Cours - Matrices
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c Christophe Bertault - MPSIMatricesDans tout ce chapitre,K est l’un des corpsR ouC. Tous les résultats présentés dans ce chapitre demeurent vrais siK est uncorps quelconque, mais nous ne nous en préoccuperons pas ici. Les lettres n,p,q... désignent des entiers naturels non nuls.1 Matrices et opérations sur les matrices1.1 MatricesDéfinition (Matrice)• On appelle matrice de taille n×p à coefficients dans K toute famille A de np éléments deK présentée sous la forme a a a11 12 1p a a a21 22 2p  d’un tableau noté A = a , où a ∈K pour tout (i,j)∈ J1,nK× J1,pK.  ij ij. . . 16i6n. . .  16j6p. . .  a a a an1 n2 np 1j a2j Pour tout (i,j)∈ J1,nK× J1,pK, le scalaire aij est appelé coefficient de A de position (i,j), la matrice est appelée la  .ème ème . j colonne de A et la matrice a a a est appelée sa i ligne.i1 i2 ip .anjSi A est carrée, la famille (a ,a ,...,a ) est appelée diagonale de A.11 22 nn• L’ensemble desmatrices de taillen×p à coefficients dansKest notéM (K). Pourn =p, onparle desmatrices carréesn,pde taille n et on emploie la notationM (K) plutôt que la notationM (K). Pour p = 1, on parle de matrices colonnes den n,ntaille n. Enfin, pour n = 1, on parle de matrices lignes de taille p.• La matrice deM (K) dont tous les coefficients sont nuls est appelée la matrice nulle de taille n×p.n,p Explicationnp• Une matrice de taille n×p à coefficients dansK n’est rien de plus qu’un élément deK , i.e. une famille de np ...

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Langue Français

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c Christophe Bertault - MPSI
Matrices
Dans tout ce chapitre,K est l’un des corpsR ouC. Tous les résultats présentés dans ce chapitre demeurent vrais siK est un
corps quelconque, mais nous ne nous en préoccuperons pas ici. Les lettres n,p,q... désignent des entiers naturels non nuls.
1 Matrices et opérations sur les matrices
1.1 Matrices
Définition (Matrice)
• On appelle matrice de taille n×p à coefficients dans K toute famille A de np éléments deK présentée sous la forme 
a a a11 12 1p a a a21 22 2p  d’un tableau noté A = a , où a ∈K pour tout (i,j)∈ J1,nK× J1,pK.  ij ij. . . 16i6n. . .  16j6p. . .  
a a a an1 n2 np 1j a2j Pour tout (i,j)∈ J1,nK× J1,pK, le scalaire aij est appelé coefficient de A de position (i,j), la matrice est appelée la  .
ème ème . j colonne de A et la matrice a a a est appelée sa i ligne.i1 i2 ip .
anjSi A est carrée, la famille (a ,a ,...,a ) est appelée diagonale de A.11 22 nn
• L’ensemble desmatrices de taillen×p à coefficients dansKest notéM (K). Pourn =p, onparle desmatrices carréesn,p
de taille n et on emploie la notationM (K) plutôt que la notationM (K). Pour p = 1, on parle de matrices colonnes den n,n
taille n. Enfin, pour n = 1, on parle de matrices lignes de taille p.
• La matrice deM (K) dont tous les coefficients sont nuls est appelée la matrice nulle de taille n×p.n,p
Explication
np• Une matrice de taille n×p à coefficients dansK n’est rien de plus qu’un élément deK , i.e. une famille de np éléments
npdeK, mais qu’on a préféré écrire sous la forme d’un tableau à n lignes et p colonnes. Ainsi, en réalité : M (K) =K .n,p
Pourquoi donc introduire les matrices dans ce cas? Parce que nous allons sous peu introduire une loi interne de produit
sur les matrices, et vous verrez qu’il est bien pratique d’écrire les matrices comme des tableaux et non comme des familles.
• L’usage veut qu’on utilise le plus possible la lettre i pour indice des lignes, et la lettre j pour indice des colonnes.
Par convention, dans ce cours, si A (majuscule) est une matrice de taille n×p, nous noterons a (minuscule) le coefficientij
de A de position (i,j).
1.2 Structure vectorielle sur M (K)n,p
npDéfinition (Structure vectoriellesurM (K)) Munidela structurevectoriellenaturelledeK ,M (K)estunK-espacen,p n,p
vectoriel de dimension np.  
λa +b λa +b λa +b11 11 12 12 1p 1p λa +b λa +b λa +b21 21 22 22 2p 2p • Pour tous A,B∈M (K) et λ,∈K : λA+B = .n,p  . . .. . . . . .
λa +b λa +b λa +bn1 n1 n2 n2 np np
• Pour tout (i,j)∈ J1,nK×J1,pK, on note Ei,j la matrice dont le coefficient de position (i,j) est égal à 1 et dont tous les
autres coefficients sont nuls. Alors (E ) est une base deM (K) appelée sa base canonique.i,j n,p16i6n
16j6p
Explication
1 3 1 0 2×1−1 2×3−0 1 6• Exemple de combinaison linéaire de matrices : 2 − = = .
2 4 −1 1 2×2−(−1) 2×4−1 5 7
16
c Christophe Bertault - MPSI
• Tâchons de comprendre ce à quoi ressemble la base canonique deM (K) dans le cas où n = 3 et p = 2. Il s’agit ni plusn,p
6ni moins de la base canonique deK écrite convenablement sous forme matricielle. Par définition :           
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0           E = 0 0 , E = 1 0 , E = 0 0 , E = 0 0 , E = 0 1 et E = 0 0 .11 21 31 12 22 32
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
Pour toue matrice A∈M (K), les coordonnées de A dans la base canonique sont (a ,a ,a ,a ,a ,a ) car :3,2 11 21 31 12 22 32 
a a11 12 A = a a =a E +a E +a E +a E +a E +a E .21 22 11 11 21 21 31 31 12 12 22 22 32 32
a a31 32
1.3 Produit matriciel
Définition (Produit matriciel) Soient A∈M (K) et B∈M (K). Par définition, le produit de A par B, noté A×B oup,q q,r !
qX
AB, est la matrice a b de taille p×r.ik kj  
16i6pk=1 b b b16j6r 11 12 1r      b21 b22 b2r     . . . . . . . . .    
b b bProduit q1 q2 qr
et somme   q q q X X X
a a b a b a ba a 1q 1k k1 1k k2 1k kr11 12      k=1 k=1 k=1      
q q q   X X X   
a b a b a b a a a   2k k1 2k k2 2k kr 21 22 2q      k=1 k=1 k=1             . . . . . . . . .   . . . . . .. . .         
q q q   X X X   
a b a b a ba a a pk k1 pk k2 pk krp1 p2 pq
k=1 k=1 k=1
L’illustration ci-dessus fournit la méthode pratique de calcul du produit de deux matrices. Cela dit, sur une copie, vous n’êtes
pas autorisés à écrire ainsi les matrices les unes au-dessus des autres.
$$$ Attention !
• Le produit d’une matrice de taille p×q par une matrice de taille q×r est une matrice de taille p×r. Le produit de deux
matrices en général n’est cependant pas défini s’il n’y a pas, comme on dit, compatibilité des formats.
Matrice de taille p×q Matrice de taille q×r Matrice de taille p×r
• Le produit matriciel n’est pas commutatif — même en cas de compatibilité des formats! Exemple :
1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1
= = = .
0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1
0 1 1 1 0 0• Un produit de matrices peut être nul sans qu’aucune de ces matrices soit nulle. Exemple : = .
0 0 0 0 0 0
Explication Remarque fondamentale : tout système linéaire peut être écrit matriciellement de manière immédiate.      2x + y − 3z = 3 2 1 −3 x 3
3     5y + z = 2 0 5 1 y 2Par exemple, pour tout (x,y,z)∈R : ⇐⇒ = .
9x + 10y = 1 9 10 0 z 1
27
7
c Christophe Bertault - MPSI
Exemple Soient A∈M (K), i∈ J1,nK et j∈ J1,pK.n,p 
0
position j position i
. . .  ème Alors A× 1 est la j colonne de A, et 0 1 0 ×A sa ième ligne. Exemple très important!  .. .
0
Par convention, quand une matrice contient beaucoup de zéros, on omet souvent de les noter par souci de lisibilité.
 
1 1 
Définition (Matrice identité) On appelle matrice identité de taille n la matrice carrée I =  de taille n.n .. .
1
Théorème (Propriétés du produit matriciel)
• Associativité : Soient A∈M (K), B∈M (K), C∈M (K) et λ∈K.p,q q,r r,s
(AB)C =A(BC) et λ(AB) = (λA)B =A(λB).
• Bilinéarité : Soient A,B∈M (K), C∈M (K) et λ,∈K.p,q q,r
(λA+B)C =λAC +BC et C(λA+B) =λCA+CB.
• Elément neutre : Soit A∈M (K). I A =AI =A.n,p n p
Démonstration Contentons-nous de démontrer l’associativité du produit matriciel : (AB)C =A(BC). ! " # !
q r qX X X
Puisque AB = a b , alors (AB)C = a b c .ik kj ik kl lj
16i6p 16i6pk=1 l=1 k=1
16j6r 16j6s ! " #!
r q rX X X
De même, puisque BC = b c , alors A(BC) = a b c .il lj ik kl lj
16i6q 16i6pl=1 k=1 l=1
16j6s 16j6s
On obtient le résultat voulue en permutant les symboles de sommation dans (AB)C et A(BC).

p n
K −→ K
Définition (Application linéaire associée à une matrice) Soit A∈M (K). L’application estn,p X → AX
linéaire; on l’appelle l’application linéaire associée à A.
p Explication Dans cette définition, le vecteur X deK est considéré comme une matrice colonne, ce qui est possible
ppuisqueM (K) =K ; sans cela, le produit AX n’aurait pas de sens. De la même manière, la matrice colonne AX de taille np,1
n npeut être considérée comme un vecteur deK carM (K) =K .n,1

3 20 1 2 R −→ R
Exemple L’application linéaire associée à la matrice est .
3 4 5 (x,y,z) → (y +2z,3x+4y +5z)
1.4 Transposition
tDéfinition (Transposée) Soit A∈M (K). On appelle transposée de A la matrice (a ) deM (K), notée A.n,p ji 16i6p p,n
16j6n
   t λ1 3 5t 3 0 1  .   .Exemple = 0 2 et = λ λ .  1 n.5 2 7
1 7 λn
3c Christophe Bertault - MPSI
Explication
• La transposition échange les lignes et les colonnes. Intérêt de la manœuvre : montrer que certains résultats théoriques sur
les colonnes sont valable au sujet des lignes, et réciproquement.
• La transposition échange le nombre de colonnes et le nombre de lignes : la transposée d’une matrice de taille n×p est donc
une matrice de taille p×n. Chose intéressante : la transposée d’une matrice carrée est une matrice carrée de même taille.
Théorème (Propriétés de la transposition)
t t t• Linéarité : Soient A,B∈M (K) et λ,∈K. (λA+B) =λ A+ B.n,p
t t• Involutivité : Soit A∈M (K). A =A.n,p
t t t• Produit : Soient A∈Mp,q(K) et B∈Mq,r(K). (AB) = B A.
t t tDémonstration Seule l’assertion sur le produit mérite d’être démontrée. Posons C = (AB) et D = B A et
montrons que C et D ont les mêmes coefficients. Soit (i,j)∈ J1,rK× J1,pK. Il suffit d’observer qu’on a l’égalité
qX
suivante : c = a b =d — et pour faire cette observation, il faut réfléchir. ij jk ki ij
k=1
2 Représentation matricielle des familles de vecteurs
et des applications linéaires
2.1 Matrice d’une famille de vecteurs dans une base
Définition (Matrice d’une famille de vecteurs dans une base) Soient E un K-espace vectoriel de dimension n,
(e ,e ,...,e ) une base de E et (x ,x ,...,x ) une famille quelconque de vecteurs de E. Pour tout (i,j)∈ J1,nK×J1,pK, notons1 2 n 1 2 p
èmea la i coordonnée de x dans la base (e ,e ,...,e ).ij j 1 2 n
La matrice a , notée Mat (x ,x ,...,x ), est appelée matrice de la famille (x ,x ,...,x ) dans la baseij 16i6n 1 2 p 1 2 p
(e ,e ,...,en)16j6p 1 2
(e ,e ,...,e ).1 2 n x x x x1 2 j p
↓ ↓ ↓ ↓  ← ea a a a 111 12 1j 1p   a a a a ← e21 22 2j 2p 2    . . . . . . . .. . . .  
Mat (x ,x ,...,x ) =1 2 p 
(e ,e ,...,e )  1 2 n a a a a  ← ei1 i2 ij ip i   
. . . . . . . . . . . .  
a a a a ← en1 n2 nj np n
Coordonnées de x dans (e ,e ,...,e ), écrites en colonnej 1 2 n
Exemple
• Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie etB une base de E. Alors pour tout x∈ E, Mat(x) est la colonne des
B
coordonnées de x dansB.  
1 2  0 −14  • Si on noteB la base canonique deR , alors Mat (1,0,3,1),(2,−1,0,−1) = .4  3 0B4
1 −1
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c Christophe Bertault - MPSI
$$$ Attention ! Si on change la base dans laquelle on exprime la matrice d’une famille de vecteurs, il est bien évident
que la matrice en question change aussi. Dans l’exemple ci-dessous, on s’est contenté de modifier l’ordre des vecteurs :   
1 0 0 0 0 0   2 1 −1 1 0 0   
3 2 3 2   Mat (X +2X +1,X,X −X) = 0 0 1 et Mat (X +2X +1,X −X,X) = 0 1 0 .   
2 3 4 4 3 2(1,X,X ,X ,X ) (X ,X ,X ,X,1)   1 0 0 2 −1 1
0 0 0 1 0 0
Théorème (Toute matrice est égale à la matrice de ses colonnes dans la base canonique) Soit A∈M (K) den,p
colonnes C ,C ,...,C ∈M (K) rangées dans l’ordre naturel.1 2 p n,1
nSi on noteBn la base canonique deK , alors : A = Mat(C1,C2,...,Cp).
Bn
Démonstration Réfléchissez!
2.2 Matrice d’une application linéaire dans des bases
Définition (Matrice d’une application linéaire dans des bases) Soient E et F deuxK-espaces vectoriels de dimensions
respectives p et n,B = (e ,e ,...,e ) une base de E etC = (f ,f ,...,f ) une base de F. Soit en outre f∈L(E,F).1 2 p 1 2 n
On appelle matrice de f dansB etC et on note Mat(f) la matrice de la famille f(B) = f(e ),f(e ),...,f(e ) dans la base1 2 p
B,C
C = (f ,f ,...,f ) de F.1 2 n
f(e ) f(e ) f(e ) f(e )1 2 j p
↓ ↓ ↓ ↓ ← fa a a a 111 12 1j 1p   ←a21 a22 a2j a2p f2    . . . . . . . . . . . .   
Mat(f) = Mat f(B) = Mat f(e ),f(e ),...,f(e ) = 1 2 p
B,C C  (f ,f ,...,f )1 2 n ←a a a a  fi1 i2 ij ip i    . . . . . . . . . . . .  
←a a a a fn1 n2 nj np n
Coordonnées de f(e ) dans (f ,f ,...,f ), écrites en colonnej 1 2 n
Si E =F et siB =C, la matrice Mat(f) est simplement notée Mat(f).
B,B B
$$$ Attention ! Si on change les bases dans lesquelles on exprime la matrice d’une application linéaire, il est bien
évident que la matrice en question change aussi. Un exemple le montre un peu plus bas.
Exemple Si E est de dimension finie n et siB est une base de E, alors Mat(Id ) =I .E n
B

2 3
R −→ R
Exemple On note ϕ l’application linéaire etB etB les bases canoniques respectives de2 3
(x,y) → (x,x+y,y−x)
2 3 ′ ′ 2 3R etR . On pose égalementB = (0,1),(1,0) etB = (1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) , bases deR etR respectivement.2 3   
1 0 1 −1   Alors : Mat (ϕ) = 1 1 et Mat (ϕ) = 0 2 .
′ ′B ,B B ,B2 3
2 3−1 1 −1 0
En effet Pour la première matrice, déterminons les coordonnées de ϕ(1,0) et ϕ(0,1) dans la base canoniqueB3
3deR : ϕ(1,0) = (1,1,−1) et ϕ(0,1) = (0,1,1). Ce sont déjà les coordonnées voulues.
57
7
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c Christophe Bertault - MPSI
′Pour la deuxième matrice, déterminons les coordonnées de ϕ(0,1) et ϕ(1,0) dansB .3
ϕ(0,1) = (0,1,1) = (1,1,1)−(1,0,0) et ϕ(1,0) = (1,1,−1) =−(1,1,1)+2(1,1,0).
′Ainsi les coordonnées de ϕ(0,1) dansB sont (1,0,−1) et celles de ϕ(1,0) sont (−1,2,0).3

R [X] −→ R [X]4 5
Exemple On note T l’application linéaire et B et B les bases canoniques4 54 (3)P → X P +P(2)+P(−X) 
2 2 4 8 16 0 −1 0 0 0  0 0 1 0 0 respectives deK [X] etK [X]. Alors : Mat (T) = .4 5  
B ,B 0 0 0 −1 04 5   0 0 0 6 1
0 0 0 0 24
2 3 4En effet Il nous faut de déterminer les coordonnées des vecteurs T(1), T(X), T(X ), T(X ) et T(X ) dans la
2 3 4 5base (1,X,X ,X ,X ,X ), puis de les ranger convenablement dans un tableau.
2 2 2 2T(1) = 0+1+1 = 2, T(X) = 0+2+(−X) =−X +2, T X = 0+2 +(−X) = X +4,
3 4 3 3 4 3 4 4 4 4 5 4
T X =X ×6+2 +(−X) = 6X −X +8 et T X =X ×24X +2 +(−X) = 24X +X +16.
Théorème (Toute matrice est égale à la matrice de l’application linéaire qui lui est associée dans les bases
p n
K −→ K
canoniques) Soit A∈Mn,p(K). Nous savons que A peut être vue comme une application linéaire que
X → AX
nous notons aussi A.
p nSi on noteB etB les bases canoniques respectives deK etK , alors : A = Mat (A).p n
B ,Bp n
Démonstration Réfléchissez!
Théorème (Une application linéaire est entièrement déterminée par sa matrice dans des bases) Soient E et F
deuxK-espaces vectoriels de dimensions respectives p et n,B une base de E etC une base de F.( L(E,F) −→ M (K)n,p
Alors l’application est un isomorphisme deL(E,F) surM (K).n,pf → Mat(f)
B,C
En particulier, pour tous f,g∈L(E,F) et λ,∈K : Mat(λf +g) =λ Mat(f)+ Mat(g).
B,C B,C B,C
Démonstration
• La construction de la matrice d’une application linéaire rend « évidente » la linéarité de l’application Mat
B,C
du théorème : réfléchissez!
• Nous savons que : dimL(E,F) = dimE×dimF = np = dimM (K). Pour montrer que l’applicationn,p
Mat est bijective, il nous suffit donc de montrer qu’elle est injective.
B,C
• Soit f ∈ Ker Mat. Alors Mat(f) = 0 . Notons e ,e ,...,e les vecteurs de B, dans l’ordre. ParM (K) 1 2 pn,p
B,C B,C
définition de la matrice d’une application linéaire, f(e ) a toutes ses coordonnées nulles dans la baseC pourj
tout j∈ J1,pK, donc f(e ) = 0 . A fortiori, par linéarité,B étant une base de E, f est nulle. j F
Théorème (Règles de calcul pour passer d’un point de vue vectoriel à un point de vue matriciel, et vice versa)
(i) Soient E et F deuxK-espaces vectoriels de dimension finie,B une base de E etC une base de F.
Soient en outre u∈L(E,F), x∈ E et y∈ F. Si on pose U = Mat(u), X = Mat(x) et Y = Mat(y), alors :
B,C B C
y =u(x) ⇐⇒ Y =UX.
(ii) Soient E ,E ,E troisK-espaces vectoriels de dimension finie, de bases respectivesB ,B ,B .1 2 3 1 2 3
Soient en outre f∈L(E ,E ) et g∈L(E ,E ). Alors :1 2 2 3
Mat (g◦f) = Mat (g)× Mat (f).
B ,B B ,B B ,B1 3 2 3 1 2
6c Christophe Bertault - MPSI
Explication Théorème fondamental s’il en est!
• Dans l’assertion (i), on rappelle que Mat(x) est la colonne des coordonnées de x dansB; même chose pour Mat(y).
B C
Cette assertion montre que le calcul de u(x) (point de vue vectoriel) est équivalent au calcul du produit matriciel UX
(point de vue matriciel); précisément, UX est le vecteur des coordonnées de u(x) dans la baseC. Ceci va nous permettre
de profiter du calcul matriciel pour parler des applications linéaires abstraites en dimension finie.
• L’assertion (ii) montre que le produit matriciel et la composition des applications linéaires sont deux faces d’une même
pièce. Le produit est aux matrices ce que la composition est aux applications linéaires.
Démonstration
(i) Introduisons les vecteurs deB etC : B = (e ,e ,...,e ) et C = (f ,f ,...,f ).1 2 p 1 2 n !
n p n p n p nX X X X X X X
y =u(x) ⇐⇒ y f =u x e ⇐⇒ y f = x u(e ) ⇐⇒ y f = x u fi i j j i i j j i i j ij i
i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 !
p pn nX X X X
⇐⇒ y f = u x f ⇐⇒ ∀i∈ J1,nK, y = u x ⇐⇒ Y =UX.i i ij j i i ij j
i=1 i=1 j=1 j=1
(ii) Posons A = Mat (f), B = Mat (g) et C = Mat (g◦f). Nous devons montrer que BA = C, i.e. que C
B ,B B ,B B ,B1 2 2 3 1 3
et BA ont les mêmes colonnes.
èmeFixons j∈ J1,nK, où n = dimE , et notons e le j vecteur deB et E la matrice des coordonnées de1 j 1 j
e dansB . D’après (i), AE est la colonne des coordonnées de f(e ) dansB , donc BAE la colonne desj 1 j j 2 j
coordonnées de g◦f(e ) dansB , qui est aussi égale à CE . Conclusion : BAE =CE .j 3 j j j 
0.. . 
ème Or E est la colonne 1 où le coefficient 1 est placé en j position. Nous avons déjà vu qu’alors BAEj j  ...
0
ème ème èmeest la j colonne de BA et CEj la j de C. Conclusion : BA et C ont la même j colonne.
 
4 0 0√
3 3  Exemple On note R l’endomorphisme deR dont la matrice dans la base canonique deR est 0 1 − 3 .√
0 − 3 3 √
Alors Ker R =Vect (0, 3,1) .
3En effet Soit (x,y,z)∈R .     
4 0 0 x 0√    (x,y,z)∈Ker R ⇐⇒ R(x,y,z) = (0,0,0) ⇐⇒ 0 1 − 3 y = 0√
0 − 3 3 z 0 4x = 0 √ x = 0√⇐⇒ y − 3z = 0 ⇐⇒√ y = 3z.− 3y + 3z = 0 √
Comme annoncé, Ker R =Vect (0, 3,1) .
 
0 0 1 −1 −1 1 1 −1 Exemple L’endomorphisme θ deR [X] dont la matrice dans la base canonique deR [X] est Θ = est la3 3  0 2 1 −2
−1 2 1 −2
3 2 2 3 3 2symétrie par rapport à Vec(X +X +X,X +1) parallèlement à Vect(X +X +1,X +X ).
En effet
2• Par définition, θ est linéaire. Montrer que θ est une symétrie revient donc à montrer que θ = Id . D’unR [X]
3
2point de vue matriciel, cela revient donc à dire que Θ =I — égalité que l’on vérifie aisément.4
• Cherchons le sous-espace vectoriel deR [X] par rapport auquelθ est unesymétrie, à savoirKer(θ−Id ).3 R [X]3
3 2Pour tout P =aX +bX +cX +d∈R [X] :3    
d d  b − a = d  c c − d + c + b − a = c   P∈Ker(θ−Id ) ⇐⇒ θ(P) =P ⇐⇒ Θ = ⇐⇒R [X]3    b b 2c + b − 2a = b
aa − d + 2c + b − 2a = a
7c Christophe Bertault - MPSI
 − d + b − a = 0  − d + b − a = 0 − d + b − a = 0⇐⇒ ⇐⇒ c − a = 0 c − a = 0 − d + 2c + b − 3a = 0
a = λ
b = λ+ 3 2 2⇐⇒ ∃ λ,∈R/ . Ainsi Ker(θ−Id ) =Vec(X +X +X,X +1).R [X]3 c = λ
d =
Dans cet exemple, on travaille dans la base canonique deR [X], c’est pourquoi la colonne des coordonnées3 
d c de P est tout simplement . Dans une autre base, le calcul aurait été plus délicat. b
a
3 3 2• On montre de la même manière queKer(θ +Id ) =Vect(X +X +1,X +X ).R [X]3
3 Etude de l’anneau M (K)n
3.1 L’anneau M (K)n
Le produit de deux matrices carrées de taille n est une matrice carrée de taille n : la multiplication des matrices est donc une
k foisz }| {
kloi de composition interne surM (K). Si A∈M (K) et k∈N, nous pouvons donc noter A la matrice A×A×...×A, avecn n
∞ ∞X X
k k0la convention A =I . Il a dès lors un sens, pour tout P = p X ∈K[X], de noter P(A) la matrice p A (somme finie).n k k
k=0 k=0
Le théorème suivant est une conséquence immédiate des résultats démontrés précédemment. Quant aux formules qui le
suivent, on les démontrerait ici comme on l’a fait dansC en début d’année.

Théorème (AnneauM (K)) M (K),+,× est un anneau d’élément neutre I pour la multiplication. Pour n> 2, cetn n n
anneau n’est ni commutatif ni intègre.
Théorème (Deux formules à connaître) Soient A,B∈M (K). On suppose que A et B commutent. Alors pour toutn
k∈N : !
kX kk i k−i(A+B) = A B (formule du binôme de Newton)
i
i=0
k−1X
k k i k−i−1
et A −B = (A−B) A B .
i=0
$$$ Attention ! L’hypothèse que A et B commutent n’est pas là pour décorer!
   
1 1 2 1 k 2k
k   Exemple On pose A = 0 1 0 . Alors pour tout k∈N : A = 0 1 0 .
0 0 1 0 0 1  
0 1 2 En effet Pour calculer les puissances de A, écrivons A = I + J avec J = 0 0 0 . Bien sûr, I et J3 3
0 0 0
2 icommutent car I commute avec toute matrice carrée de taille 3, et on remarque que J = 0, donc que J = 03   !
k 1 k 2kX kk i k−i  pour tout i> 2. Par conséquent, pour tout k∈N : A = I J =I +kJ = 0 1 0 .33i
i=0 0 0 1
87
7
7
7
c Christophe Bertault - MPSI
Théorème (Les anneauxL(E) etM (K) sont isomorphes) Soient E un K-espace vectoriel de dimension n etB unen(
L(E) −→ M (K)n
base de E. Alors l’application est un isomorphisme d’anneaux.f → Mat(f)
B
Démonstration Cette application, on l’a déjà vu, est un isomorphisme linéaire, donc une bijection et un
morphisme de groupes pour l’addition. Nous avons également vu qu’elle préserve les produits — c’est ce que dit
la formule « Mat(g◦f) = Mat(g)×Mat(f) » — et enfin : Mat(IdE) =In.
B B B B
3.2 Matrices inversibles
Définition (Matrice inversible et inverse, groupe linéaire)
• Soit A∈M (K). On dit que A est inversible (dansM (K)) si A est inversible (pour la multiplication) dans l’anneaun nM (K),+,× , i.e. s’il existe une matrice B∈M (K) telle que AB =BA =I .n n n
−1On sait déjà qu’une telle matrice B, si elle existe, est unique, notée A et appelée l’inverse de A.
• Si A,B∈M (K) sont deux matrices inversibles :n
−1 −1 −11) A est inversible et (A ) =A;
−1 −1 −1 −1 −12) AB est inversible et (AB) =B A — et non pas A B !
k k −1 −1 k3) pour tout k∈Z, A est inversible et (A ) = (A ) ; −1t t t −14) A est inversible et A = A .
• L’ensemble des matrices inversibles deM (K) est notéGL (K). Alors GL (K),× est un groupe d’élément neutre In nn n
appelé le groupe linéaire de degré n sur K.
Pour toutK-espace vectorielE de dimension n et pour toute baseB deE, la restriction àGL(E)de l’isomorphisme d’anneaux( (
L(E) −→ M (K) GL(E) −→ GL (K)n n
est un isomorphisme de groupes .f → Mat(f) f → Mat(f)
B B
Démonstration Nous devons seulement prouver 4), car les assertions 1), 2) et 3) sont des vérités générales de
t t −1 t −1 t t −1 tla théorie des anneaux. Vérification : A× A = A A = I =I et de même A × A =I . n n n
A
$$$ Attention ! La notation , où A et B sont deux matrices, est rigoureusement interdite, même lorsque B est
B
−1 −1inversible. Quel en serait le sens : AB ou B A? Deux matrices ne commutent pas en général...
Théorème (AB = I suffit) Soient A,B∈M (K) telles que AB = I . Alors A et B sont inversibles, inverses l’une den n n
l’autre.
Explication En principe, montrer que A est inversible revient à montrer l’existence d’une matrice B telle que
AB =I et BA =I . Ce théorème montre que l’une ou l’autre des assertions suffit en réalité, ce qui est bien pratique.n n
M (K) −→ M (K)n nDémonstration L’application β : est un endomorphisme deM (K). OrM (K)n n
M → BM
est de dimension finie, donc il nous suffit d’établir l’injectivité de β pour avoir sa bijectivité. Or en effet β est
injective, car pour tout M∈Ker β : M =I M = (AB)M =A(BM) =Aβ(M) =A×0 = 0.n
′ ′La bijectivité de β montre alors en particulier que pour une certaine matrice A ∈M (K), β(A ) =I . Or en fait :n n
′ ′ ′ ′ ′A =I A = (AB)A =A(BA ) = Aβ(A ) =AI =A. Bref : AB =BA =I comme voulu. n n n

a c
Théorème (Inversibilité des matrices carrées de taille 2) Soient a,b,c,d∈ K. On appelle déterminant de ,
b d

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