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R´eseaux et applicationsChristophe Ritzenthaler26 novembre 2007n1 Sous-groupes discrets de RCeci est tir´e de [Sam].n nD´efinition 1.1. Un sous-groupe additif Γ de R est discret ssi pour tout compact K de R ,Γ∩K est fini.nTh´eor`eme 1.1. Soit Γ un sous-groupe discret deR . Alors Γ est engendr´e commeZ-modulepar r vecteurs lin´eairement ind´ependants sur R (r≤n). L’entier r s’appelle le rang de Γ.Fig. 1 – Example de r´eseaun nD´efinition 1.2. Un sous-groupe discret de R est appel´e un r´eseau de R . Un sous-groupendiscret de R de rang n est appel´e un r´eseau maximal.rRemarque 1. Il peut ˆetre utile de consid´erer un r´eseau (abstrait) de rang r et R l’espacevectoriel engendr´e par les g´en´erateurs du r´eseau. On peut ainsi toujours se ramener au casd’un r´eseau maximal.n nExemple 1. Soit M une matrice de taille (s,n) et Γ =, le r´eseau de R engendr´epar les vecteurs colonnes de M. On a rg(M) = rg(Γ). Si les coefficients de M sont entiers,nc’est un r´eseau inclus dans le r´eseau Z .nApplication 1.1 ([Sam, p.66]). Soit t = (ϑ ,...,ϑ )∈R tel que l’un au moins des ϑ soit1 n i∗irrationnel. Pour tout > 0, il existe p ∈Z et q∈N tels que|qϑ −p|≤.i i iRemarque 2. Remarquons que l’intercalation de ϑ entre deux multiples cons´ecutifs de 1/qidonne seulement|ϑ −p /q|≤ 1/2q. De plus il n’est pas utile de prendre un ϑ irrationnel.i i iS’ils sont tous rationnels, on cr´ee un vecteur de longueur n + 1 en rajoutant un ´el´ementirrationnel et le r´esultat est ...

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Extrait

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R´eseauxetapplications

Christophe Ritzenthaler

26novembre2007

n Sous-groupes discrets deR

Ceciesttire´de[Sam]. n n De´finition1.1.Un sous-groupe additifΓdeRest discret ssi pour tout compactKdeR, Γ∩Kest fini.

n The´or`eme1.1.SoitΓun sous-groupe discret deR. AlorsΓtsemeomecr´ndgeenZ-module parrilsrae´nmeriitneveeuctnd´ependantssurR(r≤n). L’entierrs’appelle lerangdeΓ.

Fig.–1delpmaxEseauer´e

n n D´efinition1.2.Un sous-groupe discret deRunseppta´eelr´eaesudeR. Un sous-groupe n discret deRde rangnue´leppatsenlmaximaause´er. r Remarque 1.rceornuslied´deeseeuatuinˆre´terretpitaua(slbIargn)tedretRl’espace vectorielengendre´parlesg´en´erateursdur´eseau.Onpeutainsitoujoursserameneraucas d’unre´seaumaximal. n n Exemple 1.SoitMune matrice de taille(s, n)etΓ =< MZ>e,dlree´esuaRneegndr´e par les vecteurs colonnes deM. On a rg(M) =rg(Γ). Si les coefficients deMsont entiers, n c’estunr´eseauinclusdansler´eseauZ. n Application 1.1([Sam, p.66]).Soitt= (ϑ 1 , . . . , ϑ n )∈Rtel que l’un au moins desϑ i soit ∗ irrationnel. Pour tout >0, il existep i ∈Zetq∈Ntels que|qϑ i −p i | ≤.

Remarque 2.Remarquons que l’intercalation deϑ i umtuilftsidpelenstcroendse´uecxe1/q donne seulement|ϑ i −p i /q| ≤1/2q. De plus il n’est pas utile de prendre unϑ i irrationnel. S’ilssonttousrationnels,oncre´eunvecteurdelongueurn+ 1e´letnemenrajoutantun´ irrationneletler´esultatestencorevalable.

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Proprie´t´es

alg´ebriques

2.1 Rappel SoitAun anneau principal. SoitMunA-module de type fini. Th´eore`me2.1.r´esultatssuivants.nOlase tors 1. SiMest le sous-module de torsion deMmesndelbe´seme´lents.e(i’e.lm∈Mtels torsn qu’il existea∈A\ {0}etam= 0), alors il existe unn≥0tel queM'M×A. 2. SiMest libre alors tout sous-module deMt.ense’legt´emal n 3. SiMest de torsion, il existe unn >0et un sous-module (libre)LdeAtel que n M'A /L. Lepoint(3)montrequel’e´tudedesmodulesdetorsionserame`nea`l’e´tudedessous- modules libres d’un module libre.

The´or`eme2.2adaee´tpledesabae)t(`rme´hoe.SoitMunA-module libre de rangnetN un sous-module deM. Alors il existe une basee 1 , . . . , e n deM, un unique entierr≤net uneuniquefamilled’id´eaux(a 1 ), . . . ,(a r )s`itdu´eonrna0ocala`sinoitidnumsoet(a 1 )⊂ . . .⊂(a r )tels quea 1 e 1 , . . . , a r e r est une baseN. Remarque 3.Dans le cas,A=Zi.finepytedsneile´basoupeesgruredructaltseitnontbo En voici la version matricielle.

Th´eor`eme2.3.SoitM= (m ij )∈M s,n (A). Il existe un unique entierr=rg(M)et une suitea 1 |. . .|a r ´el´d’tsdeemenAunslnnouqaeu,ininuxrsveleibr`spetseeuqlM=P N Qavec P∈GL s (A),Q∈GL n (A)et   a 1 0. . .0 . . . . 0 . . . N=.    .a. . . r 0 0. . .0 0

On noteM∼N. Remarque 4.Il y a deux matrices de changements de base. En effetQopdna`nuocrrse n changementdebasedur´eseauAetPemtnedabnuhcnaeg`arapiudeafin´eduseesr´M.

Donnons dans le casAeuclidien de stathmevrpcoaleuqsnouqrame.Rvetieceffredu´e l’e´quivalenceautorisetouteslesop´erationssurleslignesetlescolonnes.Soitv(M) = inf{v(m ij ), m ij 6= 0}. On suppose quev(M) est atteint pourm 11 . 1. Si il existejtel quem 11 -m 1j . On fait la division euclidiennem 1j =qm 11 +ravec v(r)< v(m 11 ). On remplace alorsm 11 par le resterimerere`Onfa.lcpaaeevˆmmetied colonne.Etonit`ere. 2. Sim 11 |m 1j etm 11 |m i1 talorsonrempla¸canC j ←C j −m 1j /m 11 C 1 puisL i ←L i − m i1 /m 11 L 1 , on obtient   m 11 0. . .0 0∗. . .∗ M∼   . . .   . . . . 0∗. . .∗

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3. Sim 11 -m ij ,L 1 ←L 1 +L i et on fait donc baisser la valeur dev(M) en utilisant le point (1). 4. Quandm 11 |m ij no,lppannea.ettuaimrepner´u´ecrdtesoc´edureiquelapr Remarque 5.On aa 1 = gcd(m ij ),

m i 1 j 1 a 1 a 2 = gcd  m i 2 j 1

m i 1 j 2  m i 2 j 2

etplusg´ene´ralementenremplac¸antparlepgcddesmineursdetaillei.

Application 2.1. de similitude sont −1 (i.e.M=PP N

Calcul des invariants de similitude : siMest une matrice, ses lesinvariantsd’e´quivalencedeM−XI. Deux matrices sont )sietseulementsiellesontmeˆmesinvariantsdesimilitude.

invariants semblables

2.2Applicationauxre´seaux Th´eor`eme2.4.SoitΓ,Λrxueese´txuaqsleuedΓ⊂Λ. Il existe uneZ-base deΛ,e 1 , . . . , e n eta 1 , . . . , a r evce`asuesauniqneprusigreitneseslunnonsdr≤neta 1 |. . .|a r tels que a 1 e 1 , . . . , a p e r est une base deΓ.

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Re´seauxavecunemesure

n SoitΓunr´eseaumaximaledeRete 1 , . . . , e n une base de Γ. Soitµla mesure de Lebesgue n dansR. P D´efinition3.1.Le volume deΓestµ(Γ) =µ({α i e i , α i ∈[0,1]}). Cettenotionestbiend´efiniepuisqueleschangementsdebasesontdes´ele´mentsdeM∈ GL n (Z) et que sif 1 , . . . , f n erapenn´eaudo´eseedurbesaevllneuotsnuf i =M e i alors X X µ({α i f i , α i ∈[0,1]}) =|det(M)| ∙µ({α i e i , α i ∈[0,1]}).

D’autre part, siHest la matrice des vecteurse i , on aµ(Γ) =|det(H)|. n Remarque 6.Soit 1 , . . . ,  n la base canonique deR. SoitS= (< e i , e j >) ij etT= (<  i , e j >) ij ). Alors p t S=T∙µT , det((Γ) = S).

Proposition 3.1.SiΛ⊂Γntsouxdeesr´laroaexusΓ/Λest fini et

µ(Λ) = #(Γ/Λ)∙µ(Λ).

n Th´eore`me3.1(Minkowski).SoitΓ⊂Rxamilater´eseaumunSune partie mesurable, n syme´triqueparrapport`a0et convexe deR. On suppose que n – soitµ(S)>2µ(Γ), n – ouµ(S)≥2µ(Γ)etSest compacte alorsS∩Γcontient un autre point que0.

Application 3.1.1. Toutpeimerpa`urgnocr1modulo4uecxdedese.ra´rmmsoste 2.Tout´el´ementdeN29].eqedtruastemmsouaT[3.p,racese´r 3.Plusloin:finitudedugroupedesclassesd’id´eauxetthe´ore`medesunit´es.

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