Chapitre II – Approche théorique du transfert de charge entre fibre et matrice Introduction .............................................................................................................................. 33 II.1. Approche simple du transfert de charge......................................................................... 34 II.2. Effet de la dilatation de Poisson pendant la sollicitation du composite ........................ 36 II.3. Frottement constant et frottement de Coulomb.............................................................. 42 II.3.1. Déplacement pendant la traction de la fibre : frottement de Coulomb.................... 46 II.3.1.1. Premier chargement..........................................................................................46 II.3.1.2. Déchargement/rechargement............................................................................48 II.3.2. Déplacement pendant la traction de la fibre : frottement constant .......................... 50 II.4. Contraintes thermiques résiduelles.................................................................................52 II.4.1. Effet des propriétés des composants sur les contraintes thermiques 52 II.4.2. Effet de la contrainte thermique axiale sur les interactions fibre/matrice .................. 56 II.5. Mesure expérimentale des propriétés de l’interface....................................................... 60 II.5.1. Exploitation de la fissuration matricielle.... ...
Chapitre II Approche théorique du transfert de charge entre fibre et matrice Introduction .............................................................................................................................. 33 II.1. Approche simple du transfert de charge......................................................................... 34 II.2. Effet de la dilatation de Poisson pendant la sollicitation du composite ........................ 36 II.3. Frottement constant et frottement de Coulomb.............................................................. 42 II.3.1. Déplacement pendant la traction de la fibre : frottement de Coulomb.................... 46 II.3.1.1. Premier chargement .......................................................................................... 46 II.3.1.2. Déchargement/rechargement ............................................................................ 48 II.3.2. Déplacement pendant la traction de la fibre : frottement constant .......................... 50 II.4. Contraintes thermiques résiduelles................................................................................. 52 II.4.1. Effetdes propriétés des composants sur les contraintes thermiques .......................... 52 II.4.2. Effetde la contrainte thermique axiale sur les interactions fibre/matrice .................. 56 II.5. Mesure expérimentale des propriétés de linterface....................................................... 60 II.5.1. Exploitation de la fissuration matricielle................................................................. 60 II.5.2. Test dextraction de fibre (pull-out) ........................................................................ 62 II.5.3. La technique dindentation ...................................................................................... 63 II.6. Conclusion...................................................................................................................... 65 Introduction Dans ce chapitre, nous faisons une revue des articles pionniers dont les analyses intégrant les différents aspects qui doivent être pris en compte pour rendre compte de façon formelle du comportement mécanique de linterface entre fibre et matrice. Les articles cités portent essentiellement sur le cas de composite à matrice céramique (CMC). Nous détaillons dans un premier temps du transfert de charge entre fibre et matrice (§ II.1, II.2 et II.3), de leffet des contraintes thermiques résiduelles (§ II.4) et de la mesure des propriétés interfaciales (§ II.5). Dans la plupart des rapports expérimentaux depush-down (oupush-through), la résistance au glissement à linterface est considérée comme constante [MARS 84, 86, 87, 90, 92, WEIL 88, 91]. Dans cette analyse on néglige la dilatation transversale de la fibre et la variation de compression interfaciale qui en résulte et donc la contrainte de frottement. Dautres modèles sont basés sur le frottement de Coulomb, qui prend en compte la compression interfaciale, mais ne font pas intervenir les contraintes thermiques résiduelles [GAO 88 et SHET 88]. Certains auteurs ont pris en compte leffet de la contrainte thermique résiduelle axiale et radiale [HUTC 90, MARS 92, 94, PART 94] sous un chargement mécanique, sous une sollicitation thermique [COX 90] ou dans le cas particulier dune seule fibre chargée mécaniquement dans une matrice infinie [KERA 91].
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Dans ce qui suit, pour introduire la problématique, nous présentons succinctement lapproche simple et basique du cisaillement interfacial constant. La prise en compte des effets de Poisson est ensuite présentée sur la base du modèle deshear-lagde Shetty, ainsi que la prise en compte du frottement de Coulomb à linterface. II.1. Approche simple du transfert de charge Le transfert de charge entre fibre et matrice opère au voisinage dune discontinuité dans la fibre ou dans la matrice. Il en résulte un gradient de contrainte dans la fibre qui est équilibré par le cisaillement interfacial (Fig. II. 1). τ RmF F + dF Rfτdx Fig. II.1. Equilibre des effets sur un élémentdxde fibre. Le transfert de charge peut alors être exprimé facilement par lexpression suivant : = − . ddσxf2Rfτ(II 1) avecσf ;, la contrainte axiale dans la fibreRf, le rayon de la fibre etτ, le cisaillement interfacial. Si ce dernier est supposé constant (τ=τ*),σfvarie linéairement le long de laxe de la fibre. On considère une fibre enchâssée dans la matrice sur une profondeurH, subissant un effortFappliqué à lune de ces extrémités (Fig. II. 2). La contrainte dans la fibre décroît alors linéairement à partir de la contrainte appliquée jusquà zéro. (σf(x=0) = F/πRf2). On suppose que le rayon de matriceRmce qui revient à considérer que la fraction, est très grand, volumique de la fibre est très petite (Vf= Rf2/Rm2→0). Dans la zone où le transfert de charge opère, la fibre sallonge. La longueur,l, de cette zone est simplement donnée à partir de lEqu. II. 1 par : l=σf(x=0)R2f=2FR (II.2) τ πfτ 34
F
σfσfmax(x=0) A σf(x=0)
O ττ*
B l
H
x Fig. II.2. Schéma de lextraction dune fibre et profils de contrainte correspondants. Le déplacement de lextrémité de la fibre est proportionel à laire du triangle OAB et il sécrit : 2 U(F<Fmax)=4π2RF3fEfτ)II(.3* La force atteint un maximum lorsquelatteintH, cest la force darrachement : Fmax=2πRfHτ* (II.4) et le déplacement de la force : U(F=Fmax)=4π(2Fxam3E)2τ (II.5) Rf f* Comme le glissement se fait maintenant sur toute la longueur enchâssée, la fibre peut se déplacer dans sa totalité et la longueur de la zone dinteraction entre fibre et matrice diminue progressivement : Sachant queU(F=Fmax) <<H, la force dextraction diminue linéairement avec le déplacement (Fig. II. 3) Fmax=2πRfτ*H (II.6a)
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= F2Rf* (H−U) (II.6b) Le même type de courbe est obtenu si on applique une poussée à lextrémité de la fibre (essai depush-through). F Fmax
II.2. Effet de la dilatation de Poisson pendant la sollicitation du composite Modèle shear-lagde Shetty Selon la théorie dushear-lag frottement interfacial dans un composite le monofilamentaire détermine le cisaillement interfacial. La résistance de frottement est déterminée par la contrainte radiale de compression,σr, qui agit perpendiculairement à linterface fibre/matrice et par le coefficient de frottement,µ, à linterface : τ= µσr (II.7) La contrainte radiale,σr, est la somme de la contrainte thermique résiduelle (résulte du misfit entre les coefficients de dilatation thermique de la fibre et de la matrice) et la contrainte radiale (qui se produit à cause de leffet de Poisson). Sous un chargement uniforme sur une extrémité libre de la fibre enchâssée dans la matrice, la fibre subi une contrainte à trois dimensions. La compression radiale à linterface (σr) augmente au dessus de la valeur initiale (σ0) à cause de la dilatation transversale de la fibre. Une solution approximativeuper-bondpeut être obtenue en supposant que la dilatation radiale de la fibre à nimporte quelle section située à distancexde lextrémité de la chargée (loaded end) est donnée par : ∆R xσ=(x) f( )Rf fEff
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(II.8)
oùσf(x)est la contrainte axiale locale de compressive dans la fibre,Rfest le rayon de la fibre, Efle modules dYoung de la fibre etνfle coefficient de Poisson de la fibre. La contrainte de compression résiduelle est généralement associée à la différence de coefficient de dilatation thermique entre fibre et matrice, qui est donnée par lEqu. II.9a : Em(αm−αf)∆T (II.9a) σ0ν−= (1+νm)+Em(E1f) f oùEm module dYoung de la matrice, estEf est le module dYoung de la fibre,αm est le coefficient de dilatation thermique de la matrice,αfest le coefficient de dilatation de la fibre, νmest le coefficient de Poisson de la matrice,νfest le coefficient de Poisson de la fibre,∆Test la gamme de refroidissement où la contrainte thermique se produit. Pour des fibres qui sont rigides par rapport à la matrice (Ef>>Em), lEqu. II.9a peut se simplifier comme suit : Em mT σ0=((1−f))∆ (II.9b) +νm Si cette dilatation de fibre est accommodée par un déplacement élastique de la matrice, la contrainte radiale dans linterface,σr, est donnée par les propriétés élastiques de la fibre, de la matrice et la contrainte axiale dans la fibre,σf: σr( )=σ0+kσf(x) (II.10) oùk un paramètre qui est une fonction des propriétés élastiques de la fibre et de la est matrice : =Em f k (II.11) Ef(1+m) Il faut noter que lhypothèse de Shetty se base sur la présence dune contrainte radiale de compression qui est notée positive. Si la contrainte est en tension (négative), une fois que la décohésion se produit, la fibre se sépare de la matrice et glisse librement. Si la force appliquée à lextrémité de la fibre est supportée complètement par le frottement interfacial, lexpression suivante revient à équilibrer chaque élémentdx la de fibre : d −πRf2dσxf=2πRfσµ (II.12) r La substitution de lEqu.II.10 dans lEqu. II.12 et lintégration donnera la solution suivante pour la contrainte de compression axiale dans la fibre : 37
(II.13) σf(x)=k1⎢⎣⎡⎝⎛⎢⎜σ0+πFkR2f⎠⎟⎞exp⎝⎜⎛−2µRfk x⎠⎟⎞−σ0⎦⎥⎥⎤ oùF la force appliquée sur lextrémité de la fibre. Notons que lEqu. II.13 satisfait la est condition limite deσf(x = 0) =Fmax/πR2. Pour une force appliquée donnéeF, il y a une distance finiex =lla contrainte axiale diminue à zéro, et celle-ci est donc pour laquelle définie comme la longueur de glissement : lRfln⎛σ0+k Fmax⎞ =2µk⎜⎝πRf2σ0⎠⎟ (III.14) Il faut noter que léquation II.13 nest pas une solution complète dupush-out la de fibre quandl<H, i.e., la longueur de glissement est plus petite que la longueur enchâssée de la fibre. Quand la longueur de glissement (l) approche la longueur totale (H), la force appliquée à pousser la fibre est maximale, et la charge maximale correspondanteFmax est donnée par lexpression suivante : FπRf2σr⎛⎡2µk H⎞1⎤ max 0exp =k⎢⎣⎢⎜⎝Rf⎟⎠−⎥⎦⎥ (II.15) LEqu. II.15 fourni une base pour la détermination expérimentale des paramètres interfaciaux,µ etσr0. Celle ci peut être faite en réalisant une série dessais darrachement (push-out)ou dindentation (push-incomposites en faisant varier lépaisseur, i.e., en) sur des faisant varier la longueur enchâssée de la fibre. La courbe typique de ce type dessai doit présenter une région élastique linéaire qui se termine par la force de la décohésion, puis un stade non linéaire daugmentation de charge correspondant à laugmentation de la longueur du glissement dans léprouvette et, lorsqueFmaxest atteint, une diminution de charge quand la fibre glisse dans sa totalité et sextrait de la matrice La Fig. II. 4 compare la variation de la contrainte du cisaillement le long de linterface de fibre prévue par le modeleshear-lag(analyse de Shetty), avec les éléments finis et dans le cas du cisaillement interfacial constant. On voit bien que le cisaillement interfacial est maximal à proximité de la surface et ensuite diminue. La contrainte de cisaillement interfacial est plus grande pour le modèle délément finis et le modèleshear-lagpar rapport au modèle à τ A partir des équations II.12 et II.13 on peut conclure que la variation de la constant. contrainte du cisaillement interfacial (ISS) le long de linterface est donnée par la relation suivante :
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⎛ ⎞ ⎛ ⎞ τx= µ⎜σ0+πFkRf2⎟exp⎜−2µRfk x⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
µ = 0,1 σr0= 8,5 MPa
µ = 0,1 σr0= 17 MPa
(- ) : Shear-lage (o) : éléments finis (Faber et al (---) : cisaillement interfacial constant
(II.16)
Fig. II.4. Comparaison des variations de la contrainte de cisaillement le long de linterface fibre-matrice selon lanalyse dushear-lagaux éléments finis et cas du cisaillement constant (Rf= 15m,Ef= 200 GPa,νf= 0,15Em= 80 GPa,νm= 0,3,Fmax= 0,44 N) [SHETT 88] Lanalyse dushear-lag les résultats déléments finis montrent une allure similaire et sauf si on est proche de lextrémité chargée de la fibre. La différence près de la surface de chargement est due aux différentes conditions supposées du chargement. Un chargement en pointe a été utilisé dans le calcul aux éléments finis, mais une pression uniforme a été supposée dans lanalyse dushear-lag. La source de la deuxième différence vient du choix sur la valeur deσ0. La calcul aux éléments finis a été fait pour une situation où linterface ne subie pas une compression résiduelle. Malgré ces différences, la Fig.II.4 montre deux résultats intéressants et similaires. Premièrement, les deux modèles (élément finis et analyse dushear-lag) montrent une augmentation significative de la contrainte de cisaillement interfacial en prenant en compte la dilatation transversale de la fibre. Deuxièmement, comme une conséquence de ce qui précède, la longueur de glissement de la fibre est plus petite que la valeur donnée dans le cas du cisaillement interfacial constant. Lanalyseshear-lagde Shetty peut être utilisée pour estimer le déplacement de la fibre sous une charge uniforme. Lintégration de la déformation de compression dans la direction
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de chargement sur la longueur de glissement, donnera la relation suivante, pour le déplacement de lextrémité chargée de la fibre : U=Rf(1µ−2kνfEk)F−Rf(1−µ2kνfEk)σ0×ln⎜⎛⎝σ0+σkF⎞⎟⎠ (II.17) 2f22f 0 Pour les conditions expérimentales de la Fig.II.4, lEqu.II.17 prévoit un déplacement de la fibre de 1,4 et 2,1 µm pour les deux cas deµ= 0,2 etσr0= 8,5 MPa etµ= 0,1,σr0= 17 MPa, respectivement. Ces valeurs calculées sont significativement plus petites que les valeurs mesurées par Marshall (U= 4,2 µm) [MARS 84]. Ce désaccord propose que, selon lanalyse shear-lag Shetty, lun ou lautre deµ ouσr0 les deux pour le composite SiC-LAS doive ou être plus petit que les valeurs supposées par Shetty. Par exemple, pourµ= 0,1 etσr0= 2 MPa, lEqu.II.17 prévoit un déplacement de la fibre du 4 µm, une estimation qui est plus proche de la valeur expérimentale. Dans le système du SiC/LAS III, lemisfit les coefficients de dilatation de la entre matrice LAS III (1.10-6/°C) et de la fibre de Nicalon (4.10-6/°C) produit une tension radiale considérable à linterface fibre/matrice quand le composite est refroidit à partir de la température délaboration [WEIH 91]. Cette contrainte produit une décohésion et un jeu entre fibre et matrice. Par ailleurs, à 1100 °C, la déformation radiale thermique estimée entre les deux composants (∆ε= 0,0032) est suffisamment plus grande que la déformation de Poisson maximale (∆ε = 0,001) induite par le test depoush-down. Le jeu entre la fibre et la matrice nest donc pas comblé. Donc, théoriquement, il ny a pas de contrainte radiale compressive à linterface fibre/matrice pendant lessai. Si le frottement de Coulomb est la seule source de résistance au glissement, alors la fibre devrait glisser librement. Puisque ceci ne se produit pas, une autre source de résistance au glissement doit être considérée. Linterface dans ces composites consiste en deux couches. La couche directement sur fibre est du carbone amorphe avec une épaisseur du 100 nm typiquement. La couche extérieure constituée de NbC polycristalin et son épaisseur peut varier de 20 à 200 nm. [WEIL 91]. La fissure et le jeu interfacial se trouvent généralement entre ces deux couches, et on suppose que le glissement se produit entre ces surfaces fissurées. Si la position de la fissure, relative à laxe dune fibre, varie sur la longueur ou sur la circonférence, le rayon effectif de la fibre varie. En conséquence, la surface de glissement sera rugueuse et irrégulière. Weihs et Nix [WEIH 91] proposent que cette surface rugueuse produit une résistance à glissement constante et la contrainte de frottement de Shetty se simplifie comme : =(0+kf) (II.18a)
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Pour introduire une base de résistance constante au glissement dans lhypothèse de Shetty, un terme constantτ0est ajouté à lEqu.II.18a : =0+(0+kf) (II.18b) Suite à la méthode dintégration de Shetty, Weihs et Nix [WEIH 91] ont obtenu le déplacement de lextrémité la fibre en fonction de la charge qui sécrit comme suit : 0 0 2 U=(1−2νfk)F−Rf(1−2νfk) (τ0+σr0)×ln⎡⎢⎢⎢⎢τ + µ⎝⎜⎛σr+πkFRf⎟⎤⎠⎥⎥⎥⎞⎥ (II.19) 2 2 2µkπRfEf2µk Efτ0µσ+r0 ⎢⎣⎥⎦ En utilisant lEqu.II.19, connaissantRf de la fibre) et (rayonF appliquée), (charge connaissant aussi les valeurs des constantes du composite et supposant queσr0 = 0, on peut faire varierµ etτ0déterminer les valeurs qui produisent le meilleur ajustement des pour données de test expérimentales. Le deuxième et troisième prédiction impliquent une moyenne de résistance au glissement,τavg, qui est obtenu par intégration deτ sur la longueur de glissement,l: 1l] τavg=l∫0[τ0+ µ(σr0+kσx)dx (II.20) La Fig. II.5 représente les résultats de trois coefficients de frictions 0,01, 0,1 et 0,5 et une contrainte de frottement constant de 11 MPa. Il apparaît que pourµ= 0,01 lajustement est le meilleur. Cette observation est tout à fait en accord avec la mesure deµ de Marshall [MARS 86]. Labsence courbure sur la courbe théorique avecµ 0,01 (Fig. II.5 droite) = montre que le modèle modifié de Shetty est en accord avec le modèle de Marshall et Oliver [MARS 87] tant queµest petit et queτ0est grand.
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Analyse modifiée de Shetty µ = 0,5 µ = 0,1
µ = 0,01
Analyse modifiée de Shetty 0,5 µ = 0,1 µ =
µ = 0,01
Fig. II.5. Comparaison de la force en fonction du déplacement pour un essai du push-downles valeurs prévues par lEqu. II.20.et A gauche : force-déplacement, à droite : Carré de la force-déplacement [WEIH 91]. II.3. Frottement constant et frottement de Coulomb. Modèle de Hutchinson et Marshall [HUTC 90, MARS 92] Nous considérons ici un composite cylindrique renforcé par une fibre continue alignée donnant une fraction volumiqueVf : par donnéVf =Rf2 /Rm2 (Fig. II.6). Deux types de résistance au glissement seront considérées : (1) une contrainte de frottement entre fibre et matriceτ0 constante sur toute la région où le glissement se produit, et (2) une frottement Coulomb, avec la contrainte de frottement qui est proportionnelle à la contrainte normale (radiale),σr, dans la même région (Equ.II.7). Le glissement avec frottement se produit lors dun déplacement relatif entre fibres et matrice. Ces déplacements sont mesurés directement dans les essais depush-out/pull-out et sont, dans les composites à matrice céramiques réels, reliés à louverture des fissures matricielles pontées par les fibres. Le déplacement est donné par lintégration de la déformation axiale dans la fibre et dans la matrice. Lanalyse de Hutchinson et Jensen [HUTC 90] fournit des solutions pour la déformation axiale en fonction des propriétés de frottement, de lénergie de décohésion et dautres paramètres appropriés. Nous considérons une fibre enchâssée dans une matrice cylindrique, la fibre est isotrope. La contrainte axiale,σfdans la fibre pendant le premier chargement est présentée Fig. II.6. En avant de la région de décohésion et de glissement, la contrainte axiale et la déformation sont constantes et données avec les conditions aux limites de Type I : les déformations axialesεf etεm dans la fibre et dans la matrice sont égales. Enfin, la contrainte normale et le déplacement dans linterface fibre/matrice sont continus. Un indice supérieur (+) dénote la position en avant de la
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décohésion, et (-) dénote la position en arrière, dans la zone de glissement. Lindice inférieur r correspond à la contrainte radiale, la déformation et le déplacement dans linterface, et les indices inférieurs f et m correspondent aux quantités axiales respectivement dans la fibre et dans la matrice. Glissement avec frottement σa
R Rf
Int rf li
+ σm + σf + σm
n n σa -σf τ=σf a1fσa∆σfΓ - + + γ=σf-σfσf0 + σf + + σf= a1fσaσf0 + x Fig. II.6. Modèle de composite cylindrique utilisé pour lanalyse de Hutchinson et Marshall. (b) contrainte axiale dans la fibre pendant le chargement initial La contrainte et la déformation sont données par : σ+f=a1Vfσa−a2EmεT (II.21a) σr+=a3Vfσa−a4EmεT (II.21b) εf+= ε+m=a5Vfσa/Em+a6εT (II.21c) où lesaisont des fonctions sans dimension deVf, (Vf= Rf2/Rm2avecRf le rayon de la fibre et Rmcelui de la matrice).σaest la contrainte axiale appliquée à lextrémité chargée de la fibre, correspondant àVf= 0,([MARS 92]). En arrière de la fissure de décohésion, les variations de la contrainte et du déplacement relatif loin de la fissure sont données par le problème de Lamé sans leffet dumisfit thermiqueet, puisquil y a glissement relatif, avec∆εf≠∆εm. Avec la