Exo2 - Etude harmonique premier ordre généralisé  corrigé
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Exo2 - Etude harmonique premier ordre généralisé corrigé

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Chap3 : Performances des SLCI EXERCICES d’AUTOMATIQUE : Simulation des SLCI Exercice 2 : étude harmonique d’un premier ordre généralisé (CORRIGE) S1(p) 1+a.τ1.pH1(p) = =K1. avec τ1 = 0,25s , K1=8 et a=3 E1(p) 1+ τ1.p 1+a.τ1.j.ωH1(j.ω) = K1. transmittance du système 1+ τ1.j.ω 1) N1(p) = K1.(1+a.τ1.p) On obtient la fonction de transfert complexe en remplaçant la variable de Laplace par l’imaginaire pur j.ω : N1(j.ω) = K1.(1+a.τ1.j.ω) Module : N1(j.ω) = K1. 1+ a².τ1².ω² Module en dB : G dB=20.logN1(j.ω) = 20.logK1+10.log(1+ a².τ1².ω²) N1 a.τ1.ω.K1Phase : ϕ = arg(N1(j.ω)) = artan( ) = artan(a.τ1.ω) K1 Diagramme d’amplitude : étude des asymptotes limG dB =lim(20.logN1(j.ω)) = lim(20.logK1+10.log(1+a².τ1².ω²)) = 20.logK1 N1ω→0 ω→0 ω→0Asymptote horizontale limG dB = lim(20.logN1(j.ω)) = lim(20.logK1+10.log(1+a².τ1².ω²))N1ω→∞ ω→∞ ω→∞limG dB = 20.logK1+lim(10.log(1+a².τ1².ω²)) N1ω→∞ ω→∞1limG dB = 20.logK1+lim(10.log(ω²( +a².τ1²)) =20.log(K1.a.τ1)+20.log(ω)N1ω→∞ ω→∞ ω²Asymptote de +20dB/decade Intersection des asymptotes : 20.logK1 =20.log(a.τ1.K1)+20.log(ω) −20.log(a.τ1) = 20.log(ω) 1ω = ≈1,33 a.τ1 Diagramme des phases : limϕ = lim(artan(a.τ1.ω)) = 0 ω→0 ω→0 πlim ϕ = lim(artan(a.τ1.ω)) = = 90° ω→+∞ ω→+∞ 2 1 a.τ1.ω.K1Pour ω = ≈1,33 , on a : ϕ = arg(N1(j.ω)) = artan( ) = artan(1) = 45° a.τ1 K1 Professeur : Franck Besnard 1 CPGE PCSI/PSI Chap3 : Performances des SLCI EXERCICES d’AUTOMATIQUE : Simulation des SLCI ...

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Chap3 : Performances des SLCI EXERCICES d’AUTOMATIQUE : Simulation des SLCI   Exercice 2 : étude harmonique d’un premier ordre généralisé (CORRIGE)  H1(p)=S1(p)=K1. 1+a.τ1.pavecτ1=0, 25s, K1=8 et a=3 E1(p)1+ τ1.p  H1(j.ω)=K1. 1+a.τ1.j.ω transmittancedu système 1+ τ1.j.ω  1) N1=K1. 1+a.τ1.  On obtient la fonction de transfert complexe en remplaçant la variable de Laplace par l’imaginaire pur.ω:N1.ω =K1. 1+a.τ1. .ω  Module :.N1ω =K1. 1+a².τ1².ω²  Module en dB : GN1dB=20.log N1(j.ω)=20.logK1+10.log(1+a².τ1².ω²)  Phase :ϕ =ar N1 .ω =tan.araτ1.ω.K1=artana.τ1.ω K1  Diagramme d’amplitude : étude des asymptotes  lωim0GN1dB=liω→m0(20.log N1(j.ω) )=liωm0(20.logK1+10.lo 1+a².τ1².ω²=20.lo K1 Asymptote horizontale  lim GN1dB=lim(20.log N1(j.ω) )=lim(20.log K1+10.log(1+a².τ1².ω²) ) ω →∞ ω→∞ ω→∞ lim GN1dB=20.logK1+lim(10.log(1+a².τ1².ω²)) ω →∞ ω→∞ lωimGN1dB=20.logK1+lωim(10.log(ω²(ω1²+a².τ1²))=20.log K1.a.τ1+20.loω Asymptote de +20dB/decade  Intersection des asymptotes :20.lo K1=20.lo a.τ1.K1+20.loω  20.lo a.τ1=20.loω ω 331 1 = ≈,  a.τ1  Diagramme des phases :  limϕ =iltramana.τ1.ω =0 ω →0ω→0  limϕ =an.raatlmiτ1.π==ω90° ω →+∞ ω→ +∞2  Pourω =1τ11, 33, on a :ϕ = .ar N1ω =a.nartaτ1.1Kω.K1=ar tan 1=45° a.    Professeur : Franck Besnard CPGE PCSI/PSI  
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Chap3 : Performances des SLCI EXERCICES d’AUTOMATIQUE : Simulation des SLCI  Pourω =2.1a.τ12, 66, on a :ϕ =arg(N1(j.ω))=raat(n.aτ1.Ka.12τ.K11)=ar tan(2)63, 4°  2) H2(p)=1 1+ τ1.p Module :H2(j.ω)=1+ τ²1.1ω²  Module en dB : GH2dB=20.log H2(j.ω)=20.log120.log( 1+ τ1².ω²)= −10.log(1+ τ1².ω²  Diagramme d’amplitude : lωim(10.log(1+ τ1².ω²))=lωim(10.logω²(²1+ τ1²))= −20.logτ120.loω  ω Asymptote de -20 dB/dec  lim10.lo 1+ τ1².ω²=0 ω →0  Intersection pour :20.loτ120.loω =0 20.lo 1=20.loω τ1 20.lo 1=20.loω τ1 Soit : ω =1=1=4   τ1 0, 25  ϕ = .ar H2 −ω =ar tanτ1.ω  Diagramme des phases :  limϕ =limar tanτ1.ω =0 ω →0ω→0  lim=limar tanτ1.ω = − π90 = − ° ω →+∞ϕω→ +∞2  ar tanτ1. 2 6 4 τ1= −3,°  4)  La fonction de transfert isochrone s’écrit :  K K1. K1. H1(j.ω)=1Sj1(E.(j.ωω))=11.1++aτ.τ.11j..j.ωω=(1+a.τ1j.1+.τω.11²(.)ω²− τ1.j.ω)=1− τ1.j.ω1++a.ττ1..j.²1ωω²+a.τ1².ω²  H1 . 1+ 1.j. (aa. 1². ² 1) (jω)= τ1+τω+ωτ²ω − .  ² ² ² 1 . a . . Soit :H1(j.ω)=K1. 1+a.τ1 τω + − ω1 ² (1+ τ1².ω²)²  Professeur : Franck Besnard2  CPGE PCSI/PSI  
Chap3 : Performances des SLCI EXERCICES d’AUTOMATIQUE : Simulation des SLCI  ω = + τ ω (grâce ulta Ou K).111H(1.j+τ1..1²²ω.²²aux rés ts précédents)  Module en dB : H1dB 20.log(j. )11.1K+²a1.τ²²..²1ω² ²) 1². 10.log(1 ²) 1². 10.log(1 a².20.log K1 ω = τ + ω=++ωτ+ωτ   =r t a1 .τ1.ω a an ϕ1+a.τ1².ω²  5)  Détermination de l’extremum de l’argument :  Soit : af( )1 .τ1.ω ω = 1+a.τ1².ω² df d a 1 . 1. a 1 . a. 1². ² 1 ω=τω²=.1a(τ1².ω²)² dωdω1+a.τ1². τ ωω  +  Cette dérivée s’annule pour :a.1.aτ1².ω²1=0 
 Soit : ωM=11 a.τ  La fonction arctangente étant monotone, le maximum est atteint pourωM=1.aτ1  Et le maximum est donc :ϕ =ar tana21a  Cette fonction de transfert est celle d’uncorrecteur à avance de phase.  7)  a=0,5  H1(p)=)p()1S(p=11.K1++aτ.τ.1p1.=8. 1+01+,p0..5,,052p.52 E1 p  N1=K1. 1+a.τ1.  On obtient la fonction de transfert complexe en remplaçant la variable de Laplace par l’imaginaire pur.ω:N1.ω =K1. 1+a.τ1. .ω  Module :.N1ω =K1. 1+a².τ1².ω²  Module en dB : GN1dB=20.log N1(j.ω)=20.logK1+10.log(1+a².τ1².ω²)  Phase :Nraar1..nataτ1.ωaKn.rt1.a.1a ϕ = ω =K1= τ ω  Professeur : Franck Besnard CPGE PCSI/PSI  
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Chap3 : Performances des SLCI EXERCICES d’AUTOMATIQUE : Simulation des SLCI  Diagramme d’amplitude : étude des asymptotes  lωim0GN1dB=liω→m0(20.log N1(j.ω) )=liωm0(20.logK1+10.lo 1+a².τ1².ω²=20.lo K1 Asymptote horizontale  lim GN1dB=lim(20.log N1(j.ω) )=lim(20.log K1+10.log(1+a².τ1².ω²) ) ω →∞ ω→∞ ω→∞ lim GN1dB=20.logK1+lim(10.log(1+a².τ1².ω²)) ω →∞ ω→∞ = + ω + τ =K1.a.τ1+20.loω lωimGN1 ldB 20.logK1ωim(10.log( ²(ωg²ol.02))²11.²a Asymptote de +20dB/decade  Intersection des asymptotes :20.lo K1=20.lo a.τ1.K1+20.loω  20.lo a.τ1=20.loω ω =1=8 a.τ1  Diagramme des phases :  limϕ =a.anrtmaliτ1.ω =0 ω →0ω→0  =.tanaimarτ1.==ωπ90° ωlim+∞ϕlω→ +∞2   on a :ar Pourω =11.=8,ϕ =.1Nω =natara.τK1.ω1K1.=ar tan 1=45° aτ a.τ ω =2 1τ12, 66,21..K1n(tart)a(2an3,)6a1.aN(gr.j(1ra))  Pour..aon a :ϕ = ω =K1 ≈τ =4°  H2(p)=1  1+ τ1.p Module en dB : GH2dB=20.log H2(j.ω)=20.log120.log( 1+ τ1².ω²)= −10.log(1+ τ1².ω²  Diagramme d’amplitude : lim(10.log(1+ τ1².ω²))=lim(10.logω²( 1+ τ1²))= −20.logτ120.loω  ω →∞ ω→∞ω² Asymptote de -20 dB/dec  lim10.lo 1+ τ1².ω²=0 ω →0  ϕ = .ar H2ω = −ar tanτ1.ω  Diagramme des phases :  lim=lim ω →0ϕω→0ar tanτ1.ω =0 limϕ =limar tanτ1.πω==90° ω →+∞ ω→ +∞2  Fonction de transfert d’un correcteur à avance de phase. Professeur : Franck Besnard4 CPGE PCSI/PSI  
Chap3 : Performances des SLCI
                      
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correcteur à avance de phase 
                correcteur à retard de phase                    Professeur : Franck Besnard CPGE PCSI/PSI  
 
 
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