Cours sur la valeur absolue - Classe de seconde

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VALEUR ABSOLUE ET ENCADREMENTS1. Distance entre deux nombres réels1.1. Définition : On appelle distance ou écart entre 2 réels x et y, la distance sur la droite numérique entre lespoints d'abscisses x et y ; on la note d(x ; y).Exemples :Sur la droite réelle, on considère les points ci-dessous :A D BO C–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4On a alors :d(0 ; –4) = OA = 4 d(–3 ; –4) = DA = 1 d(0 ; –3) = OD = 3d(1 ; 3) = BC = 2 d(0 ; 3) = OC = 3 d(–3 ; 3) = DC = 61.2. Cas particulier :? x si x est positifLa distance entre 0 et x est égale à : ? - x si x est negatif?Autrement dit : d(0 ; x) = max(-x ; x)De même, pour la distance entre deux réels x et y, on est amené à distinguer deux cas :? y - x si y est plus grand que xLa distance entre x et y est égale à : ? x - y si x est plus grand que y?Conclusion : d(x ; y) est parmi les différences y – x et x – y celle qui est positive.Autrement dit : d(x ; y) = max(y - x ; x - y)Remarque : la notion de distance est symétrique : d(x ; y) = d(y ; x).2. Valeur absolue d'un nombre réel2.1. Définition : On appelle valeur absolue d'un réel x la distance (ou l'écart) entre 0 et x. On la note |x|.On a donc : |x| = d(x ; 0).2.2. Autres caractérisations :• |x| = max(-x ; x).? 1 si x > 0?• |x| = x · sgn(x) où sgn est la fonction "signe" définie par sgn(x) = 0 si x = 0 .??- 1 si x < 0?2• |x| = x .Exercice : écrire sans les valeurs absolues l'expression :|x - 2| + |2x + 1|1 1(On pourra faire un tableau en distiguant les trois ...

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VALEUR ABSOLUE ET ENCADREMENTS

1. Distance entre deux nombres réels

1.1. Définition : On appelledistanceouécartentre 2 réelsxety, la distance sur la droite numérique entre les points d'abscissesxety; on la noted(x;y).

Exemples : Sur la droite réelle, on considère les points cidessous : O C –4 –3 –2–1 0 1 2 34 On a alors :

d(0 ; –4)=OA=4

d(1 ; 3)=BC=2

1.2. Cas particulier :

d(–3 ; –4)=DA=1

d(0 ; 3)=OC=3

La distance entre 0 etxest égale à :

Autrement dit :

xsixest positif  −xsixest negatif  d(0 ;x)=max(−x;x)

d(0 ; –3)=OD=3

d(–3 ; 3)=DC=6

De même, pour la distance entre deux réelsxety, on est amené à distinguer deux cas : y−xsiyest plus grand quex La distance entrexetyest égale à :  x−ysixest plus grand quey  Conclusion :d(x;y) est parmi les différencesy–xetx–ycelle qui estpositive.

Autrement dit :

d(x;y)=max(y−x;x−y)

Remarque : la notion de distance est symétrique :d(x;y)=d(y;x).

2. Valeur absolue d'un nombre réel

2.1. Définition : On appelle valeur absolue d'un réelxla distance (ou l'écart) entre 0 etx. On la note |x|.

On a donc :|x|=d(x; 0). 2.2. Autres caractérisations : |x|=max(−x;x). 1 six>0  |x|=x×sgn(x) oùsgn est la fonction "signe" définie p ar sgn(x)=0 six=0 .  −1 six<0  2 |x|=x.

Exercice : écrire sans les valeurs absolues l'expression : |x−2|+|2x+1| 1 1 (On pourra faire un tableau en distiguant les trois cas :x−;−<x2 etx> 2) 2 2

Valeurs absolues

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2.3. Propriétés de la valeur absolue

Langue françaiseLangage mathématique P1La valeur absolue d'une quantitéA|est un nombre positifA|0 pour toutA∈ P2Une quantitéAdont la valeur absolue est nulle est nulle.|A|=0 entraineA=0 P3Deux quantités dont les valeurs absolues sont égales sont soit |A|=|B| entraineA=BouA=–B égales soit opposées. P4La valeur absolue d'un produit est égale au produit des valeurs AB=AB absolues. P5La valeur absolue d'un quotient est égale au quotien t des valeursA A =lorsqueB≠0 B B absolues. P6|La valeur absolue d'une somme est inférieure ou égale à laA+B||A| + |B| somme des valeurs absolues(Inégalité triangulaire)

2.4. Théorème : Quels que soient les réelsxety, on a :d(x;y)=|x–y|

2.5. Théorème : SiABet−ABalors |A|Bet réciproquement. Variante :−BAB⇔ |A|B

Exercices d'application des propriétés et des théorèmes : Concerne Résoudreles équations cidessous P2 et P3|2x–3|=0 |3x+ 4|=|2x+6| |x|=9 |2 –x|=–5

P4 |1–x| |1 +x|=9

Théorème 2.4.|x– 2|=5 ou P3|x+ 3|=4

Exercice sur l'inégalité triangulaire :

Démontrer que pour tous réelsAetB, on a : On a|A|=|A−B+B||A−B|+|B:| d'où

A−B|A−B| |A|−|B||A−B|

De même, |B|=|B−A+A||B−A|+|A|=|A−B|+|A| d'où :

Et d'après le théorème 2.5. :

Valeurs absolues

|B|−|A||A−B|

A−B|A−B|

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Solution(s)

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3. Représentation graphique des fonctions "valeur absolue"

Les représentations graphiques des fonctions de la formexa|x−a| ont la même allure en forme de "V".

4. Encadrements d'un nombre réel

4.1. Définition : Soitx unnombre réel. Réaliser un encadrement dex, c'est trouver deux nombres réelsa etb tels queaxb. Le nombreb–as'appelle l'amplitude de l'encadrement.

Exemples : Encadrement :Amplitude : 1 1 22 –3 10 1,414 21,415 –2 3,14π3,15 10 –3 Exercice : Sachant que |x– 3| < 2×donner un encadrement de10 ,x: 2,998 <x< 3,002 –3 Comme le suggère cet exercice, on dit que 3 est une valeur approchée dexà 2×10 près. On énonce, de façon plus générale la définition suivante :

4.2. Définition : Lorsque |x–a|ε, on dit queaest une valeur approchée dexàε près.

Lorsqueaxa+ε, on dit queaest une valeur approchée dexàε près par défaut.

Lorsquea–εxa, on dit queaest une valeur approchée dexàε près par excès. ème Exemple : Ptolémée, mathématicien grec du IIsiècle, utilisait comme valeur approchée de3 lenombre : 103 5523 a= + + 2 3 60 6060 En utilisant la calculatrice, on obtient : a1,73205092593 Or 31,73205080757 doncaest une valeur approchée de par3 excès. –6 –7 Il y a 6 décimales exactes doncε=(Et même10 .ε= 1,2×10 )

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Exercice de synthèse : compléter le tableau suivant : en termes de : valeur absoluedistance intervalle |x– 3|1 d(x; –4)2

Exercice sur les encadrements

Démontrer que :

x∈[6 ; 10]

−AXA⇔ |X|A

encadrement

–2 <x< 2

On a :−AXA⇔−AX etXA⇔XA et−XA⇔ |X|A(d'après le théorème 2.5.)

5. Centre et rayon d'un intervalle Étant donné un intervalle [a;b], son centrecet son rayonrsont donnés par les formules : a+b b−a c=r=2 2

a+b b−a a+b b−a Exercice : démontrer que max(a,b)=+ etque min(a,b)=− . 2 22 2 −a a+b ba+b b−a Siabalors max(a,b)=bet+=+=b 2 2 22 a+b−a+b b ab−a Siabalors max(a,b)=aet+=−=a 2 2 22 a+b b−a Dans tous les cas, on a bien : max(a,b)=+ . 2 2 a+b b−a On procède de même pour prouver l'égalité min(a,b)=−2 2 On a donc prouvé : max(a,b)=c+|r| et min(a,b)=c−|r|. Remarque : en général,ab etr0...

6. Quelques démonstrations

Propriétés de la valeur absolue : P1 : évident. P2 : |A|=0⇒A×sgn(A)=0⇒ (A=0 ou sgn(A)=0)⇒A=0. P3 : |A|=|B|⇒A×sgn(A)=B×sgn(B)⇒ (A=BouA=−B). P4 : |AB|=A×B×sgn(AB)=A×B×sgn(A)×sgn(B)=A×sgn(A)×B×sgn(B)=|A|×|B|. P5 : idem P4.

Théorème 2.4. :

Valeurs absolues

(ABet−AB)⇔ max(−A;A)B⇔ |A|B

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Inégalité triangulaire : on distingue 4 cas Cas 1 :A0 etB0 : dans ce casA+B0. On a donc : |A+B|=A+B=|A|+|B| (On a égalité dans ce cas) Cas 2 :A0 etB0 : on a doncA=|A| etB=−|B|. Distinguons deux sous cas : Sous cas 1 :A+B0 : on a alors : |A+B|=A+B=|A|−|B||A||A|+|B| Sous cas 2 :A+B0 : on a alors : |A+B|=−A−B=−|A|+|B||B||A|+|B| On a donc bien (dans tous les sous cas) : |A+B||A|+|B| Cas 3 :A0 etB0 : analogue au cas 2. Cas 3 :A0 etB0 : analogue au cas 1.

2 2 Autre méthode plus efficace : on compare |A+B| et(|A|+|B|) : 2 22 22 (|A|+|B|)=|A|+2|A||B|+|B|=A+2|AB|+B 2 22 |A+B|=A+2AB+B Or on a toujours :AB|AB| 2 2 D'où :0|A+B|(|A|+|B|) Et par croissance de la fonction "racine carrée" (voir le cours sur les fonctions usuelles ) : |A+B||A|+|B| Cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire : |A+B|=|A| + |B|⇔AetBsont de même signe Pour le prouver : 1) Supposer|A+B|=|A| + |B|. En élevant au carré, démontrer queAB=|AB|. Conclure. 2) SupposerAetBsont de même signe. Alors il existeλ∈[0 ;+∞[ tel queB=λA. Exprimer alors |A+B| en fonction deλet deA. Faire de même pour |A|+|B|. Conclure.

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