envoi3-cours

Thierry Gallouet

Description

p2. L (E,T,m) est un espace vectoriel surR.RDemonstra´ tion :!p p1. • Soit " # R, f # L . On a "f # M (car M est un espace vectoriel) et |"f| dm =!p p p|"| |f| dm<". Donc, "f #L .p p• Soit f,g#L . On veut montrer quef+g#L . On sait que f+g#M (carM est un espaceChapter 6vectoriel) et on remarque que, pour tout x#E,p p p p p|f(x)+g(x)| ! 2 |f(x)| +2|g(x)| ,pLes espaces Let donc# # #p p p p p|f +g| dm! 2 |f| dm+2 |g| dm<",pce qui montre que f +g#L .p p6.1 D´efinitions et premi`eres propri´et´es2. La structure vectorielle de L s’obtient comme pour p = 1. Soit F,G#L et ",##R. On choisitf # F et g # G et on d´efinit "F +#G ´etant la classe d’´equivalence de "f +#g. Commep6.1.1 Les espaces L , avec 1!p<+"d’habitude, cette d´efinition est coh´erente car la classe d’´equivalence de "f +#g ne d´epend pas deschoix de f et g dans F et G.Soient (E,T,m) un espace mesur´e, 1 !p<" et f # M = M(E,T) (c’est-`a-dire f : E $ R,p pmesurable). On remarque que|f| #M , car|f| = !%f ou` ! est la fonction continue (donc bor´elienne)+!p pd´efinie par !(s)=|s| pour tout s#R. La quantit´e |f| dm est donc bien d´efinie et appartient `aR .+Ceci va nous permette de d´efinir les espaces de fonctions de puissance p-i`eme int´egrable. On retrouve,p ppour p = 1, la d´efinition de l’espace des fonctions int´egrables.On va montrer maintenant que f ($&f& est une semi-norme sur $ et une norme sur L .ppD´efinition 6.1 (Les espaces L ) Soient (E,T,m) un espace mesur´e, 1 ...

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• Publié par: Intey
• Nombre de lectures: 16
• Langue: Français

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