Cours - Matrices

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Extrait

c Christophe Bertault - MPSI
Matrices
Dans tout ce chapitre,K est l’un des corpsR ouC. Tous les résultats présentés dans ce chapitre demeurent vrais siK est un
corps quelconque, mais nous ne nous en préoccuperons pas ici. Les lettres n,p,q... désignent des entiers naturels non nuls.
1 Matrices et opérations sur les matrices
1.1 Matrices
Définition (Matrice)
• On appelle matrice de taille n×p à coefficients dans K toute famille A de np éléments deK présentée sous la forme 
a a a11 12 1p a a a21 22 2p  d’un tableau noté A = a , où a ∈K pour tout (i,j)∈ J1,nK× J1,pK.  ij ij. . . 16i6n. . .  16j6p. . .  
a a a an1 n2 np 1j a2j Pour tout (i,j)∈ J1,nK× J1,pK, le scalaire aij est appelé coefficient de A de position (i,j), la matrice est appelée la  .
ème ème . j colonne de A et la matrice a a a est appelée sa i ligne.i1 i2 ip .
anjSi A est carrée, la famille (a ,a ,...,a ) est appelée diagonale de A.11 22 nn
• L’ensemble desmatrices de taillen×p à coefficients dansKest notéM (K). Pourn =p, onparle desmatrices carréesn,p
de taille n et on emploie la notationM (K) plutôt que la notationM (K). Pour p = 1, on parle de matrices colonnes den n,n
taille n. Enfin, pour n = 1, on parle de matrices lignes de taille p.
• La matrice deM (K) dont tous les coefficients sont nuls est appelée la matrice nulle de taille n×p.n,p
Explication
np• Une matrice de taille n×p à coefficients dansK n’est rien de plus qu’un élément deK , i.e. une famille de np éléments
npdeK, mais qu’on a préféré écrire sous la forme d’un tableau à n lignes et p colonnes. Ainsi, en réalité : M (K) =K .n,p
Pourquoi donc introduire les matrices dans ce cas? Parce que nous allons sous peu introduire une loi interne de produit
sur les matrices, et vous verrez qu’il est bien pratique d’écrire les matrices comme des tableaux et non comme des familles.
• L’usage veut qu’on utilise le plus possible la lettre i pour indice des lignes, et la lettre j pour indice des colonnes.
Par convention, dans ce cours, si A (majuscule) est une matrice de taille n×p, nous noterons a (minuscule) le coefficientij
de A de position (i,j).
1.2 Structure vectorielle sur M (K)n,p
npDéfinition (Structure vectoriellesurM (K)) Munidela structurevectoriellenaturelledeK ,M (K)estunK-espacen,p n,p
vectoriel de dimension np.  
λa +b λa +b λa +b11 11 12 12 1p 1p λa +b λa +b λa +b21 21 22 22 2p 2p • Pour tous A,B∈M (K) et λ,∈K : λA+B = .n,p  . . .. . . . . .
λa +b λa +b λa +bn1 n1 n2 n2 np np
• Pour tout (i,j)∈ J1,nK×J1,pK, on note Ei,j la matrice dont le coefficient de position (i,j) est égal à 1 et dont tous les
autres coefficients sont nuls. Alors (E ) est une base deM (K) appelée sa base canonique.i,j n,p16i6n
16j6p
Explication
1 3 1 0 2×1−1 2×3−0 1 6• Exemple de combinaison linéaire de matrices : 2 − = = .
2 4 −1 1 2×2−(−1) 2×4−1 5 7
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• Tâchons de comprendre ce à quoi ressemble la base canonique deM (K) dans le cas où n = 3 et p = 2. Il s’agit ni plusn,p
6ni moins de la base canonique deK écrite convenablement sous forme matricielle. Par définition :           
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0           E = 0 0 , E = 1 0 , E = 0 0 , E = 0 0 , E = 0 1 et E = 0 0 .11 21 31 12 22 32
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
Pour toue matrice A∈M (K), les coordonnées de A dans la base canonique sont (a ,a ,a ,a ,a ,a ) car :3,2 11 21 31 12 22 32 
a a11 12 A = a a =a E +a E +a E +a E +a E +a E .21 22 11 11 21 21 31 31 12 12 22 22 32 32
a a31 32
1.3 Produit matriciel
Définition (Produit matriciel) Soient A∈M (K) et B∈M (K). Par définition, le produit de A par B, noté A×B oup,q q,r !
qX
AB, est la matrice a b de taille p×r.ik kj  
16i6pk=1 b b b16j6r 11 12 1r      b21 b22 b2r     . . . . . . . . .    
b b bProduit q1 q2 qr
et somme   q q q X X X
a a b a b a ba a 1q 1k k1 1k k2 1k kr11 12      k=1 k=1 k=1      
q q q   X X X   
a b a b a b a a a   2k k1 2k k2 2k kr 21 22 2q      k=1 k=1 k=1             . . . . . . . . .   . . . . . .. . .         
q q q   X X X   
a b a b a ba a a pk k1 pk k2 pk krp1 p2 pq
k=1 k=1 k=1
L’illustration ci-dessus fournit la méthode pratique de calcul du produit de deux matrices. Cela dit, sur une copie, vous n’êtes
pas autorisés à écrire ainsi les matrices les unes au-dessus des autres.
$$$ Attention !
• Le produit d’une matrice de taille p×q par une matrice de taille q×r est une matrice de taille p×r. Le produit de deux
matrices en général n’est cependant pas défini s’il n’y a pas, comme on dit, compatibilité des formats.
Matrice de taille p×q Matrice de taille q×r Matrice de taille p×r
• Le produit matriciel n’est pas commutatif — même en cas de compatibilité des formats! Exemple :
1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1
= = = .
0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1
0 1 1 1 0 0• Un produit de matrices peut être nul sans qu’aucune de ces matrices soit nulle. Exemple : = .
0 0 0 0 0 0
Explication Remarque fondamentale : tout système linéaire peut être écrit matriciellement de manière immédiate.      2x + y − 3z = 3 2 1 −3 x 3
3     5y + z = 2 0 5 1 y 2Par exemple, pour tout (x,y,z)∈R : ⇐⇒ = .
9x + 10y = 1 9 10 0 z 1
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Exemple Soient A∈M (K), i∈ J1,nK et j∈ J1,pK.n,p 
0
position j position i
. . .  ème Alors A× 1 est la j colonne de A, et 0 1 0 ×A sa ième ligne. Exemple très important!  .. .
0
Par convention, quand une matrice contient beaucoup de zéros, on omet souvent de les noter par souci de lisibilité.
 
1 1 
Définition (Matrice identité) On appelle matrice identité de taille n la matrice carrée I =  de taille n.n .. .
1
Théorème (Propriétés du produit matriciel)
• Associativité : Soient A∈M (K), B∈M (K), C∈M (K) et λ∈K.p,q q,r r,s
(AB)C =A(BC) et λ(AB) = (λA)B =A(λB).
• Bilinéarité : Soient A,B∈M (K), C∈M (K) et λ,∈K.p,q q,r
(λA+B)C =λAC +BC et C(λA+B) =λCA+CB.
• Elément neutre : Soit A∈M (K). I A =AI =A.n,p n p
Démonstration Contentons-nous de démontrer l’associativité du produit matriciel : (AB)C =A(BC). ! " # !
q r qX X X
Puisque AB = a b , alors (AB)C = a b c .ik kj ik kl lj
16i6p 16i6pk=1 l=1 k=1
16j6r 16j6s ! " #!
r q rX X X
De même, puisque BC = b c , alors A(BC) = a b c .il lj ik kl lj
16i6q 16i6pl=1 k=1 l=1
16j6s 16j6s
On obtient le résultat voulue en permutant les symboles de sommation dans (AB)C et A(BC).

p n
K −→ K
Définition (Application linéaire associée à une matrice) Soit A∈M (K). L’application estn,p X → AX
linéaire; on l’appelle l’application linéaire associée à A.
p Explication Dans cette définition, le vecteur X deK est considéré comme une matrice colonne, ce qui est possible
ppuisqueM (K) =K ; sans cela, le produit AX n’aurait pas de sens. De la même manière, la matrice colonne AX de taille np,1
n npeut être considérée comme un vecteur deK carM (K) =K .n,1

3 20 1 2 R −→ R
Exemple L’application linéaire associée à la matrice est .
3 4 5 (x,y,z) → (y +2z,3x+4y +5z)
1.4 Transposition
tDéfinition (Transposée) Soit A∈M (K). On appelle transposée de A la matrice (a ) deM (K), notée A.n,p ji 16i6p p,n
16j6n
   t λ1 3 5t 3 0 1  .   .Exemple = 0 2 et = λ λ .  1 n.5 2 7
1 7 λn
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Explication
• La transposition échange les lignes et les colonnes. Intérêt de la manœuvre : montrer que certains résultats théoriques sur
les colonnes sont valable au sujet des lignes, et réciproquement.
• La transposition échange le nombre de colonnes et le nombre de lignes : la transposée d’une matrice de taille n×p est donc
une matrice de taille p×n. Chose intéressante : la transposée d’une matrice carrée est une matrice carrée de même taille.
Théorème (Propriétés de la transposition)
t t t• Linéarité : Soient A,B∈M (K) et λ,∈K. (λA+B) =λ A+ B.n,p
t t• Involutivité : Soit A∈M (K). A =A.n,p
t t t• Produit : Soient A∈Mp,q(K) et B∈Mq,r(K). (AB) = B A.
t t tDémonstration Seule l’assertion sur le produit mérite d’être démontrée. Posons C = (AB) et D = B A et
montrons que C et D ont les mêmes coefficients. Soit (i,j)∈ J1,rK× J1,pK. Il suffit d’observer qu’on a l’égalité
qX
suivante : c = a b =d — et pour faire cette observation, il faut réfléchir. ij jk ki ij
k=1
2 Représentation matricielle des familles de vecteurs
et des applications linéaires
2.1 Matrice d’une famille de vecteurs dans une base
Définition (Matrice d’une famille de vecteurs dans une base) Soient E un K-espa