Cours sur la continuite en terminale S et plus - Bacamaths

Costantini

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Extrait

CONTINUITÉ d'une fonction Toutes les fonctions considérées dans ce chapitre sont définies sur  ou une partie de et sont à valeurs dans  . Les intervalles considérés sont non vides et non réduits à un point. 1. Fonction continue en un point 1.1. Définition Continuité en un point Soient I un intervalle, ƒ une fonction définie (au moins) sur I et a ˛ I. On dit que ƒ est continue en a lorsque ƒ admet une limite en a égale à ƒ(a). En formulant différemment cette définition, on obtient plusieurs variantes toutes équivalentes : En effet, dire que ƒ(x) = ƒ(a) signifie :lim xafi (1)• quel que soit l'intervalle ouvert J centré en ƒ(a), les nombres ƒ(x) sont tous dans J pour x proche de a. (Cette formulation étant encore trop vague, on lui préfèrera l'une des suivantes) • quel que soit l'intervalle ouvert J centré en ƒ(a), il existe un intervalle K centré en a tel que pour tout x de I : x ˛ K Þ ƒ(x) ˛ J y (Lire "x dans K implique ƒ(x) dans J") Autrement dit, quelle que soit la "bande horizontale centrée en ƒ(a)", on peut trouver un intervalle K centré en a dont l'image est dans la ƒ(a) + e bande. ƒ(a) J ƒ(a) - e Cƒ a - h a + ha x K * *• quel que soit e ˛  (la largeur de J), il existe h ˛ (la largeur de K) tel que pour tout x ˛ I :+ + Remarque : l'usage des valeurs|x - a| < h Þ |ƒ(x) - ƒ(a)| < e absolues est ici bien pratique. Par Ce qui s'écrit avec les quantificateurs " (quel que soit) et $ (il existe) : exemple, |x - a| < h signifie : * *"e ˛ , $h˛ , "x ˛ I, |x - a| < h Þ |ƒ(x) - ƒ(a)| < e a - h < x < a + h+ + (Cette dernière formulation avec quantificateurs est hors-programme) i.e. : x ˛ ]a - h ; a + h[ De même, |ƒ(x) - ƒ(a)| < e signifie :Et par négation, une fonction ƒ est non continue en a lorsque : ƒ(a) - e < ƒ(x) < ƒ(a) + e * *$e ˛  , "h ˛ , $x ˛ I, |x - a| < h et |ƒ(x) - ƒ(a)| e+ + (La négation de ""x, P(x)" est "$x, non P(x)", celle de "$x, P(x)" est ""x, non P(x)" et celle de "A B" est "A et non B") Cette dernière formulation est la plus pratique pour démontrer, avec cette définition, qu'une fonction est continue ou non en un point (ce qui n'arrivera que dans certaines démonstrations théoriques puisque dans la pratique nous disposerons de théorèmes "opératoires" bien plus commodes ; voir plus bas). Remarque : la condition ƒ(x) = ƒ(a) peut aussi s'écrire ƒ(a + h) = ƒ(a).lim lim xafi hfi0 (1) Peut-on remplacer "ouvert" par "fermé" (et donc les inégalités strictes par des inégalités larges) dans cette définition ? En général, non. En effet, l'intervalle [ƒ(a) ; ƒ(a)] est fermé et contient ƒ(a) et avec un tel choix, la définition peut tomber en défaut mais comme on a dit, en préambule, que les intervalles n'étaient pas réduits à un point, cela peut se faire ici sans conséquence. Continuité Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Þ      Un contre-exemple à connaître : Cas d'une fonction n'ayant pas de limite en un certain réel a Notons E la fonction "partie entière" : E(x) = le plus grand entier inférieur ou égal à x Autrement dit, E(x) est l'unique entier vérifiant : E(x)  x < E(x) + 1 Par exemple E(p) = 3 ; E(-p) = -4. On remarquera que la fonction "partie entière" des mathématiciens n'est pas impaire (ainsi la largeur des "marches" est toujours la même) contrairement à la fonction "partie entière" des informaticiens qui considèrent eux, par symétrie, que la partie entière de -p devrait être -3 au lieu de -4. Dessinons la représentation graphique de cette fonction : y N 2 1 La fonction "partie -2 -1 entière" est une fonction O 1 2 3 4 x"en escalier". -1 N Cette fonction admet des discontinuités en tout entier. Nous avons par exemple : lim E(x) = 2 et lim E(x) = 1 xfi2 xfi2 x>2 x<2 En conséquence, la fonction partie entière n'a pas de limite en 2 (puisque les limites à gauche et à droite sont (1)différentes). Donc cette fonction n'est pas continue en 2 . On montre, de même, que E est non continue aux autres points d'abscisses entières. y Autre exemple de fonction non continue : 1ì si 0x„ï La fonction ƒ définie sur  par : ƒ(x) = íx ï0 si 0x= 1î Jn'est pas continue en 0. xO 1 xEn effet, prenons l'intervalle J = ]-1 ; 1[. Il est bien centré en ƒ(0) = 0. Alors pour tout intervalle K de la forme ]-h ; h[, on peut trouver un réel x dans K tel que ƒ(x) ˇ J. Il suffit de choisir : hæö x = min ;1ç÷ 2Łł *Ainsi, on a toujours 0 < x  1 et par décroissance de la fonction inverse sur  , ƒ(x)  1 donc ƒ(x) ˇ J.+ Ce qui prouve que ƒ n'est pas continue en 0. (1) De manière plus rigoureuse, on peut justifier ce résultat en disant qu'il existe un intervalle ouvert J centré en E(2) = 2 (à savoir, par exemple J = ]1, 5 ; 2,5[) qui est tel que pour tout intervalle K centré en 2 (donc de la forme ]2 - h ; 2 + h[), il existe un réel x de K tel que E(x) ˇ J (prendre h par exemple x = 2 - , qui si h est inférieur à 2, vérifiera E(x) = 1, qui n'appartient effectivement pas à J) 2 Continuité Page 2 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/Propriété graphique des fonctions continues : on dit souvent qu'une fonction continue est représentée par un trait continu (obtenu sans lâcher le crayon). Il faut rester méfiant avec cette interprétation car en yMathématiques, il existe des fonctions "monstres" comme par exemple : xxsi ˛⁄ìƒ(x) = í Cƒ0sinonî Le représentation graphique de cette fonction est donnée ci-contre : En apparence, on pourrait croire que cette 1représentation graphique se trace sans lever le crayon (car  et \ sont denses dans ) et pourtant la fonction ƒ Cƒ O 1présente une infinité de discontinuités... x 2. Fonction continue sur un intervalle 2.1. Définition Continuité sur un intervalle Soient I un intervalle et ƒ une fonction définie (au moins) sur I. On dit que ƒ est continue sur I lorsque ƒ est continue en tout point a de I. Exemple Commentaire : Cet exemple montre comment l'applicationLa fonction "racine carrée" x a x est continue sur  .+ directe de la définition 1.1. est délicate. Démonstration (Hors programme) Heureusement, dans de nombreux cas on pourra s'en passer. On verra notamment plusContinuité en 0 loin que toute fonction dérivable est* 2Soit e ˛  . Posons h = e . Ainsi, par croissance de x a x sur  , on a :++ continue, ce qui sera bien pratique. x˛¡+ Cependant, on verra également que la2|x| < h Þ 0  x < e Þ 0  x < e fonction "racine carrée" n'est pas dérivable Ce qui prouve la continuité de la fonction "racine carrée" en 0. en 0 ce qui justifiera l'étude faite "à la main" ci-contre.Continuité en a ˛ ]0, +¥[ *Soit e ˛  . Posons h = e a et utilisons l'identité xa- xa+= x- a, ainsi :( )( )+ e a |x - a| < h Þ xa- < Þ xa- < e xa+ Ce qui prouve la continuité de la fonction "racine carrée" en a. On donc prouvé la continuité de la fonction "racine carrée" sur  .+ 2.2. Théorèmes généraux Règles opératoires sur les fonctions continues Soient ƒ et g deux fonctions continues sur un intervalle I et l ˛  . Alors : • ƒ + g est continue sur I. Ce théorème permettra d'obtenir un • lƒ est continue sur I. premier "stock" de fonctions continues.• ƒg est continue sur I. 1 ƒ• si, de plus, g est non nulle sur I, alors et sont continues sur I. g g Soient ƒ une fonction continue sur un intervalle I et g une fonction continue sur un intervalle J contenant ƒ(I). Alors : g o ƒ est continue sur I Continuité Page 3 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/   Démonstration (Hors programme) Continuité de la somme de deux fonctions continues : *Soit a ˛ I. Soit e ˛  .+ *Comme ƒ est continue en a, il existe h ˛  tel que pour tout x ˛ I :1 + e |x - a| < h Þ |ƒ(x) - ƒ(a)| < 1 2 *Comme g est continue en a, il existe h ˛ tel que pour tout x ˛ I :2 + e |x - a| < h Þ |g(x) - g(a)| < 2 2 Notons h = min(h , h ). Ainsi, pour tout x ˛ I :1 2 e e |x - a| < h Þ |ƒ(x) + g(x) - (ƒ(a) + g(a))| |ƒ(x) - ƒ(a)| + |g(x) - g(a)| < +  e 2 2 Ce qui prouve la continuité de ƒ + g en a. Comme ce raisonnement est valable pour tout a de I, ƒ + g est continue sur I. Continuité de lƒ où ƒ continue : *Soit a ˛ I. Comme ƒ est continue en a, il existe h ˛ , tel que pour tout x ˛ I :+ e |x - a| < h Þ |ƒ(x) - ƒ(a)| < l+ 1 le On a alors : |x - a| < h Þ |lƒ(x) - lƒ(a)| < e l+ 1 D'où la continuité de lƒ en a. Comme ceci est valable pour tout a de I, lƒ est continue sur I. Continuité du produit de deux fonctions continues : On aura ici besoin du lemme suivant : Lemme : si g est continue en a, alors il existe un voisinage K de a sur lequel g est bornée Démonstration du lemme : *Choisissons e = 1. Comme g est continue en a, il existe h ˛ tel que :0 + |x - a| < h Þ |g(x) - g(a)| < 10 Ainsi, pour tout x ˛ K = ]a - h ; a + h [, on a :0 0 g(a) - 1 < g(x) < g(a) + 1 Donc g est bien bornée sur K. Pour la suite, on note M = max(|g(a) - 1|, |g(a) + 1|). *Retour à nos affaires : soit e ˛  .+ *Comme ƒ est continue en a, il existe h ˛ tel que pour tout x de I :1 + |x - a| < h Þ |ƒ(x) - ƒ(a)| < e1 *Comme g est continue en a, il existe h ˛ tel que pour tout x de I :2 + |x - a| < h Þ |g(x) - g(a)| < e2 Notons h = min(h , h , h ).0 1 2 Écrivons : ƒ(x)g(x) - ƒ(a)g(a) = (ƒ(x) - ƒ(a))g(x) + (g(x) - g(a))ƒ(a) Ainsi : |x - a| < h Þ |ƒ(x)g(x) - ƒ(a)g(a)| |ƒ(x) - ƒ(a)| |g(x)| + |g(x) - g(a)| |ƒ(a)| < e(M + |ƒ(a)|) Ce qui prouve la continuité de ƒg en tout a de I et donc sur I. Continuité Page 4 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/        Continuité de l'inverse : On aura ici besoin du lemme suivant : Lemme : si g est continue et non nulle en a, alors g est non nulle sur un voisinage de a Démonstration du lemme : Supposons g(a) > 0. (Le cas g(a) < 0 est analogue) ga() * *Choisissons e = ˛  . Comme g est continue en a, il existe h ˛ tel que :0+ +2 |x - a| < h Þ |g(x) - g(a)| < e0 C'est-à-dire : |x - a| < h Þ g(a) - e < g(x) < g(a) + e0 ga() 3ga() C'est-à-dire : |x - a| < h Þ < g(x) < (S)0 2 2 En particulier : |x - a| < h Þ 0 < g(x)0 Donc g est non nulle sur ]a - h ; a + h [.0 0 * *Retour à nos af