (f)sin( f nω + (t) +f − (t) a 0 (f) + X [a n (f)cos(t)] =. n=1 2 Exemple 1.2.61 +∞ ( 1) a série P − ) L n =0 2n+1 n cos((2n+ 1)t)converge pour toutt∈ R ,et on a, pourk∈ Z , n + X = ∞ 0 2 ( n −) + 1 n 1 cos((2n+ 1)t) =  4 π ∀t∈]− π +2 2 kπ, 2 π + 2kπ[, n + X = ∞ 0 ( 2n −1) + n 1 cos((2n+ 1)t) =− 4 π ∀t∈ 2 ] π + 2kπ, 3 2 π + 2kπ[. 2) La série n + P = ∞ 0 cos(( 2(n 2 + n1+ )1 2 )t) converge sur[−π, π]vers π 8 (π−2|t|).En particulier n + X = ∞ 0 (2n 1 )1+ 2 = π 8 2 , n + X = ∞ 1 1 2 = π 6 2 .(1.14) n En effet considérons la fonctionfintroduite plus haut, qui est égale à1pour t∈]− π 2 + 2kπ, π 2 + 2kπ[et à0pourt∈] 2 π + 2kπ, 2 3π + 2kπ[.Cette fonction est de classeC 1 , car sa dérivée est nulle surpar morceaux R \π Z .on a donc n 1 2 + π 2 n + X = ∞ 0 ( 2n − 1+ )1 cos((2n+ 1)t) = 1∀t∈]− 2 π + 2kπ, 2 π + 2kπ[, 2 1 + 2 π n + X = ∞ 0 2 ( n −) + 1 n 1 cos((2n+ 1)t) = 0∀t∈] π 2 +2kπ, 2 3π + 2kπ[,