cours puissance 2005

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PUISSANCE01/12/2005Notions générales (tests)• Problème :– 2 gênes A et B.– chaque personne possède l’un ou l’autre.– y’a-t-il autant de A que de B dans la population générale ?• Analyse :– impossibilité de tester tout le monde.– regarder la répartition de A et B sur un échantillon de population.– impossible de prouver l’égalité de A et B dans la population générale à partir de ce qu’on observe sur l’échantillon.– mais plus le nombre de A et B est différent dans l’échantillon, plus il est plausible qu’il n’y ait pas égalité dans la population générale.Notions générales (tests)• Exemple :– 1er cas: on observe deux tiers de A.– 2ème cas: on observe trois quarts de A.– l’égalité de A et B dans la population générale est moins plausible dans le 2ème cas que dans le premier.– en effet, la probabilité d’observer trois quarts de A sur un échantillon quand il y a autant de A que de B dans la populationest plus faible que la probabilité d’observer deux tiers de A.Notions générales (tests)• Exemple (échantillon de 10 personnes)0,300,250,250,21 0,210,200,150,12 0,120,100,04 0,040,050,01 0,010,00 0,000,00012345678910nombre de AprobabilitéNotions générales (tests)• Exemple (suite) :– 3ème cas: on observe 60% de A, l’échantillon est de 10 personnes.– 4ème cas: idem, mais dans un échantillon est 1 000 personnes.– la non-égalité de A et B dans la population générale est plus plausible dans le 4ème cas que dans le 3ème.– en effet, la ...

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PUISSANCE
01/12/2005Notions générales (tests)
• Problème :
– 2 gênes A et B.
– chaque personne possède l’un ou l’autre.
– y’a-t-il autant de A que de B dans la population générale ?
• Analyse :
– impossibilité de tester tout le monde.
– regarder la répartition de A et B sur un échantillon de population.
– impossible de prouver l’égalité de A et B dans la population
générale à partir de ce qu’on observe sur l’échantillon.
– mais plus le nombre de A et B est différent dans l’échantillon, plus
il est plausible qu’il n’y ait pas égalité dans la population générale.Notions générales (tests)
• Exemple :
– 1er cas: on observe deux tiers de A.
– 2ème cas: on observe trois quarts de A.
– l’égalité de A et B dans la population générale est moins plausible
dans le 2ème cas que dans le premier.
– en effet, la probabilité d’observer trois quarts de A sur un
échantillon quand il y a autant de A que de B dans la population
est plus faible que la probabilité d’observer deux tiers de A.Notions générales (tests)
• Exemple (échantillon de 10 personnes)
0,30
0,25
0,25
0,21 0,21
0,20
0,15
0,12 0,12
0,10
0,04 0,04
0,05
0,01 0,01
0,00 0,00
0,00
012345678910
nombre de A
p
r
o
b
a
b
ilit
éNotions générales (tests)
• Exemple (suite) :
– 3ème cas: on observe 60% de A, l’échantillon est de 10 personnes.
– 4ème cas: idem, mais dans un échantillon est 1 000 personnes.
– la non-égalité de A et B dans la population générale est plus
plausible dans le 4ème cas que dans le 3ème.
– en effet, la probabilité d’observer 60% de A sur un échantillon est
d’autant plus faible que l’échantillon est grand (quand il y a autant
de A que de B dans la population).
– plus un écart donné est observé sur un grand échantillon, plus il est
plausible qu’il n’y ait pas égalité dans la population générale.Notions générales (tests)
• Exemple (échantillon de 5 personnes)
0,35
0,3125 0,3125
0,3
0,25
0,2
0,1562 0,1562
0,15
0,1
0,0312 0,0312
0,05
0
012345
nombre de A
p
r
ob
ab
i
l
i
t
éNotions générales (tests)
• Exemple (suite) :
– 5ème cas: on observe 50% de A exactement.
– 6ème cas: on observe 100% de A.
– l’égalité de A et B dans l’échantillon ne prouve pas l’égalité dans
la population (la probabilité d’observer 50% de A sur un
échantillon n’est pas nulle s’il y a déséquilibre dans la population.
Ex: s’il y a 30% de A dans la population, la probabilité d’avoir 5
A sur un échantillon de 10 personnes est de 10%).
– n’observer que des A dans l’échantillon ne prouve pas la non
égalité dans la population (en cas d’égalité dans la population,
observer 100% de A dans un échantillon est improbable, mais pas
impossible. Ex: 0,1% sur un échantillon de 10 personnes).Notions générales (tests)
• Principes :
– hypothèse dans la population (classiquement, l’égalité).
– observation sur un échantillon.
– que déduire de l’observation, concernant l’hypothèse.
– on ne peut jamais la prouver ou l’infirmer.
– mais sous l’hypothèse de départ, on peut probabiliser l’ensemble
des observations possibles, et associer un niveau de probabilité à
l’observation sous l’hypothèse de départ.
– plus ce niveau de probabilité est faible, moins l’hypothèse de
départ est plausible.
– on définit un seuil de probabilité en dessous duquel on conclura
que l’hypothèse de départ est rejetée (avec une petite probabilité de
se tromper donc) : risque de première espèce.Notions générales (tests)
• Risque de première espèce: probabilité de rejeter à tort
l’hypothèse posée (donc de conclure qu’elle est fausse au vu de
l’échantillon, alors qu’elle est vraie).
• En général, on prend un risque de première espèce (α) de 5%.
• On rejette donc l’hypothèse posée si ce qu’on a observé fait
partie des « 5% de résultats (extrêmes) les plus improbables ».
• On rejette l’hypothèse s’il y a « des éléments forts pour le
faire ».Notions générales (tests)
• Retour à l’exemple (échantillon de 10 personnes, risque de
première espèce à 10%) :
0,30
0,25
0,25
zone de rejet
zone de rejet
0,21 0,21
0,20
0,15
0,12 0,12
0,10
0,04 0,04
0,05
0,01 0,01
0,00 0,00
0,00
012345678910
nombre de A
probabilité