Generalites sur les fonctions - Cours 1S
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FONCTIONS : GÉNÉRALITÉSCe chapitre ne traite que des "fonctions numériques de la variable réelle", c'est-à-dire des fonctions définies surtout ou une partie de et à valeurs dans .Les notions de parité, d'extremums et de sens de variation ont déjà été abordées en classe de seconde.1. Ensemble de définition d'une fonctionDéfinition 1Définir une fonction (ou une application) ƒ sur un ensemble de réels D, c'est associer à tout réel x de D un réelet un seul noté ƒ(x).Remarque : à notre niveau, D sera toujours un intervalle ou une (ré)union d'intervalles.Exemples :2• La fonction ƒ définie sur [0 ; 3] par ƒ(x) = x + 1.(1) Ici, la représentation graphique de ƒ ne sera qu'un morceau de parabole : On note encore : ƒ : [0 ; 3] fi2 x a x + 1 1• La fonction g : [0 ; +¥[ fi 1 2 3 x a x Remarquer que l'on ne peut pas définir g sur un ensemble plus grand.Définition 2L'ensemble de définition d'une fonction ƒ est l'ensemble de tous les réels x pour lesquels ƒ(x) est calculable.Exemples :1• Soit ƒ la fonction définie par ƒ(x) = .x + 1 Son ensemble de définition est D = ]-1 ; +¥[ puisque ƒ(x) n'est calculable que lorsque x + 1 > 0.ƒ24 - x 2• Soit g la fonction définie par g(x) = . La fonction g est définie lorsque x „ -1 et 4 - x 0.x + 12 On résout l'inéquation 4 - x 0 en la factorisant ((2 - x)(2 + x) 0) puis à l'aide d'un tableau de signes :x –¥ –2 2 +¥+ + 0 –Signe de 2 - x– 0 + +Signe de 2 + x– 0 + 0 –Signe de (2 - x)(2 + x)2L'ensemble des ...
Voir
0.ƒ24 - x 2• Soit g la fonction définie par g(x) = . La fonction g est définie lorsque x „ -1 et 4 - x 0.x + 12 On résout l'inéquation 4 - x 0 en la factorisant ((2 - x)(2 + x) 0) puis à l'aide d'un tableau de signes :x –¥ –2 2 +¥+ + 0 –Signe de 2 - x– 0 + +Signe de 2 + x– 0 + 0 –Signe de (2 - x)(2 + x)2L'ensemble des ..." />
Voir
2 0
– + –
2 La fonctiondéfinie sur [0 ; 3] par(x)=x+1.
Exemples : Soitla fonction définie par(x)=
1 . x+1
3
2
(1) Ici, la représentation graphique dene sera qu'un morceau de parabole :
Remarquer que l'on ne peut pas définirgsur un ensemble plus grand.
Définition 1
1. Ensemble de définition d'une fonction
: [0 ; 3]→ 2 + xax1 La fonctiong: [0 ;+∞[→ xax
On note encore :
FONCTIONS : GÉNÉRALITÉS
Ce chapitre ne traite que des "fonctions numériques de la variable réelle", c'estàdire des fonctions définies sur tout ou une partie deet à valeurs dans.
Définir une fonction (ou une application)sur un ensemble de réelsD, c'estassocierà tout réelxdeDun réel
1
1
Les notions de parité, d'extremums et de sens de variation ont déjà été abordées en classe de seconde.
r r (1) La représentation graphique dans un repère (O;i,j) d'une fonctiondéfinie sur un ensembleDest l'ensemble des points de coordonnées (x;(x)) pourx∈D. Généralités sur les fonctions Page1G. COSTANTINIhttp://bacamaths.net/
2 L'ensemble des solutions de l'inéquation 4−x0 est doncS=[−2 ; 2]. Et, tenant compte de la condition
x Signe de 2−x Signe de 2+x Signe de (2−x)(2+x)
L'ensemble de définition d'une fonctionest l'ensemble detousles réelsxpour lesquels(x) est calculable.
2 4−x 2 Soitgla fonction définie parg(x)=La fonction . gest définie lorsquex≠−1 et 4−x0. x+1 2 On résout l'inéquation 4−x0 en la factorisant ((2−x)(2 +x)0) puis à l'aide d'un tableau de signes :
Remarque : à notre niveau,Dsera toujours un intervalle ou une (ré)union d'intervalles. Exemples :
Son ensemble de définition estD=]−1 ;+∞[ puisque(x) n'est calculable que lorsquex+1 > 0.
Définition 2
x≠−1, il vient :Dg=[−2 ;−1[∪]−1 ; 2].
et un seulnoté(x).
–∞
–2
+∞
0
+ + +
+ – –
0 0
2. Comparaison de fonctions
Définition 3
SoitDune partie de. Soientetgdeux fonctions définies au moins surD.
On dit que les fonctionsetgsont égales surDsi :(x)=g(x) pour toutx∈D On note alors simplement :=gsurD.
Exemples : Considérons les fonctions,gethdéfinies par : :→ 2 xax On a :=gsur,=hsur+etg=hsur+.
g:→ xa|x|
h:→ xax
Remarque : attention ! Ne pas faire de simplification abusives dans les expressions de fonctions : Les fonctionsetgdéfinies par : :\ {5}→g:→ (x−5)(x+2) xaxax+ 2 x−5 ne sont pas égales sur(puisquen'est pas définie sur). Mais elles sont égales sur\ {5}. (Car, six≠5,
on peut simplifier parx−5 dans l'expression de(x))
Définition 4
SoitI un intervalle et soientetgdeux fonctions définies au moins surI. On dit que :
est inférieure àgsurIlorsque :(x)g(x) pour toutx∈I. On note :gsurI.
est positive surI lorsque :(x)0 pour toutx∈I. On note :0surI.
est majorée surIlorsqu'il existe un réelMtel que :(x)Mpour toutx∈I.
est minorée surIlorsqu'il existe un réelmtel que :m(x) pour toutx∈I.
est bornée surIlorsqu'il existe des réelsMetmtels que :m(x)Mpour toutx∈I. (est majorée et
minorée)
Remarque : la relation d'ordre pour les fonctions n'est pas totale ; en ce sens que deux fonctions ne sont pas toujours comparables (voir exemple cidessous) Exemples :
2 1) On considère les fonctionsetgdéfinies sur+par(x)=xetg(x)=x. Compareretg...
Les fonctionsetgne sont pas comparables sur+. En effet :
1 11 1 g (puisque ) mais(2)g2(2) (puisque 4) 2 22 4
Cependant, on a :gsur [0 ; 1] etgsur [1 ;+∞[.
Ceci se prouve en étudiant le signe de la différence(x)−g(x) :
Généralités sur les fonctions
2 (x)−g(x)=x−x=x(1−x)
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9
4
1
1
2
Cg
3
C
G. COSTANTINIhttp://bacamaths.net/
Tableau de signes :
On a donc bien :(x)−g(x)0 lorsquex∈[0 ; 1] et(x)−g(x)0 lorsquex∈[1 ;+∞[.
2 2 Autrement dit :xxlorsquex∈[0 ; 1] etxxlorsquex∈[1 ;+∞[.
2 Moralité : un nombreAn'est pas toujours inférieur à son carréA... 1 2) On considère la fonctiondéfinie surpar(x)=x(1−x). Démontrer queest majorée surpar . 4
Là encore, on étudie le signe de la différence : pour toutx∈, on a :
2 1 1 121 −(x)=−x(1−x)=−x+x= −x 4 4 4 2
2 11 Et comme, −x0 pour toutx∈, on en déduit :(x) pour toutx∈. 2 4
1 1 1 La fonctionest le plus petit des majorants de. (Et est donc bien majorée par (autrement dit : est un 4 4 4 1 maximum de) puisque pourx=, ce majorant est atteint) 2 3) Démontrer que la fonctionϕdéfinie pourt∈parϕ(t)=4sint−3 est bornée sur.
Cette foisci, on utilise le fait que :−1sint1 pour toutt∈.
En multipliant cet encadrement par 4, puis en soustrayant 3, on obtient :−7ϕ(t)1 pour toutt∈.
La fonctionϕest donc bien bornée sur.
INTERPRÉTATIONS GRAPHIQUES :
est majorée (sur)
Généralités sur les fonctions
C
C
est minorée (sur)
m
La courbeCest au dessus d'u
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est bornée (sur)
m
La courbeCest contenue dans une bande horizontale
C
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Propriété
Soitune fonction monotone sur un intervalleI=[a;b]. Alorsest bornée.
Démonstration : Supposonscroissante sur [a;b]. (Le cas "décroissante" se traite de manière analogue)
Soitx∈[a;b]. On a doncaxb.
Et commeest croissante, elle conserve les inégalités, d'où :(a)(x)(b).
Les nombres(x) sont encadrés par(a) et(b) pour tousx∈[a;b]. Autrement dit,est bornée.
3. Composition de fonctions
Voir fiche ciaprès.
4. Sens de variation d'une fonction
Définition 5
SoitIun intervalle (ouvert ou fermé, borné ou non) Soitune fonction définie au moins surI. On dit que :
est croissante surIsi : pour tousuetvdansI:u<v⇒(u)(v)
est strictement croissante surIsi : pour tousuetvdansI:u<v⇒(u) <(v)
est décroissante surIsi : pour tousuetvdansI:u<v⇒(u)(v)
est strictement décroissante surIsi : pour tousuetvdansI:u<v⇒(u) >(v) est monotone surIsiest croissante surIou décroissante surI. est strictement monotone surIsiest strictement croissante surIou strictement décroissante surI.
Remarques : ces notions ne sont valables que sur un intervalle on dit parfois queest croissante si elle conserve les inégalités et queest décroissante si elle renverse les inégalités.
Le sens de variation des fonctions suivantes est à connaître parfaitement : 2 31 xaax+ b xax xax xa x
Exemple 1 :où l'on utilise le sens de variation des fonctions usuelles −3 Soitla fonction définie par :(x)=+2. 5−2x
5 La fonctionest définie pour 5−2x> 0, c'estàdirex< . 2
5 Son ensemble de définition est doncD=−∞; . 2
Généralités sur les fonctions
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xa
x
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−3 5−2v
En traçant la courbe représentantsur une calculatrice, il semble quesoit strictement décroissante surD.
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u<v −u>−v
5−2u5 > −2v
C'estàdire :
Et enfin en ajoutant 2 :
5 Bilan : on a montré que, pour tous réelsuetvde−∞; :u<v⇒(u) >(v) 2
− − Alors est strictement décroissante surD. En effet, soientuetvdes réels quelconques deDtels que :
+ + − Les réelsuet−vsont des éléments deD. Comme est strictement croissante surD, on a :
+ − = ∈ NotonsD={x∈Dtels quex 0} etD{xDtels quex 0}.
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Exemple 2 :où l'on utilise la parité des fonctions Soitune fonction paire (i.e.Dest un ensemble centré en 0, et pour toutx∈D,(−x)=(x)).
+ est strictement croissante surD
Les réels
(−u) >(−v) (u) >(v)
Généralités sur les fonctions
Et commeest paire :
−3 +2 5−2v
(u) >(v)
5 La fonctionest donc bien strictement décroissante sur−∞; . 2
1 5−2v
−3 +2 > 5−2u
En multipliant par−1 :
Supposons :
Or, la fonctionxa
5−2u et
5−2v5strictement positifs (puisque sont − 2u et 5− 2vsont). Or, la fonction le
5−2v
5 Les réels 5−2u et 5−2vsont strictement positifs puisqueuetvsont éléments de−∞; . 2
u<v La fonctionxa5−2xest strictement décroissante sur (fonction affine de coefficient directeur négatif)
5 Soientuetvdes réels quelconques de−∞; tels que : 2
Prouvons le :
donc
xest strictement croissante sur+donc :
1 xaest strictement décroissante sur ]0 ; + [ donc : ∞ x 1 < 5−2u
En multipliant par−3, qui est un nombre négatif : −3 > 5−2u
5−2u>
− Bilan : on a montré que, pour tous réelsuetvdeD:u<v⇒ (u) > (v)
− La fonctionest donc bien strictement décroissante surD.
On montre, de même, que :
+ − ⇒ paire et strictement décroissante surDcroissante sur strictement D.
+ − ⇒ impaire et strictement croissante surDcroissante sur strictement D.
+ − impaire et strictement décroissante surD⇒ strictement décroissante surD.
Exemple 3 :où l'on utilise les règles de calcul algébrique
4 Étudier le sens de variation de la fonctiondéfinie surpar :(x)=x.
Soientuetvdes réels quelconques de [0 ;+∞[ tels que :u<v. 4 4 2 2 2 2 2 2 On sait, par ailleurs, que :u−v=(u−v)(u+v)=(u−v)(u+v)(u+v)
Remarque : on peut retrouver le sens de variation de la fonction 4 xaxen composant la fonction carrée avec elle même et en utilisant le théorème sur le sens de variation d'une composée.
2 2 4 4 Or, par hypothèse :u−v< 0,u+v> 0,u+v> 0. Doncu−v< 0, c'estàdire(u) <(v).
La fonctionest donc strictement croissante sur [0 ;+∞[.
4 4 En outre,est paire (car définie surqui est centré en 0, et pour toutx∈, (−x)=x), donc (cf exemple 2),
est strictement décroissante sur ]−∞; 0].
1 Exercice : étudier le sens de variation de la fonctiondéfinie par(x)=x+ pourx∈]0 ;+∞[. x 1 (On pourra montrer que :(v)−(u)=(v−u) 1− uv
et discuter suivant queuetvsont dans ]0 ; 1] ou dans [1,+∞[)
On verra, lors du chapitre sur la dérivation, une autre méthode pour étudier le sens de variation d'une fonction.
Théorème
Soientetgdeux fonctions définies au moins sur le même intervalleI. Soitλ∈.
Sietgsont croissantes (resp. décroissante) surIalors la fonction+gest croissante (resp. décroissante)
surI. Siest croissante surIetλ> 0 (resp.λ< 0) alors la fonctionλest croissante (resp. décroissante) surI.
Remarque : le théorème est valable avec des fonctions strictement monotones.
Démonstration :
Soientuetvdes éléments deItels queu<v.
Supposonsetgcroissantes surI. On a donc(u)(v) etg(u)g(v).
En additionnant membre à membre :(u) +g(u)(v)+g(v). D'où le résultat.
Enfin l'inégalité(u)(v) devientλ(u)λ(v) siλ> 0 etλ(u)λ(v) siλ< 0 d'où le résultat.
Généralités sur les fonctions
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3 Exemple : la fonctionsur définie par(x)=x+ 3x+est strictement croissante sur 2 puisque les
3 fonctionsxaxetxa3x 2 le sont. + Attention : il n'y a pas de règle aussi simple pour le produit de deux fonctions. En effet, suivant le cas, le produit de deux fonctions croissantes peut être une fonction croissante mais aussi une fonction décroissante. En 3 tions définies sur par :xa effet, considérons les foncxet g:xax. On sait que etg sont
4 croissantes sur. Or, la fonction produitgdéfinie sur est parg(x)=x(voir exemple 3 cidessus) est
croissante sur [0 ;+∞[ et décroissante sur ]−∞; 0]...
Exercice : soient etg deux fonctions positives et croissantes sur un intervalleI. Démontrer que la fonction produitgest croissante surI.
Solution : soientxetydansItels quex<y.
Commeetgsont croissantes et positives surIon a :
0(x)(y)
et 0g(x)g(y)
Multiplions [1] parg(x) (qui est une quantité positive) :
0(x)g(x)(y)g(x)
Multiplions [2] par(y) (qui est une quantité positive) :
0g(x)(y)(y)g(y)
En utilisant la transitivité des inégalités, [3] et [4] donnent : 0(x)g(x)(y)g(y)
C'estàdire :
0g(x)g(y)
Ce qui prouve que la fonctiongest croissante surI.
[1]
[2]
[3]
[4]
5. Fonctions associées du typexa(x)k,xa(x, ) xa(x) etxa(−x) + + λ −
Théorème r r SoitCla représentation graphique d'une fonctiondans un repère (O;i,j).
La courbeCg représentant la fonctiongpar définie g(x)=(x)+kl'image de est Cpar la translation de
→ vecteurk j.
La courbeChla fonction représentant h définie parh(x)=(x+λ) est l'image deCpar la translation de
→ vecteur−λi.
La courbeCkreprésentant la fonctionkdéfinie park(x)=−(x) est l'image deCpar la symétrie par rapport
à l'axe (Ox) des abscisses. La courbeClreprésentant la fonctionldéfinie parl(x)=(−x) est l'image deCpar la symétrie par rapport
à l'axe (Oy) des ordonnées.
Attention,ethn'ont pas le même ensemble de définition en général. De même pouretl.
Généralités sur les fonctions
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