cours puissance 2005

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• Publié par: Orzu
• Nombre de lectures: 15
• Langue: Français

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PUISSANCE
01/12/2005Notions générales (tests)
• Problème :
– 2 gênes A et B.
– chaque personne possède l’un ou l’autre.
– y’a-t-il autant de A que de B dans la population générale ?
• Analyse :
– impossibilité de tester tout le monde.
– regarder la répartition de A et B sur un échantillon de population.
– impossible de prouver l’égalité de A et B dans la population
générale à partir de ce qu’on observe sur l’échantillon.
– mais plus le nombre de A et B est différent dans l’échantillon, plus
il est plausible qu’il n’y ait pas égalité dans la population générale.Notions générales (tests)
• Exemple :
– 1er cas: on observe deux tiers de A.
– 2ème cas: on observe trois quarts de A.
– l’égalité de A et B dans la population générale est moins plausible
dans le 2ème cas que dans le premier.
– en effet, la probabilité d’observer trois quarts de A sur un
échantillon quand il y a autant de A que de B dans la population
est plus faible que la probabilité d’observer deux tiers de A.Notions générales (tests)
• Exemple (échantillon de 10 personnes)
0,30
0,25
0,25
0,21 0,21
0,20
0,15
0,12 0,12
0,10
0,04 0,04
0,05
0,01 0,01
0,00 0,00
0,00
012345678910
nombre de A
p
r
o
b
a
b
ilit
éNotions générales (tests)
• Exemple (suite) :
– 3ème cas: on observe 60% de A, l’échantillon est de 10 personnes.
– 4ème cas: idem, mais dans un échantillon est 1 000 personnes.
– la non-égalité de A et B dans la population générale est plus
plausible dans le 4ème cas que dans le 3ème.
– en effet, la probabilité d’observer 60% de A sur un échantillon est
d’autant plus faible que l’échantillon est grand (quand il y a autant
de A que de B dans la population).
– plus un écart donné est observé sur un grand échantillon, plus il est
plausible qu’il n’y ait pas égalité dans la population générale.Notions générales (tests)
• Exemple (échantillon de 5 personnes)
0,35
0,3125 0,3125
0,3
0,25
0,2
0,1562 0,1562
0,15
0,1
0,0312 0,0312
0,05
0
012345
nombre de A
p
r
ob
ab
i
l
i
t
éNotions générales (tests)
• Exemple (suite) :
– 5ème cas: on observe 50% de A exactement.
– 6ème cas: on observe 100% de A.
– l’égalité de A et B dans l’échantillon ne prouve pas l’égalité dans
la population (la probabilité d’observer 50% de A sur un
échantillon n’est pas nulle s’il y a déséquilibre dans la population.
Ex: s’il y a 30% de A dans la population, la probabilité d’avoir 5
A sur un échantillon de 10 personnes est de 10%).
– n’observer que des A dans l’échantillon ne prouve pas la non
égalité dans la population (en cas d’égalité dans la population,
observer 100% de A dans un échantillon est improbable, mais pas
impossible. Ex: 0,1% sur un échantillon de 10 personnes).Notions générales (tests)
• Principes :
– hypothèse dans la population (classiquement, l’égalité).
– observation sur un échantillon.
– que déduire de l’observation, concernant l’hypothèse.
– on ne peut jamais la prouver ou l’infirmer.
– mais sous l’hypothèse de départ, on peut probabiliser l’ensemble
des observations possibles, et associer un niveau de probabilité à
l’observation sous l’hypothèse de départ.
– plus ce niveau de probabilité est faible, moins l’hypothèse de
départ est plausible.
– on définit un seuil de probabilité en dessous duquel on conclura
que l’hypothèse de départ est rejetée (avec une petite probabilité de
se tromper donc) : risque de première espèce.Notions générales (tests)
• Risque de première espèce: probabilité de rejeter à tort
l’hypothèse posée (donc de conclure qu’elle est fausse au vu de
l’échantillon, alors qu’elle est vraie).
• En général, on prend un risque de première espèce (α) de 5%.
• On rejette donc l’hypothèse posée si ce qu’on a observé fait
partie des « 5% de résultats (extrêmes) les plus improbables ».
• On rejette l’hypothèse s’il y a « des éléments forts pour le
faire ».Notions générales (tests)
• Retour à l’exemple (échantillon de 10 personnes, risque de
première espèce à 10%) :
0,30
0,25
0,25
zone de rejet
zone de rejet
0,21 0,21
0,20
0,15
0,12 0,12
0,10
0,04 0,04
0,05
0,01 0,01
0,00 0,00
0,00
012345678910
nombre de A
probabilité