Cours sur l'espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle

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Chapter 2
Espace de probabilit´e, ind´ependance et
probabilit´e conditionnelle
Sommaire
2.1 Tribu et ´ev´enements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Premi`eres propri´et´es utiles pour les calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Ind´ependance d’´ev´enements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Probabilit´e conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Objectifs:
• Mod´eliser une exp´erience al´eatoire, c’est-a`-dire construire un espace Ω des issues possibles (un univers) de
l’exp´erience al´eatoire, et le munir d’un outil (une probabilit´e) permettant de mesurer la chance d’obtenir par
cette exp´erience un r´esultat donn´e, ou un ensemble de r´esultats donn´es.
• Formaliser la notion d’ind´ependance entre deux ´ev´enements, et introduire la notion de probabilit´e conditionnelle.
Mots-cl´es:
• ensemble d´enombrable.
• univers, tribu, probabilit´e, espace de probabilit´e.
• ´ev´enement, ´ev´enement ´el´ementaire, ´ev´enements disjoints.
• ind´ependance, probabilit´e conditionnelle.
Outils:
• formule d’inclusion-exclusion, formule des probabilit´es totales, formule de Bayes.
• axiomes et propri´et´es d’une probabilit´e.
Techniques de d´emonstration: Proc´ed´e de la diagonale de Cantor.6
6
Pour mod´eliser une exp´erience al´eatoire, on introduit un espace de probabilit´e (Ω,F,P) compos´e de trois
´el´ements: un ensemble Ω, appel´e univers, une famille F de parties de Ω qui doit v´erifier un certain nombre
de propri´et´es et qu’on appellera une tribu, et enfin une probabilit´e, que l’on va aussi d´efinir.
BExemple: lancer d’un d´e a` six faces non truqu´e. On mod´elise cette exp´erience par l’univers Ω ={1,2,3,4,5,6},
1muni de la probabilit´e uniforme P({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) = P({5}) = P({6}) = . Ceci permet de
6
1calculer par exempleP(r´esultat divisible par trois) =P({3,6})= .
3
On voudrait g´en´eraliser ce cas que vous connaissez bien (le cas fini ´equiprobable) pour pouvoir consid´erer des
exp´eriences al´eatoires plus g´en´erales.
Pr´eliminaires: d´enombrabilit´e
D´efinition 2.1 Un ensemble E est dit d´enombrable si et seulement si on peut trouver une bijection entre E etN.
Remarque: une bijection de N dans E est appel´ee une ´enum´eration des ´el´ements de E. Autrement dit, un
ensemble est d´enombrable si on peut num´eroter ses ´el´ements avec les entiers naturels.
B Exemple: N,Z sont d´enombrables.
Proposition 2.2 i) Toute partie d’un ensemble d´enombrable est finie ou d´enombrable.
ii) Un produit cart´esien fini de N ensembles finis ou d´enombrables est fini ou d´enombrable.
iii) Une union finie ou d´enombrable d’ensembles finis ou d´enombrables est finie ou d´enombrable.
D´emonstration: On admet ces propri´et´es.
p
B Exemple: N ,Q sont d´enombrables.
NProposition 2.3 {0,1} n’est pas d´enombrable.
D´emonstration: On utilise le proc´ed´e de la diagonale de Cantor. Raisonnons par l’absurde et
N Nsupposons que{0,1} est d´enombrable. On peut donc num´eroter ses ´el´ements{0,1} ={x ,x ,...}.0 1
NUn point de{0,1} est une suite de 0 et de 1: on note ainsi, pour tout i∈N,
x = (x ,x ,...) = (x ) .i i,0 i,1 i,j j∈N
NOn va maintenant construire un ´el´ement y = (y ) de {0,1} diff´erent de tout les x : on posej j∈N i(
0 si x = 1j,j∀j∈N, y =j
1 si x = 0j,j
NSoit i ∈ N: par construction, y = x , donc y = x ; cependant, y ∈ {0,1} . Ceci contredit donci i,i i
N{0,1} ={x ,x ,...}. 0 1
B Exemple: P(N),R ne sont pas d´enombrables.
142.1 Tribu et ´ev´enements
D´efinition 2.4 Soit Ω un ensemble. Une familleF de parties de Ω est appel´ee une tribu si elle v´erifie les propri´et´es
suivantes:
i) Ω est un ´el´ement de F,
cii) (stabilit´e par compl´ementaire) Si A est un ´el´ement de F, alors A est un ´el´ement de F,[
iii) (stabilit´e par union d´enombrable) Si les (A ) sont des ´el´ements de F, alors A est un ´el´ement de F.i i∈N i
i∈N
Remarque: Ce qui est important dans iii), c’est qu’on consid`ere une famille d´enombrable de parties de Ω, et non
pas une famille quelconque.
♠ Attention! une tribu sur Ω est un ensemble dont les ´el´ements sont des parties de l’ensemble Ω.
♣ Exercice: Soit Ω un ensemble muni d’une tribuF, et soit A et B deux ´el´ements deF.
Que sont A et B pour Ω?
Montrer que A∪B et A∩B sont des ´el´ements de F.
D´efinition 2.5 Soit Ω un ensemble muni d’une tribu F. Les ´el´ements de F sont appel´es des ´ev´enements.
Remarque: Remarquons que pour tout ensemble Ω, l’ensembleP(Ω) des parties de Ω est une tribu. Dans le cas
ou` Ω est fini ou d´enombrable, on prendra toujours comme tribu sur Ω la tribu F = P(Ω). Par contre, ce choix
est impossible quand on consid`ere un univers plus gros (c’est-`a-dire non d´enombrable) commeR (voir le cours de
licence 3`eme ann´ee). Dans ce cours, on ne s’attardera pas sur les tribus. Il est par contre important de retenir
quelles sont les op´erations permises a` l’int´erieur d’une tribu.
♣Exercice: Lancerd’un d´e`a 6 faces. Donner l’univers correspondantetl’´ev´enement”le r´esultatobtenuest pair”.
Proposition 2.6 Soit Ω un ensemble muni d’une tribu F.
i) ∅ est dans F, \
ii) (stabilit´e par intersection d´enombrable) Si les (A ) sont des ´el´ements deF, alors A est un ´el´ement deF.i i∈‘N i
i∈N
D´emonstration: Ces propri´et´es se d´eduisent des axiomes de la tribu en passant au compl´ementaire.
ci)∅ = Ω et Ω∈F, donc∅∈F. !c\ [ [ \
c c cii) A = A . Pour tout i ∈ N, A ∈ F, donc A ∈ F, donc A ∈ F et donc A =i i ii i i
i∈N i∈N i∈N i∈N !c[
cA ∈F. i
i∈N
♣ Exercice: Jeu de cartes. Consid´erons un jeu de 5 cartes num´erot´ees de 1 `a 5.
1. Premi`ere exp´erience al´eatoire: je pioche une carte et je rel`eve son num´ero. Donner l’univers correspondant,
et la partie correspondant a` l’´ev´enement “le r´esultat obtenu est strictement plus grand que 3”.
2. Deuxi`eme exp´erience al´eatoire: je pioche une premi`ere carte, et, sans la remettre, j’en pioche une deuxi`eme;
je rel`eve, dans l’ordre, les deux num´eros obtenus. Donner l’univers correspondant, et la partie correspondant
a` l’´ev´enement “la deuxi`eme carte a un num´ero plus grand que la premi`ere”.
3. Troisi`emeexp´erienceal´eatoire: jepiochedeuxcartesenmˆemetemps, etjerel`eve,sansordre,lesdeuxnum´eros
obtenus. Donner l’univers correspondant, et la partie correspondant a` l’´ev´enement “les deux num´eros sont
sup´erieurs ou ´egaux a` 3”.
154. Quatri`eme exp´erience al´eatoire: je pioche une premi`ere carte, et, apr`es l’avoir remise, j’en pioche une
deuxi`eme; je rel`eve, dans l’ordre, les deux num´eros obtenus. Donner l’univers correspondant, et la partie
correspondant `a l’´ev´enement “la deuxi`eme carte a un num´ero plus grand que la premi`ere”.
♠ Attention! Bien remarquer les diff´erences entre les trois derni`eres exp´eriences: avec ou sans remise, ordonn´ee
ou non. Profitons-en pour rappeler la diff´erence entre un couple et une paire: un couple se note entre parenth`eses,
et ses´el´ementssontordonn´es. Ainsi (2,7)et (7,2)sont deux couples diff´erents. Parcontre, une paire est une partie
a` deux ´el´ements non ordonn´ee: il n’y a qu’un seule paire compos´ee des ´el´ements 7 et 2, qu’on note entre accolades
de la fac¸on suivante: {2,7}.
2.2 Probabilit´e
D´efinition 2.7 Soit Ω un ensemble muni d’une tribu F. Une probabilit´e P sur (Ω,F) est une application de F
dans [0,1] v´erifiant les propri´et´es suivantes:
i) P(Ω) = 1,
ii) (σ-additivit´e) Si les (A ) sont des ´el´ements de F deux-a`-deux disjoints, alorsi i∈N ![ X
P A = P(A ).i i
i∈N i∈N
D´efinition 2.8 Le triplet (Ω,F,P) est alors appel´e un espace de probabilit´e.
♠ Attention! Attention aux objet manipul´es: une probabilit´e est une application, qui s’applique `a un ´ev´enement,
c’est-a`-dire `a une partie de Ω, et qui donne en r´esultat un nombre dans [0,1].
Remarque: 1. Les propri´et´es i) et ii) sont des axiomes. On a d´ecid´e qu’une probabilit´e satisfaisait par d´efinition
ces deux propri´et´es. Quandon dit ”soitP une probabilit´e...”, ces deux propri´et´essontautomatiquement satisfaites,
on n’aura pas a` les d´emontrer.
2. Pourq