Extrait cours par correspondance de Mathématiques classe de Terminale S

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...COURS DE TS MATHS - 1 ème24 SERIE ère1 SERIE Suites numériques LECON 1 : raisonnement par récurrence 1. Raisonnement par récurrence : principe Axiome : Soit P(n) une proposition qui dépend d'un entier naturel n. Soit n un entier naturel. 0Pour démontrer pour tout entier naturel n n que P(n) est vraie, il suffit de procéder en 0deux étapes : 1 - vérifier que P(n ) est vraie 02 - démontrer que si pour un entier naturel n n P(n) est vraie, alors P(n+1) est vraie. 0 L'hypothèse faite en 2, « P(n) est vraie pour un entier naturel n n » s'appelle 0l'hypothèse de récurrence. L'étape 1 permet d'amorcer le processus, en établissant un rang à partir duquel la proposition P est valide. L'étape 2 consiste à établir qu'à partir de ce rang initial, la propriété se transmet de proche en proche, d'un rang au rang suivant. On fait souvent une analogie avec un escalier – dont toutes les marches seraient similaires. Savoir gravir un escalier c'est savoir accéder à la première marche (étape 1) puis savoir passer de n’importe quelle marche à la suivante (étape 2). 2. Exemple de démonstration par récurrence On souhaite démontrer par récurrence la relation donnant la somme des carrées des n premiers nombres entiers en fonction de n, pour tout n entier naturel non nul : n n(n +1)(2n +1)2p = ∑ 6p =1 n n(n +1)(2n +1)2La proposition P à ...

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COURS DE TS MATHS 1 ère 1 SERIE Suites numériques LECON 1 : raisonnement par récurrence 1. Raisonnement par récurrence : principe Axiome : SoitP(n)une proposition qui dépend d'un entier natureln. Soitn 0 un entier naturel. Pour démontrer pour tout entier naturel n.n 0 queP(n)est vraie, il suffit de procéder en deux étapes : 1  vérifier queP(n 0 )est vraie 2  démontrer que si pour unentier natureln.n 0 P(n)est vraie, alorsP(n+1)est vraie. L'hypothèse faite en 2,«P(n)vraie pour un entier naturel estn.n 0  »s'appelle l'hypothèse de récurrence. L'étape 1 permet d'amorcer le processus, en établissant un rang à partir duquel la propositionPest valide. L'étape 2 consiste à établir qu'à partir de ce rang initial, la propriété se transmet de proche en proche, d'un rang au rang suivant. On fait souvent une analogie avec un escalier – dont toutes les marches seraient similaires. Savoir gravir un escalier c'est savoir accéder à la première marche (étape 1) puis savoir passer de n’importe quelle marche à la suivante (étape 2). 2. Exemple de démonstration par récurrence On souhaite démontrer par récurrence la relation donnant la somme des carrées desn premiers nombres entiers en fonction den, pour toutnentier naturel non nul : n n(n+1)(2n+1) 2 p= ∑ 6 p=1 n n(n+1)(2n+1) 2 La propositionPà démontrer est la relation ellemême.P(n): « p= » ∑ 6 p=1

COURS DE TS MATHS 2 Le rang initialn 0  est1, puisque l’on cherche à démontrer la relation pour tout entier naturel non nul. On applique les deux étapes du raisonnement par récurrence. 1) vérifier quePest vraie à partir d’un rangn 0 . Cela se traduit ici par la vérification deP(1). Pourn= 1 : 1 2  le premier membre de l’égalité vaut p=1 ∑ p=1 1×(1+1)×(2+1)  le second membre vaut : =1 6 Les deux membres de l’égalité sont égaux,P(1)est vérifiée. 2) Montrer que siP(n)est vraie alorsP(n+1)est vraie. P(n+1) s’écrit n+1n+1 (n+1)(n+1+1) [ 2(n+1)+3 ] (n+1)(n+2)(2n+3) 2 2 « p= » autrement dit « p= » ∑ ∑ 6 6 p=1p=1 On cherche à démontrer cette relation en s’appuyant surP(n),proposition supposée vraie parhypothèse de récurrence: n n(n+1)(2n+1) 2 p = ∑ 6 p=1 2 On ajoute (n+1) auxdeux membres de la relation, ce qui revient à ajouter le carré suivant à la somme des n premiers carrés : n n ( n +1)(2 n +1) 2 22 p+(n+1)= +(n+1) ∑ 6 p=1 n+1 n ( n +1)(2 n +1) 2 2 soit p= +(n+1) ∑ 6 p=1 n(n+1)(2n+1) 2 n(n+1)(2n+1)+6(n+1)(n+1) Or +(n+1) = 66 (n+1) [ n(2n+1)+6(n+1) ] = 6 2 (n+1)(2n+7n+6) = 6 (n+1)(n+2)(2n+3) ce qui équivaut à :. 6

COURS DE TS MATHS 3 n+1 (n+1)(n+2)(2n+3) 2 On obtient ainsi la relation : p= , qui est la propositionP(n+1) ∑ 6 p=1 On vient d’établir que siP(n)est vraie alorsP(n+1)est vraie. Conclusion :  LapropositionP(n)est vraie pourn=1, etpour toutn≥1, siP(n) alorsP(n+1) est vraie: lapropriétéP(n)est donc vraie pour toutn≥1.

COURS DE TS MATHS 4 Exercices 1 ) Démontrer par récurrence les propositions suivantes : n n(n+1) a) n= , pour toutnentier naturel non nul ∑ 2 p=1 n n(n+1)(2n+1) 2  b) p= , pour toutnentier naturel non nul ∑ 6 p=1 3  c)n–n est un multiple de 3 pour toutnentier naturel supérieur ou égal à 2. n  d)pouraréel strictement positif, (1+a).1+na 2 ) Soit (u n pour tout n appartenant à) définie`par : ⎧ u=2 0 ⎨ u=2u+1 ⎩ n+ 1 n a)montrer par récurrence que pour tout n entier naturel u n est positif b)montrer par récurrence que pour tout n, u n+1 >u n

COURS DE TS MATHS 5 LECON 2 Suites numériques monotones  Bornes 1. Monotonie 1.1 Définitions Soit(u )une suite. n (u )estcroissantesi, pour tout entier n, u≤u nn n+1 (u )estdécroissantesi, pour tout entier n, u≥u nn n+1 (u )estmonotonesi elle est croissante ou décroissante. n 1.2 Exemples

La suite (u n ) définie sur`par u n = n est croissante.

La suite (u n ) définie sur`par u n = −n est décroissante. 1 La suite (u n ) définie sur`\ {0} par u n = est n décroissante. n La suite (u n ) définie sur`par u n = (1)n’est pas monotone. 1.3 Techniques d’étude Différents moyens sont à notre disposition pour étudier la monotonie d’une suite. On peut :  raisonner par récurrence, comme cela a été présenté précédemment.  comparer directement u n et u n+1 : en faisant l’étude du signe de la différence u n+1 u n u n+ 1 en comparant le quotientà 1, si tous les termes sont strictement positifs u n

COURS DE TS MATHS 6  faire appel à l’étude d’une fonction f(n) sur [0,+∞[, pour les suites de la forme u n =f(n). 2. Suite majorée, minorée, bornée 2.1 Définitions Soit (u) une suite. n (u )estmajorées’il existe un réel M tel que, pour tout entier n, u≤M. n n (u )estminorées’il existe un réel m tel que, pour tout entier n, u≥m. n n (u )estbornéesi elle est majorée et minorée. n Remarque  Siune suite est majorée par un réel A, elle l’est également par tout réel supérieur à A. De façon similaire, Si une suite est minorée par un réel B, elle l’est également par tout réel inférieur à B. 2.2 Exemples 1 1)(u n ) définie sur`u\{0} par n majorée par 1, et minorée par 0, elle est donc= est n bornée. 2)La suite (u n ) définie sur`par u n = n est minorée par 0, mais n’est pas majorée. 2.3 Techniques d’études Pour démontrer qu’une suite (u n ) est majorée par M, on peut : raisonner par récurrence étudier le signe de u n M

COURS DE TS MATHS 7 Exercices 1) Etudier la monotonie des suites suivantes : a) u n = 3n+8 , pour n∈` 2 *  b)u n = ,pour n∈` n 2 * c)u n = 3, pour n∈` n d) u=n+sinn , pour n∈` n ⎧ u=0 ⎪ 0 2) Soit la suite (u n ) définie par ⎨ pour n∈`. u=u+1 ⎪ n+1n ⎩ 1+5 a) Montrer que u n est majorée par 2 b) Montrer que u n est bornée.