exercice mathématiques DST

François Mailloux

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• Langue: Catalan

Extrait

Mathématiques
DST 3
Exercice 1 (Asie, juin 2007) – 7 points
On désigne par a un réel strictement positif et différent de 1.
a x
E On se propose de rechercher, dans l'interva]ll0e ;∞[, les solutions de l'équation : : .x =aa
Partie A – Étude de quelques cas particuliers
1.Vérifier que les nombres 2 et 4 sont solutions de l'équaEtion.
2
2.Vérifier que le nombrea est toujours solution de l'équatioEn .
a
3.On se propose de démontrer que e est la seule solution de l'équEatio. nO n noteh la fonction
e
définie sur l'intervalle ]0;∞[ par :h x=x –elnx.
a)Question de cours
t
e
On rappelle que lorsquet tend vers ∞ , alors tend vers ∞ .
t
lnx
Démontrer que lim =0.
xx∞
b)Déterminer les limites deh en 0 et en ∞ .
c)Étudier les variations deh sur l'intervalle ]0;∞[.
E d)Dresser le tableau de variation deh et conclure quant aux solutions de l'équation .e
EPartie B – Résolution de l'équation a
E 1.Soit x un réel strictement positif. Montrer quxe est solution de l'équation si, et seulement six, a
lnx lna
est solution de l'équation : .=
x a
lnx
2.On considère la fonction f définie sur l'intervalle] 0;∞[ par f x= .
x
a)Déterminer les limites de en 0 et en . Donner une interprétation graphique de ces deux limites.f ∞
b)Étudier les variations de f sur l'intervalle ]0;∞[.
c)Dresser le tableau des variations de la fonctiofn.
  d)Tracer la courbe représentative de la fonctiofn dans un repère orthonormal . (Unité : 2O; i , j
cm).
P  P  3.Justifier à l'aide des résultats précédents les propositions et suivantes :1 2
P  E : sia ∈]0;1] alors admet l'unique solutiona ;1 a
P  E : sia ∈]1;e[∪]e;∞[ admet deux solutionsa et b, l'une appartenant à l'intervall]e1 ;e[ et 2 a
l'autre appartenant à l'intervalle .]e;∞[
Page 1/2Exercice 2 (Inde, avril 2005) – 6 points
10
n
u Pour tout entier natureln , on poseu = . On définit ainsi une suite .
n n n∈ℕn
2
1.Prouver, pour tout entier naturenl non nul, l'équivalence suivante :
10
1
u 0,95u si et seulement si .1 1,9n1 n  n
10
1
2.On considère la fonction f définie sur [1;∞[ par .f x= 1 x
a)Étudier le sens de variation et la limite e∞n de la fonction f.
b)Montrer qu'il existe dans l'intervalle[ 1;∞[ un unique nombre réel tel que f =1,9.
n n –1n c)Déterminer l'entier naturel tel que .0 0 0
10
1
d)Montrer que, pour tout entier naturnel supérieur ou égal à 16, on a1 : 1,9. n
3.
a)Déterminer le sens de variation de la suitue  à partir du rang 16.
n
b)Que peut-on en déduire pour la suite ?
4.En utilisant un raisonnement par récurrence, prouver, pour tout entier naturel supérieur ou ég al à 16,
n –16
l'encadrement : 0u 0,95 u .
n 16
u En déduire la limite de la suite .n n∈ℕ
Exercice 3 (Antilles-Guyane, septembre 2007) – 3 points
Pour chacune des questions, quatre propositions sont proposées dont une seule est exacte.
Pour chacune des questions, donner, sans justification, la bonne réponse.
Une bonne réponse donne 0,75 point, une mauvaise réponse enlève 0,25 point et l'absence de r éponse est
comptée 0 point.
Tout total négatif est ramené à zéro.
v=v On considère une suite. On considère la suuite définie pour tout entier naturenl par :n n0
–vn
.u =e 1
n
1. est un réel strictement positif et désigne la fonction logarithme népérien. vSi= lna alors :a ln 0
1 1 –a
u =–a1a)u = 1 ; b)u = ; c) ; d) .u =e 10 0 0 0
a 1a
2. Si v est strictement croissante, alors :
a)u est strictement décroissante et majorée par 2.
b)u est strictement croissante et minorée par 1.
c)u est strictement croissante et majorée par 2.
d) est strictement décroissante et minorée par 1.u
3. Si v diverge vers ∞ alors :
a)u converge vers 2.
b)u diverge vers ∞ .
c)u converge vers 1.
d) u converge vers L tel que L1.
4. Si v est majorée par 2 alors :
–2
a)u est majorée par .1e
–2
b)u est minorée par .1e
2
c)u est majorée par .1e
2
d) u est minorée par .1e
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