Cours sur les equations differentielles - Bacamaths

Costantini

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ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES - MODÈLES D'ÉVOLUTION1. Introduction - Notion d'équation différentielle - Solution d'une équation différentielleUne équation différentielle est une équation :• dont l'inconnue est une fonction (généralement notée y ou z ou autre lettre)• dans laquelle apparaît certaines des dérivées de y (dérivée première y' ou dérivées d'ordre supérieur y", ...).Exemples : trouver mentalement, au moins une fonction solution sur  , des équations différentielles suivantes :y' = sin(x) (y = -cos(x) + k où k ˛ )3xOn devrait, de manière plus y' = 3y (y = k e où k ˛ )cohérente noter l'équationx xdifférentielle y'(x) = sin x au lieu y' = 1 + e (y = x + e + k où k ˛ )de y' = sin x, mais la coutume axvoulu, qu'exceptionnellement, y' = y (y = k e où k ˛ )on tolère de ne pas écrire lavariable de la fonction y" = cos(x) (y = -cos(x) + ax + b où a, b ˛  )inconnue...x -x 2y" = y (y = A e + B e où (A, B) ˛  )Remarques :(1)• Rechercher les primitives d'une fonction continue ƒ sur un intervalle I, c'est résoudre, sur I, l'équationdifférentielle : y' = ƒ(x)• La notion d'intervalle dans la résolution d'une équation différentielle est fondamentale. Si on changed'intervalle, on peut très bien obtenir d'autre solutions. Par exemple, si on se place sur l'intervalle ]0, +¥[,1l'équation différentielle y' = a pour solutions les fonctions y : x a ln(x) + K (K est une constante).xAlors que sur l'intervalle ]-¥, 0[, les solutions sont les fonctions y : x ...

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ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES - MODÈLES D'ÉVOLUTION

1. Introduction - Notion d'équation différentielle - Solution d'une équation différentielle Une équation différentielle est une équation : •dont l'inconnue est une fonction (généralement notéeyouzou autre lettre)   •dans laquelle apparaît certaines des dérivées dey(dérivée premièrey'ou dérivées d'ordre supérieury", ...). Exemples : trouver mentalement, au moins une fonction solution sur, des équations différentielles suivantes : y'   =sin(x) (y   =   −cos(x)   +   koùk   ∈   ) On devrait, de manière plus y'=3y(y   =   ke 3x oùk   ∈   )   cohérente noter l'équatio    différentielley'(x)=sinxau lie y'   =1+   e x (y   =   x   +   e x +   koùk   ∈   ) dey'   =sinx, mais la coutume voulu, qu'exceptionnellement, y'   =   y(y   =   ke x oùk   ∈   ) on tolère de ne pas écrire l variable de la fonctio y"   =cos(x) (y   =   −cos(x)+   ax   +   boùa,b   ∈   )   inconnue... y=y (y   =   Ae x   +   Be −x où (A,B)∈    2 )    "

Remarques : •Rechercher les primitives (1)  fonction continue d'uneƒ sur un intervalleI, c'est résoudre, surI, l'équation différentielle :y'   =   ƒ(x) •La notion d'intervalle dans la résolution d'une équation différentielle est fondamentale. Si on change d'intervalle, on peut très bien obtenir d'autre solutions. Par exemple, si on se place sur l'intervalle ]0,+∞[, l'équation différentielley'   = a  1  pour solutions les fonctionsy :x   aln(x)+   K (K est une constante). x Alors que sur l'intervalle ]−∞, 0[, les solutions sont les fonctionsy:x   aln(−x)+   K.

Il est donc nécessaire de bien définir ce qu'est une solution d'une équation différentielle.

1.1. Définition On appelle solution d'une équation différentielle (E) un couple (ƒ,I) oùƒest une fonction etIun intervalle tels queƒvérifie (E) surI. On dira :ƒest une solution de (E)surI. Résoudre une équation différentielle sur un intervalleItrouver toutes les fonctions solutions de (, c'est E) surI.

Si aucune précision n'est donnée sur l'intervalleI, on considérera qu'il s'agit deI = .

On distingue plusieurs types d'équations différentielles : •Les équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants sans second membre : exemple :y'   +5y   =0 •premier ordre à coefficients constants avec second membre :Les équations différentielles linéaires du exemple :y'   +5y   =   e x •Les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants sans second membre : exemple : 2y"   −3y'   +5y   =0                                                         (1) Voir la leçon sur le calcul intégral. Équations différentielles - Modèles d'évolution Page1G. COSTANTINI    http://bacamaths.net/

•Les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants avec second membre : exemple : 2y"   −3y'   +5y   =sin(x) •Il existe aussi des équations différentielles à coefficients variables : exemple :y"   +sin(x)y'   −   e x y   =0 •Ainsi que des équations différentielles non linéaires : exemple :y"   ×   y'   −y   =0

1.2. Remarque : Une équation différentielle (Elorsque son équation sans second membre associée () est dite linéaire E 0 ) vérifie les deux assertions suivantes : •pour toutes solutionsƒetgde (E 0 ) sur un intervalleI, la fonctionƒ   +   gest aussi solution de (E 0 ) surI •pour toute solutionƒde (E 0 ) surIet tout scalaireλ   ∈   , la fonctionλƒest aussi solution de (E 0 ) surI Exemples : 1. L'équation différentielle (E) :y'   =   ay   +   best linéaire. En effet : •Soientƒetgdes solutions, sur un intervalleIl'équation sans second membre associée (, de E 0 ) :y'   =   ay. On a donc :ƒ'   =   aƒ surI g    agsurI = ' En ajoutant membre à membre, il vient, par linéarité de la dérivée : (ƒ   +   g)'   =   a(ƒ   +   g) surI Donc la fonctionƒ   +   gest aussi solution de (E 0 ) surI. •Soientƒune solution de (E 0 ) sur un intervalleIetλun réel. On a donc :ƒ'    aƒ surI = En multipliant parλ, on obtient : (λƒ)'   =   a(λƒ) surI Donc la fonctionλƒest aussi solution de (E 0 ) surI. 2. L'équation différentielle (E) :y'   =   y(1−   yn'est pas linéaire. En effet, considérons une solution non nulle) (1) yde (E) sur un intervalleI. Montrons que la fonctionz   =2yn'est pas solution de (E) surI. Si elle l'était, on aurait :z'   =   z(1−   z) surI 2y'   =2y(1−2y) surI Mais commeyest solution de (E 2) :y(1−   y)=2y(1−2y) surI Soitx   ∈   Itel quey(x)≠0 (existe par hypothèse). En simplifiant par 2y(x), il reste alors : 1−   y(x)=1−2y(x) y(x)=2y(x) Et toujours en simplifiant pary(x)≠0, on aboutit à une absurdité. La fonctionz   =2yn'est donc pas solution de (E) surI. L'équation (E) est non linéaire.

                                                        (1)   cette leçon que de telles solutions existent.On verra plus loin dans Équations différentielles - Modèles d'évolution Page2

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2. Équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients constants sans second membrey' = ay(a ∈ )

2.1. Théorème L'équation différentielle (E) admet donc une infinité d Soitaun réel. Soit (E) l'équation différentielle :y'   =   ay L s solutions de (E), sur, sont les fonctionsydéfinies par : solutions (puisque l'on a un e infinité de choix de l y(x)=   Ce ax  oùCest une constante quelconque constanteC). Démonstration : 1. On vérifie que les fonctions proposées sont bien solutions de (E) sur. Les fonctionsy:x   a Ce ax sont de la formey   =   Ce u oùu(x)=   ax. Commeuest dérivable sur,yl'est aussi et :y'   =   C u'e u Ce qui donne, pour tout réelx:y'(x)=   a Ce ax =   ay(x) D'où :y'   =   ay sur Donc les fonctionsyproposées sont bien des solutions de (E) sur. (Ce qui prouve l'existence de solutions) 2. Montrons que les fonctions proposées sontles seulessolutions de (E) sur. (C'est-à-dire, qu'il n'y en a pas d'un autre type quex   a Ce ax ). Soity solution quelconque de ( uneE) sur. (On sait déjà que ça existe d'après le point 1). Considérons la fonctionzdéfinie, pourx   ∈   , par : − z(x)=   y(x)e ax −ax La fonctionzest de la formez   =   uvavecu   =   yetv(x)=   e. Comme les fonctionsuetvsont dérivables sur, la fonctionzl'est aussi et on a : z    u'v   +   uv' = ' D'où, pour tout réelx:z'(x)=   y'(x)e −ax −   ay(x)e −ax z'(x)=   e −ax (y'(x)−   ay(x)) Mais, par hypothèse,yest une solution de (E) sur, doncy'(x)−   ay(x)=0 On en déduit que pour tout réelx:z'(x)=0 On en déduit quezest constante sur. Autrement dit, il existe une constanteCtelle que pour tout réelx: z(x)=   C y(x)e −ax   C = y(x)=   Ce ax

Ce qui démontre le théorème 2.1.

Remarques : •La constanteCDans ce cas, on obtient la solution "nulle" :peut être nulle. y   =0 surqui est une solution évidente de l'équation différentielle. •2.1. peut aussi s'interpréter ainsi : siLe théorème ƒ 0  est une solution non identiquement nulle (sur) de l'équation différentielle (E), alors toutes les autres solutionsƒsursont des multiples deƒ 0 . •Le théorème 2.1. reste valable siaest un nombre complexe ; la démonstration reste la même en étendant le concept de dérivation à2.1. sera utile dans le paragraphe 7.(voir 7.2.). Cette extension du théorème Équations différentielles - Modèles d'évolution Page3G. COSTANTINI    http://bacamaths.net/

Exemples : 1. Résoudre, sur, l'équation différentielle : (E) : 3y'   −5y   =0 On écrit (E) sous la forme :y'   = 5 3  y (E) est donc de la formey'   =   ayaveca   =sur  3 .  5 seS los oitu ,sn, sont donc de la forme : 5 x y(x)=   C   e 3  oùC   ∈    2. Considérons un circuit électrique constitué d'un condensateur (de capacitéC) se déchargeant dans une résistanceR: i

C R

D'après la loi d'additivité des tensions, on a :u C  + u R  =0 (u C etu R aux bornes du condensateur et de la résistance)désignent respectivement la tension Notonsi(t) l'intensité du courant électrique dans le circuit à l'instantt. On sait que :u C (t)=   C q(t  e  t  ) u R (t)=   R i(t)=   R dq dt (t) D'où :q(t)=    −RC dq(t) i(t) dt I 0 C'est une équation différentielle du typey'   =   ayaveca   =   − R 1 C d'où : t − q(t)=   K   e RC  (K   ∈   ) t O − D'où, en dérivant :i(t)=   I 0 e RC  (I 0   ∈   ) 3. Dans un tissu radioactif, les lois de la Physique permettent d'affirmer que la vitesse de désintégration des noyaux radioactifs (à un instantt) est proportionnelle au nombre de noyaux radioactifsN(t) présents dans le tissus à l'instantt. Il existe donc une constanteλstrictement positive telle que : N'( )−λN(t) Le signe "−" de cette relation traduit la = t   décroissance du nombre de noyaux. SiN 0 désigne le nombre de noyaux à l'instant initial, on a donc : N(t)=   N 0 e −λt Dans ce contexte, apparaissent souvent deux grandeurs qu'il est bon de savoir interpréter graphiquement : •le temps caractéristique, notéτ, est défini par :   1 τ    = λ Si (T) désigne la tangente à l'origine de la courbe (C) de la fonctionN, le temps caractéristiqueτ est l'abscisse du point d'intersection de la droite (T) avec l'axe du temps. En effet, une équation de (T) est : y   =   N'(0)t   +   N(0)=   −λN 0 t   +   N 0 On constate que sit   =   τ, on a bien :y   =0 Plus le temps caractéristique est petit, plus la vitesse de désintégration initiale est élevée.

Équations différentielles Modèles d'évolution Page4G. COSTANTINI  http://bacamaths.net/ -

t

N(t) N 0

N 0 /2 (C) (T) O τ 1/2 τ t •la période de demie-vie, notéeτ 1/2  (ouT) qui est la période au bout de laquelle la moitié des noyaux se sont désintégrés. On a donc :N(τ 1/2 )=   N 0 2 N 0 e −λτ 1/ 2 =   N 2 0 D'où :λτ 1/2   =ln(2) τ 1/2   =  ln( λ 2) =   τln(2) On peut alors exprimerN(t) en fonction de la période de demie-vie : t t − − t ln 2 − N(t)=   N 0 e −λt =   N 0 e τ =   N 0 e τ 1/ 2 =   N 0 2 τ 1/ 2

2.2. Allure des solutions : a >0   

C >0

C <0  

a <0

C0 >

C <0

On constate que toutes les solutions ont une limite nulle en−∞(lorsquea> 0) ou en+∞(lorsquea< 0) : limCe ax =0 lorsquea et> 0  lim Ce ax =0 lorsquea< 0 x→ −∞ x→ +∞

Cas particulier : sia =0, l'équation différentielle esty'=0 et ses solutions sont les fonctions constantes.  

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3. Équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients constants avec second membre constant y'=   ay   +   b(a   ≠0)   3.1. Théorème Dans certains ouvrages, cett Soientaetbdeux réels avecanon nul. équation différentielle est notée : Soit (E) l'équation différentielle :y'   =   ay   +   b y'   −   ay   =   b = Les solutions de (E), sur, sont les fo ionsydéfinies p ou :y'   +   ay    b nct ar : (de façon à bien isoler le second membre) Attention, dans le dernier cas, l y(x)=   Ce ax   −   a b oùCest une constante quelconque rôle deaest opposé. Démonstration : La technique utilisée ci-contre est à Nous remarquons que la fonctionp, définie sur, par : connaître. Elle servira dans de nombreuses situations : b 1) On détermine une solution p    − = a particulière p l'équation ( deE). (L'énoncé donne souvent les est une solution particulière de (E). indications nécessaires). (En effet, on ap'   =0ap   +   b) 2) On montre qu'une fonctiony est = solution de (E) si et seulement si la Soityune solution quelconque de (E). (On sait qu'il en existe au moins une :p) fonction (y   −   p) est solution de On a, s   y ′ = ′ ay+b é o ' ss u a q eé l ic  n (  taoi E 0 as .)  snsonecmed remb ur :  p=ap+b 3) Comme, en général, on connaît En retranchant membre à membre : (y   −   p)'   =a(y−   p) les solutions de l'équation sans   second membre associée, on en Doncy   −   pest une solution de l'équation différentielley'   =   ay, d'où pour toutx   ∈   : déduit que les solutionsy ( deE) s'écrivent comme la somme des y(x)−   p(x)=   Ce ax  oùCest une constante solutions de (E 0 ) et de la solution Finalement, pour toutx   ∈   :y(x)=   Ce ax −   b particulièrep. a Exemples : 1. Résoudre, sur, l'équation différentielle (E 2) :y'−2y   =1    2 On écrit (E) sous la forme :y' 2y =   +   2 (E) est donc de la formey'   =   ay   +   baveca   = et 2b   =,ss ru   2 2 . Ses solution, sont donc de la forme : y(x)=   C   e 2x    − où  1 C   ∈    2 2. Considérons un circuit électrique constitué d'un générateurG une tension (délivrantE), d'un condensateur (de capacitéC) et d'une résistanceR: i C R G Équations différentielles - Modèles d'évolution Page6G. COSTANTINI    http://bacamaths.net/

D'après la loi d'additivité des tensions, on a :u C  + u R  = u G  = E Notonsi(t) l'intensité du courant électrique dans le circuit à l'instantt. On sait que :u C (t)=   q C (t   et   ) u R (t)=   R i(t)=   R dq(t) dt D'où :q(t)=   EC   −   RC dq d (t) t dq( dt t) =   − R 1 C q(t)+   E R C'est une équation différentielle du typey'   =   ay   +   baveca   =   − R 1 C  etb   =   E d'où : R t − q(t)=   K   e RC +   EC i(t) t I 0 − En dérivant :i(t)=   I 0 e RC

3.2. Allure des solutions : a >0 C >0

C <0

C= 0b C= 0 = −    a

O

a <0

C >0

C <0  

On constate que toutes les solutions ont la même limite en−∞(lorsquea> 0) ou en+∞(lorsquea< 0) : lim    Ce ax − b =      − b a  lorsquea et> 0  lim      Ce ax − b =      − b a  lorsquea< 0 x→ −∞ a x→ +∞ a Cas particuliers : •sia   =0, alors l'équation différentielle (E) se réduit simplement ày'   =   bdont les solutions sont les fonctions affinesx   a   bx   +   CoùCest une constante. •sib   =0, on est ramené au cas de la situation du paragraphe 2. Équations différentielles - Modèles d'évolution Page7G. COSTANTINI    http://bacamaths.net/

t

4. Équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients constants avec second membre variable On s'intéresse, dans ce paragraphe, aux équations différentielles (E) du type : (E) :y'   −   ay   =   ƒ oùa   ∈   etƒest une fonction 4.1. Théorème Soientaun réel etƒune fonction définie sur un intervalleI. Soit (E) l'équation différentielle :y'   −   ay   =   ƒ Soit (E 0 ) l'équation différentielle sans second membre associée : y'   =   ay La question générale de l'existence d'une solution Soitpune solution particulière de (E), surI:p'   −   ap   =   ƒ surI particulière est hors programme (voir §9) Alors les solutionsyde (E), surI, s'obtiennent en ajoutant les solutions de (E 0 ) avecp: y(x)=   Ce ax +   p Démonstration : On a les équivalences suivantes :ysolution de (E) surI y'   −   ay   =   ƒ surI y'   −   ay   =   p'   −   apsurI (y   −   p)=   a(y   −   p) surI ' y   −   psolution de (E 0 ) surI y(x)=   Ce ax +   p(x) pour toutx   ∈   I

Le théorème 4.1. n'est pas explicitement au programme. Dans la pratique, les exercices demandent que les équivalences ci-contre soien redémontrées.

Exemple : résoudre, sur, l'équation différentielle (E) : y'   +   y   =   x 2 +   x •Résolution de l'équation sans second membre associée   (E 0 ) :y'   +   y   =0.  D'après le théorème 2.1 : y(x)=   Ce −x oùC   ∈    •Recherche d'une solution particulièrepmême nature que le second membre)(souvent de la  Soit pune fonction polynôme du second degré :   p(x)=   a x 2   +   bx   +   c  On a alors, pour tout réel x:p'(x)=2ax   +   b  Déterminons les coefficients a,betcafin quepsoit solution de (E) :   2ax+   b   +   a x 2 +   bx   +   c   =   x 2 +   x a x 2 +(b   +2a)x   +   c   +   b   =    x 2 +   x   a   =1 2a   +   b   =1b   +   c   =0   a   =1b= −1c   =1     Une solution particulière pest donc définie par :   p(x)=   x 2 −   x   +1  On a donc :p'(x)+   p(x)=   x 2 +   x

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