Etude des valeurs records et leurs applications

Abdellahi Elhacen

Description

Etude des valeurs records et leurs applicationsABDELLAHI ElhacenLaboratoire de Mathématiques Appliquées du Havre (LMAH)Université du HavreLe Havre, le 7 Juillet 2010E.ABDELLAHI (LMAH) Etudedesvaleursrecordsetleursapplications LeHavre,le7Juillet2010 1/24Plan de l’exposé1 Introduction2 Staistiques d’ordre3 Distributions asymptotiques du maximum4 Domaines d’attraction des valeurs extrêmes5 Temps records et valeurs records6 Distributions asymptotiques de valeurs records7 Exemple d’applicationE.ABDELLAHI (LMAH) Etudedesvaleursrecordsetleursapplications LeHavre,le7Juillet2010 2/24IntroductionIntroductionLe mot ”record” ne signifie pas seulement la performance inégaléedans certains domaines, mais aussi un rapport, compte, chronique,notes, ou des reliques du passé.L’accent est mis à la fois sur le sens proprement statistique desnotions introduites et sur la rigueur mathématique nécessaire à leurdéveloppement.E.ABDELLAHI (LMAH) Etudedesvaleursrecordsetleursapplications LeHavre,le7Juillet2010 3/24Staistiquesd’ordreStaistiques d’ordreConsidérons n variables aléatoires X ;:::;X ;, définies sur le même1 nespace de probabilité ( ;F;P) de fonction de répartition F .Ayant rangé ces variables dans l’ordre croissant, nous obtenonsX = minfX ;:::;Xg: , X qui est définie de telle sorte que X (w),1;n 1 n 2;n 2;npour chaque événement élémentairew, soit égale à la deuxième pluspetite valeur parmi X (w);:::;X (w); ainsi de suite jusqu’à1 nX = maxfX ;:::;Xg.n;n 1 nE ...

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Extrait

LLAHI(LME.ABDEvseduelaE)HAeduttlserseurersrdcoeLaHoisncitapalpet20uillle7Jvre,

Le Havre, le 7 Juillet 2010

ABDELLAHI Elhacen

Laboratoire de Mathématiques Appliquées du Havre (LMAH) Université du Havre

Etude des valeurs records et leurs applications

42/101

2/1020et

Exemple d’application

Plan de l’exposé

6

7

Distributions asymptotiques de valeurs records

24

Domaines d’attraction des valeurs extrêmes

4

Distributions asymptotiques du maximum

3

Staistiques d’ordre

2

Introduction

1

Temps records et valeurs records

5

appleursionsicatrv,eeLaHiullelJ7AHLLDEABE.setlcordrsrealeuedvsutedHAE)(IML

Iortntcud oinudtctnor oi I n ordssrecleuresvadude)HtEL(AMALIHELBD.AE302/4

L’accent est mis à la fois sur le sens proprement statistique des notions introduites et sur la rigueur mathématique nécessaire à leur développement.

Le mot ”record” ne signifie pas seulement la performance inégalée dans certains domaines, mais aussi un rapport, compte, chronique, notes, ou des reliques du passé.

liel2t10,lreJue7sLonaveHilppitacelteasru

sXoireléatlesa Staistdrer tSia qieudso’ rd’o Co reiqstsdue avnsbairdisnnoré llui7Jle4/1020etsnoitaci,ervaHeL42

1 , . . . , X n , , définies sur le même espace de probabilité (Ω, F , P ) de fonction de répartitionF. Ayant rangé ces variables dans l’ordre croissant, nous obtenons X 1 , n = min { X 1 , . . . , X n }. ,X 2 , n qui est définie de telle sorte queX 2 , n (ω) , pour chaque événement élémentaire ω , soit égale à la deuxième plus petite valeur parmiX 1 (ω), . . . , X n (ω), ainsi de suite jusqu’à X n , n = max { X 1 , . . . , X n } .

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v i a D e e r r l i , r 7 t e s u i J t l u i b e d l s 2 n t o s t a a p e p s l s i t c t a i t u i e o i n q s ’ L o e s H d 0 S 5 t 0 a 1 i 4 st / i 2 que

La fonction de répartitionF n , n deX n , n est de la forme : F n , n ( x ) = ( F ( x )) n . etF 1 , n . deX 1 , n est : F 1 , n ( x ) = 1 −( 1 − F ( x )) n . La fonction de répartitionF k , n d’une statistique d’ordreX k , n arbitraire est : n F k , n ( x ) = ∑ m = k

sd’ord rerd ursrecordsetleurAM)HtEdudeseavel n E m ≤ BD.ALAEL(LHI 1 ( k ) x ( F − − n ))≤ 1 , k F ( x ) C k n (

iDstributionsasympotituqseudamixum ibtris m Dasnsioutqitotpmyxamudseuimum 0 dsorleeturleecsrdeduavseAML(tE)HBDELLAHIE.A 0 06/2t201

Nous discutons la question de savoir quelles lois asymptotiques peuvent être obtenues si on considère le maximums M n = max { X 1 , . . . , X n }, n = 1 , 2 , . . . au lieu des sommes S n = X 1 +..+ X n .

4

x < x > 0 x < x > 0

Théorème L’ensemble des distributions non dégénérée pour des maximums convenablement centrés et réduits consiste seulement en distributions qui appartiennent aux types Λ( x ) = exp (− exp (− x )) Φ α ( x ) =  0 , exp (− x −α ), Ψ α ( x ) =  1 xep , (−(− x ) −α ),

lippsaursLontical,ervaHeelliuJ7e

ximumyspmotituqseudam samyoisnbitusirtD asnoitubirtsiD muimaxumsdueiqotpt EDLL.EBALMAHAHI(dede)Etu onctionsdesftioisnHedéraptr

Lemme On considère une suite des distributions F n qui converge faiblement vers une loi non dégénérée G, ( F n ( x )→ G ( x ), n →∞) à tout point de continuité de G. Pour que la suite n ( x ) = F n ( a n x + b n ) converge, pour certaines constantes a n > 0, et b n , à une loi non dégénérée H, il est nécessaire et suffisant que a n → a , b n → b, quand n →∞ , tel que a > 0, et b, sont constantes, et H ( x ) = G ( ax + b ) .

42/70102tellui7Jlee,vrHaLenstaoilpcisrpaltuerdserecoeurssval

E.DEABsrueltestacilppaHaLensio7Jlee,vr( é I d M e L n L u L t H e A m u s t o e p d e H é A v E i ) r a o l u e e u p d i e v s i v t cordrsr r e x ssextrême euqFeda 1 s 0 d 8 n / e 2 t 4 t’

Théorème on suppos

a u s i D l m l e e a t i 2 o 0 mavseruel

x Si p  F 0 ( x ) α, our α> 0 , l 1 mi F ( x ) = x →∞ −

t

> x 0

ca

alors F ∈ D (Φ α ) On peut choisir les constantes de centrage et de normalisation suivantes : a n = G ( 1 − n 1 ) n = 1 , 2 . . . , et b n = 0 Où G est la fonction inverse de F

rdnoi ctiottrasd’aainetxêrruesaveldnsemoD

sd’aainectiottra estxelru D s mo êremctratt’avaesndioDdseniamo semseurrêxtesndleva ELLA.ABDEdesetEduAM)HIHL(etdsorecsrurlevanoitacilppasruel,le7JuilsLeHavre2/4

alors F ∈ D (Ψ α ). On peut choisir les constantes de centrage et de normalisation suivantes : a n = x 0 − G ( 1 − 1 n ) n = 1 , 2 . . . , et b n = x 0 Où G est la fonction inverse de F .

Théorème F O 0  àn suppose que F une dérivée positive F 0 ( x ) pour x ∈[ x 1 , x 0 ] et ( x ) = 0pour x > x 0 ,

Si pour α> 0 , x li → m ∞ ( x 0 1 − − F x ( ) x F 0 ) ( x ) =α,

el2t1090

Alors F ∈ D (Λ). On peut choisir les constantes de centrage et de normalisation suivantes : a n = f ( b n ), b n = G ( 1 − n 1 ) n = 1 , 2 , . . . , Où 1 − F ( t ) f = F 0 ( t ) .

Théorème On suppose que F à une dérivée deuxième négative F ( 2 ) ( x ) Pour x ∈[ x 1 , x 0 ] et F 0 ( x ) = 0pour x ≥ x 0 . Si

F ( 2 )) x li → m ∞ ) ( ( F x ) 0 ( ( 1 x ) − ) 2 F ( x 1 , =−

/241010et20iullelJ7rv,eeLaHnsioaticplaprseultesdrocersruelatudedesvI(LMAH)EBAEDLLHA.E rueltxesdnoiavsemerês txêrem D savelrues ’attractomainesd tcoidnsedsa’ttarDomaine

ededlavssrueocerLLDEI(AHAHLMtu)EtaoisneLaHrv,eelrdsetleursapplic.EBA Tempsrecordsevtlauesrerocdr T s 4 ps

Définition On définit la suite de temps records L ( n ) par la relation de récurrence suivante : L ( 1 ) = 1 L ( n + 1 ) = min { j > L ( n ) : X j > X L ( n ) }, n = 2 , 3 , . . . , La suite des valeurs records est donnée par : X ( n ) = X L ( n ) = X L ( n ), L ( n ) = M L ( n ) n = 1 , 2 , . . .

emcoreserdaltv J s 7 r i u u e l o l c t e e r 02 s 0 d 1 r 112/