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3 Series entieres3.1 De nitions et notations.De nition 1 Une serie entiere est une serieXna xnoux est un nombre reel ou complexe eta est le terme general d’une suite de nombresnreels ou complexes.Ce sont des sommes in nies de puissances de x. Elles generalisent les polyn^ omes.Exemples 1Pn{ Si a = 0 lorsque n>p alors a x = .n nPn{ Si a = 1 pour tout n alors x est une serie geometrique.nPnRemarque 1 Sijxj< 1 la serie x est une fonction dex et on peut la calculer :+1Xnx = :n=0P Pn nLemme 1 Si la serie a X converge etjxjR, la serie diverge.Ce nombre est appele le rayon de convergence de la serie.Preuve. { . . .26PnDe nition 2 Soit a x une serie entiere de rayon de convergenceR. L’ensemblendes x tels quejxj

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Publié par	Mopheg
Nombre de lectures	49
Langue	Français

Extrait

3S´eriesenti`eres 3.1De´ﬁnitionsetnotations. De´ﬁnition1 Une s´erieenti`ere estunes´erie X a n x n ou` x estunnombrere´eloucomplexeet a n estletermege´n´erald’unesuitedenombres re´elsoucomplexes. Ce sont des sommes inﬁnies de puissances de x .Ellesg´ene´ralisentlespolynˆomes. Exemples 1 – Si a n = 0 lorsque n > p alors P a n x n = . – Si a n = 1 pour tout n alors P x n estunes´eriege´ome´trique. Remarque 1 Si | x | < 1 las´erie P x n est une fonction de x et on peut la calculer : + ∞ X x = n . n =0 Lemme 1 Silase´rie P a n X n converge et | x | < | X | alorslase´rie P a n x n converge absolument. Preuve. – Ceciestd´ej`ademontre´danslecourssurless´eriesnum´eriques. ´  Th´e`me1 Soit P a n x n unes´erieenti`ere.Ilexisteununiquenombre R ≥ 0 , eor eventuellement inﬁni, tel que : ´ – si | x | < R ,las´erieconvergeabsolument, – si | x | > R ,las´eriediverge. Cenombreestappel´ele rayon de convergence delase´rie. Preuve – . . . .



De´ﬁnition2 Soit P a n x n unes´erieenti`erederayondeconvergence R . L’ensemble des x tels que | x | < R est le domaine de convergence delase´rie. Siontravailleavecdesnombresre´els,c’estunintervalle ] − R, R [ . Si on travaille avec des nombres complexes, c’est un disque D (0 , R ) . Exemples 2 –Lerayondeconvergencedelase´riere´elle X x n est 1 car . . .

Ledomainere´eldeconvergencedecettese´rieest ] − 1 , 1[ . Elle ne converge que pour x ∈ ] − 1 , 1[ . –Lerayondeconvergencedelas´eriere´elle X xn n est 1 car . . .

Ledomainere´eldeconvergencedecettese´rieest ] − 1 , 1[ . Par contre elle converge pour x ∈ [ − 1 , 1[ . –Lerayondeconvergencedelas´erier´eelle X xn 2 n est 1 car . . .

Ledomainer´eeldeconvergencedecettese´rieest ] − 1 , 1[ . Par contre, elle converge pour x ∈ [ − 1 , 1] .

3.2D´eterminationdurayondeconvergence – Crit`ereded’Alembert Si n l → i + m ∞  aa nn +1  = ` 6 = 0 alorslerayondeconvergencedelase´rie P a n x n est R = 1 ` . Preuve. –

– Crit`eredeCauchy Si n l → i + m ∞ n p | a n | = ` 6 = 0 alorslerayondeconvergencedelas´erie P a n x n est R = ` 1 . Preuve. –



 Remarques 1 -Lecrit`ereded’Alembertnes’appliquequesi a n 6 = 0 a`partird’un certain rang. - Si ` = 0 alors R = + ∞ , si ` = + ∞ alors R = 0 .

Exemple

serie ´

re´el

n !

Exemple

se´rie

reel ´



−

1 n

 n 2

3.3Sommed’unese´rieentiere. ` De´ﬁnition3 Soit P a n x n unes´erieentie`rederayondeconvergence R . Notons D sondomainedeconvergence.Lasommedelas´erie P a n x n est une fonction de x , f : D → R (ou C ),de´ﬁniepar + ∞ f ( x ) = X a n x n . n =0 Dans certain cas on peut calculer cette somme Exemples 3 –Lasommedelas´erie X x n est + ∞ X x n =11 − x pour x ∈ ] − 1 , 1[ . n =0

n – La somme de X xn est + ∞ x n X = n n =1

n – La somme de X xn 2 est + ∞ n X nx 2 = n =1

pour x ∈ ] − 1 , 1[ .

3.4Op´erationssurless´eriesenti`eres Soient P a n x n et P b n x n deuxse´riesenti`eresderayonsdeconvergence R 1 et R 2 et de sommes f 1 ( x ) et f 2 ( x ) respectivement. 3.4.1 Combinaisons li ´aires ne Proposition 1 Si λ 1 et λ 2 sontdeuxnombres,las´erie P ( λ 1 a n + λ 2 b n ) x n a un rayon de convergence R tel que -R = min ( R 1 , R 2 ) si R 1 6 = R 2 , -R ≥ R 1 si R 1 = R 2 . La somme de P ( λ 1 a n + λ 2 b n ) x n est + ∞ X ( λ 1 a n + λ 2 b n ) x n = λ 1 f 1 ( x ) + λ 2 f 2 ( x ) . n =0 Preuve. – -c.f.lecourssurless´eries-3.4.2 Multiplication Proposition 2 Leproduitdedeuxse´rieentie`reestunes´erieenti`ere: X a n x n  × X b n x n  = X c n x n avec c n = P kn =0 a k b n − k . Le rayon de convergence R decettes´erieentie`rev´eriﬁe R ≥ min ( R 1 , R 2 ) . Preuve. –

Exemple 3 Le produit P x n × P nx n estlas´erieenti`eresuivante:



3.5Propri´ete´sdelasomme Th´eore`me2 Soit P a n x n unes´erieentie`rederayondeconvergence R et + ∞ f ( x ) = X a n x n . n =0 – f est continue sur ] − R, R [ et pour tout [ a, b ] ⊂ ] − R, R [ ,

Z ab f ( x ) dx = n + X = ∞ 0 Z ab a n x n dx .

– f estde´rivablesur ] − R, R [ etsad´eriv´eeestobtenuecommelasomme

+ ∞ f 0 ( x ) = X na n x n − 1 pour tout x ∈ ] − R, R [ . n =1

– f a pour primitive valant 0 en 0 la somme

Preuve. – . . .

F ( x ) = + X ∞ x n +1 n 0 a n n + 1 dx pour tout x ∈ ] − R, R [ . =



Exemples 4 –Lasommedelase´rieentie`re P ( n + 2) x n est la fonction suivante :

er X x n suivante : –Lasommedelas´erieenti`e n ! est la fonction n ≥ 0

3.6De´veloppementense´rieenti`ere D´eﬁnition4 Soit I un intervalle de R ou un disque de C contenant 0 . Une fonction f : I → R (resp. C ) est dite d´eveloppableens´erieenti`ereen 0 s’il existe une se´rieenti`ere P a n x n de rayon de convergence R > 0 telle que + ∞ f ( x ) = X a n x n pour tout | x | < R. n =0 Sielleexistecettese´rieestuniqueetcoı¨ncideavecla se´riedeTaylor de f en 0 :

f ( x ) =