Journée d’étude du groupe de mathématiques du 14 avril 2005

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----ème9 – Algèbre (p 74) ème ème9 A, B niv. F 9 B niv. N- traduire une phrase en langage algébriquex1. Exp rimer en fonction de :xGabriel a 27 ans. Q uel âge avait-il il y a ans?xL e périmètre d’un rectangle de dimensions et 10 cm.xL e prix de cahiers à 2,50 francs chacun.D ouze livres coûtent x francs. Q uel est le prix d’un livre ?xL a somme de et du produit de 2 par 15.MERM : 6,11n2. Traduire en utilisant comme entier naturel : _____un nombre impair, un nombre pair, deux nombres entiers consécutifs, le produit de deux nombres consécutifs, un multiple de 5MERM : 2Différenciation : la traduction de ces notions permet ensuite de prouver des conjectures. Pour le regroupement B, cette utilisation de l’algèbre est trop abstraite.x3. Exp rimer en fonction de le périmètre et l’aire de la partie ombrée. x 33xMERM : 3, 7 MERM : 3CM : productions de formules d’aires, p. 34. Traduire chaque écriture en français : 4. Traduire chaque écriture en français :x + 5 x + 54x 5 4x 52 2x 3 x2 xx 3( )73xx ?y7x ?y_____ MERM : 5CM : « bien s’exprimer », acte 1, p 12Différenciation : En B, on évitera de cumuler trop d’opérations dans une même expression. On peut également faciliter l’exercice en proposant de relier une série d’expressions algébriques et une série de traductions en français. C ommission « connaissances essentielles » mathématiques C O – Page 1 /13 ...

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9 ème – Algèbre (p 74)
9 ème A, B niv. F
- traduire une phrase en langage algébrique
1. Exprimer en fonction de x : Gabriel a 27 ans. Quel âge avait-il il y a x ans? Le périmètre d’un rectangle de dimensions x et 10 cm. Le prix de x cahiers à 2,50 francs chacun. Douze livres coûtent x francs. Quel est le prix d’un livre ? La somme de x et du produit de 2 par 15.
9 ème B niv. N
MERM : 6,11 2. Traduire en utilisant n comme entier naturel : _____ un nombre impair, un nombre pair, deux nombres entiers consécutifs, le produit de deux nombres consécutifs, un multiple de 5 MERM : 2 Différenciation : la traduction de ces notions permet ensuite de prouver des conjectures. Pour le regroupement B, cette utilisation de l’algèbre est trop abstraite. 3. Exprimer en fonction de x le périmètre et l’aire de la partie ombrée.  x 3
x
MERM : 3, 7 CM : productions de formules d’aires, p.3
3
MERM : 3
4. Traduire chaque écriture en français : x 5 4 x 5 x 2 x 7 x y
4. Traduire chaque écriture en français : x 5 4 x 5 x 2 3 x 3 2 3 x 7 x y MERM : 5 _____ CM : « bien s’exprimer », acte 1, p 12 Différenciation : En B, on évitera de cumuler trop d’opérations dans une même expression. On peut également faciliter l’exercice en proposant de relier une série d’expressions algébriques et une série de traductions en français. Commission « connaissances essentielles » mathématiques CO – Page 1 /13                                                                                               
9 ème – Algèbre (p 74)
 -substituer un nombre à une variable
1. L’aire d’un polygone est 3 a 2 . Calculer cette aire pour a 5 cm .
2. Soit A = 3x x x  et B = 4x . Stéphane dit : « Ces deux expressions sont égales puisque pour x=0, A et B valent toutes les deux 0, et, pour x=1, elles valent toutes les deux 4». Estelle n’est pas d’accord : « A et B ne sont pas égales ! ». Qui a raison ? Pourquoi ? 3. Répondre par vrai ou faux : Pour tout n entier naturel, n 5 se termine par 5 l’entier qui suit 4 n est 4 n 1 MERM : 21,50 CM : propriétés arithmétiques p. 7
MERM : 21
-appliquer la hiérarchie des opérations lors de substitutions numériques  1. Calculer la valeur de : 1. Calculer la valeur de : 5 2 ab  pour a 53 et b 1 a 2 2 pour a 3 3 2 x 3 2 x 5 pour x 5 2 x 3 2 x 5 pour x 3 2 x 2 3 x 2  pour  x 0 , 4  , pour x 32 x 2 3 x 2  pour x 10 3 x 2 4 2 pour x 2 3 MERM : 29,30, 31,32,
MERM : 29 1)2), 30 1)2) ; 31 1)2),32 1)2),48
Différenciation : En B, l’objectif reste atteint en choisissant des variables numériques nécessitant moins de technique opératoire. - prouver qu’une égalité est ou n’est pas une identité 1) Les égalités suivantes sont-elles 1) Les égalités suivantes sont-elles toujours vraies ? - toujours vraies ? -- parfois vraies ? (si oui préciser pour quelles - parfois vraies ? (si oui préciser pour quelles valeurs de x) valeurs de x) - jamais vraies ? - jamais vraies ? Chaque réponse doit être justifiée. Chaque réponse doit être justifiée. 2x – 3 = x x – 2 = 0  2(x – 2) + 5 = 2x + 1 2(x + 4) = x+x+8 (x – 5)(x + 2) = 0 x 2 4 x(x + 4) = 4(x – 1) x+3 = x+4 2) Les égalités suivantes sont-elles des 2) Les égalités suivantes sont-elles des Commission « connaissances essentielles » mathématiques CO – Page 2 /13                                                                                               
9 ème – Algèbre (p 74) identités ? Si non, corriger l’égalité pour identités ? Si non, corriger l’égalité pour qu’elle soit une identité. qu’elle soit une identité.      x 2 2 x 2 4  5x – x = 5 3 x 2 3 x 2       3 x 2 3 x 2 x 2 x 4 x 8        x 2 x 4 x 6  2(x+3) –(x+1)(x+3)=(1–x)(x+3) EMxE :R CM M9 2paragraphe V -1 page 11Ex : CM  paragraphe V -1 page 11 Différenciation: marquer la différence dans le choix des expressions. - vérifier qu’un nombre est solution d’une équation 1) Le nombre ½ est-il solution des équations 1) Le nombre 2 est-il solution des suivantes ? équations suivantes ?  x + 3 = 2x +1 3 4 x 2 x 2 x 1 0         x 2 5 x 6 0 (2x–1)(4x+3)x=0 3x – 1 = x + 2 2) Le nombre 5 est-il solution des équations 2) Inventer des équations dont une solution suivantes ? est le nombre 3. 2  x 5 x 2 0  2 5 0  x   3 x 4 75 0 3) Inventer des équations dont une solution est le nombre – 3 4) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous x -3 -2 -1 0 1 2 3 2 x 1 x 1 En déduire les solutions de l’équation : x 2 1 x 1 Ex : CM paragraphe IV- 1 page 9 ; MERM 93 Différenciation: pour les B on choisira des valeurs de x assez simples pour que la vérification ne soit pas trop difficile Commission « connaissances essentielles » mathématiques CO – Page 3 /13                                                                                               
9 ème – Algèbre (p 74)
2) Exponentiation ; racine 5 x 2 2 x 2 y 3 16 x 2
3) Division : 15 x 3 y 25 x 2 y 2 4) Réduction d’expressions : 3ab + 4a – (5ab + 2a)= 3 x 2 x 2 x 2 5 x 4 5) Calcul du périmètre d’un rectangle de dimensions : 3x et 4x–2. 6) Calcul de l’aire d’un rectangle de dimensions : 2x et 3x. 7) Calcul du volume d’un cube d’arête : 4x
réduire des expressions littérales (à coefficients rationnels) -1) Multiplication de monômes : 1) Multiplication de monômes : 5 x x 5 x x 4 3 2 2 5 x x x 5 a 8 a (– 2a)(5b) = 2 5 x x x 2) Exponentiation ; racine 5 x 2 3 4 a 2 b 3 16 4 x 25 6 x 3 8 3) Division : 15 x 3 y 25 x 2 y 2 4) Réduction d’expressions : – 5ab + 3a – (4ab + 5a) = 3 x 2 x 2 x 2 5 x 4 3 x x 4 2 ab 1 b 3 ab 3 b 5 4 4 5 3x – 2 – 2 (x + 1) + (4 – x) = 5) Alice veut simplifier l’expression 6 a 48 Parmi les réponses suivantes, entourer celles qui sont équivalentes à l’expression donnée. 3 a 4 3 a 4 3 a 4 3 a 4 2  ; 2  ; 2 ; 2 3 3 a 4 a 32 a 2  ; 22  ; 2 6) Calcul du volume d’un cône dont le rayon de la base est 2x et dont la hauteur est 3x. (on donne la formule du volume du cône : 2    V R 3 h ) MERM : 40- 64- 65- 72(les 3 premières lignes) MERM 63 l Différenciation: pour les 9B on choisira des coefficients de monô C m o e m s m pl i u s s s  i s o i n m « p c e o s n e n n a  i é s v s i a ta n n c t e l s e  s e  s fr s a e c n ti ti o e n ll s e . s » mathématiques CO – Page 4 /13                                                                                               
9 ème – Algèbre (p 74)
- additionner, soustraire et multiplier des polynômes 1. Calculer et réduire 1. Calculer et réduire 3 x 4 7 x 12 3 x 4 7 x 12 0 , 2 xy 5 x 2 3 x 2 0 , 7 xy 3 a 10 7 a 12 a 2 1 a 2 1 a 3 x 2 4 x 1 5 x 2 12 2 3 5 x 3 x 7 4 a 3 4 a 1212 a 2 4 a 16 3 a 4 xy 3 y 7 x 3 x 2 x 3 7 x 4 2 x 3 7 x 4 12 x 3 y 2 y 6 x 1 x 3 8 3 x 2 1 x 4 2 Merm : 36, 37,42, 43, 46 ,59 ,60 ,61 ,62, 63, 65 Merm : 36, 37, 43, 59, 60, 61, 62, 63 Différenciation :En B, on limite les coefficients numériques aux entiers relatifs afin d’éviter les cumuls de difficultés .La double distributivité reste sous une forme très simple facile à illustrer par des calculs d’aires de rectangles. 2. Quel polynôme faut-il additionner (ou 2. Quel polynôme faut-il additionner au polynôme soustraire) au polynôme 5 x 2 3 x 4 pour obtenir 5 x 2 3 x 4 pour obtenir le polynôme le polynôme 3 x 2 10 x ? 8 x 2 10 x 6 ? Merm : 41 Merm. 41 Différenciation : En B, on limite l’exercice à des additions simples. 3. Voici 3 polynômes : ______________ A 4a 8 B a 1 C a 2 a soustrais C du produit de A et de B. Différenciation : En B, cet exercice nous semble trop artificiel.
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9 ème – Algèbre (p 74)
 appliquer la hiérarchie des opérations à des expressions littérales -1. Calculer et réduire 1. Calculer et réduire 4 x 2 2 x 3 x 2 12 5 x 5 3 x 7 4 3 12 x  5 3 x 7 4 3 12 x 4 a b 3 7 4 b 2 a 4 a 2 a a 3 12 a 2 a 3 5 a 6 y 2 y 4 y 3 4 x 3 2 x 4 9 b 2 b b 3 5 3 5 a b a 3 b 12 4 4 a b 3 7 4 b 2 a 4 x 3 x 7 2 x 3 x 1 6 y 2 y 4 y 3 9 b 2 b 2 b 2 2 10 a 2 4 a 2 3 12 a 5 a 2 : a 2 Merm : 68, 69 Merm : 68, 69 Différenciation : En B, on évitera des expressions trop longues présentant un important cumul d’opérations ou des fractions.   2. Compléter par les signes opératoires et par 2. Compléter par les signes opératoires et par des parenthèses si nécessaire afin d’obtenir une des parenthèses si nécessaire pour que cette  identité : égalité soit toujours vraie : x    x      12      11      yx         y    ==    xx 22  ++    22    ++ 22y  x x 1 1 y y = x 2 + 2 + 2y x x x   Différenciation : En B, on utilise une formulation plus accessible.
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9 ème – Algèbre (p 74) 3. Exprimer par un polynôme réduit 3. Exprimer par un polynôme réduit le périmètre 1) l’aire du triangle ABE et l’aire de ce rectangle. 2) l’aire du trapèze BCDE. Vérifier que la somme de ces deux aires est égale à l’aire du rectangle ABCD. A E D
x+3
B C 2x Pour le pavé droit ci-dessous exprimer par une formule réduite la somme des aires des faces.
3
2 n 4 n + 6 Merm : 71 Merm : 71 CM : une expression pour une aire hachurée (p.3) Différenciation : En B, on évite les exercices nécessitant un cumul de compétences.
2x
4
-utiliser les identités remarquables pour développer des expressions 1. Calculer et réduire ____________________ 2 x 1 2 x 11 x 11 0 , 5 3 y 2 b 2 4 a 6 2 x 12 x 1 2 2 2 5 a b 5 a 2 b 7 7 1 , 2 3 x 4 3 x 4 1 , 2 7 x 2 y 5 x y 2 x 2 x 2 x 4 16 x 2 4 (0 1 w t ) (0 1 w t ) (0 01 w 2 t 2 ) x 3 y 2 x 3 y 2 x 3 y 2 x 3 y 2 Merm : 74, 75 Commission « connaissances essentielles » mathématiques CO – Page 7 /13                                                                                               
9 ème – Algèbre (p 74) Différenciation : En B, on renonce à la technique des identités remarquables. 2. L égalité suivante est-elle vraie ou fausse? 2. _________________ a b 2 a b 2 4 ab 3. ABCD s carrés. Exp _________________ et EFGH sont de rimer 3. par une formule développée et réduite l’aire de la surface ombrée.
4. Exprimer par des formules réduites l’aire et le périmètre de cette couronne.   
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9 ème – Algèbre (p 74) -factoriser des expressions littérales -au moyen de mises en évidence -au moyen d’identités remarquables 1. Pour chaque expression, indiquer s’il s’agit d’une somme ou un produit. xy : __ x 2 __________ x y x : __________ x 4 y 3 : ______________ 4 x y 3 : ____________ ______________ a 2 2 ab b 2 : 2 _______________ a b :
Merm : 79 2. Factoriser au maximum 3 x 2 3 x 42 y 3 12 x 2 8 x 3 yz 2 16 x 2 y 2 z 36 a 5 b 48 a 4 b 2 12 a 3 b 9 x 2 12 xy 4 y 2 x 2 1 5 x 2 20 2 x 2 18 3 x 2 6 x 3 2 1 x x 4 3 x 2 6 x 3 ax 2 8 ax 16 a 16 x 4 Merm : 76, 77, 78, 80 Différenciation : En B, on se limite à la mise en évidence. 2. Montrer que pour tout n entier naturel,   5 n 15  est un multiple de 5   2 n 1 2 est un nombre impair CM : propriétés arithmétiques, p.7
2. Compléter afin que les égalités soient vraies : 5x + 15 = 5 (__+__) ____ 2 a 1 2 a 2 a ____ 4 x x 4 x 2 8 x 3 x 2 2 x _____________ 24 y 3 12 x 2 _______ _____ 3 2 2 8 x y 16 x y ____________
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9 ème – Algèbre (p 74)
-transformer des formules (aires, volumes, formules de physique) 1) Connaissant la formule de l’aire du 1) Connaissant la formule de l’aire du trapèze : ABbh trapèze : AB 2 b h 2 - On demande de trouver une formule - Si on donne exprimant la hauteur en fonction de A = 200 cm 2 , h = 15cm et b = 4cm l’aire et des deux bases. Calculer la grande base de ce trapèze. - On demande d’exprimer la grande base - Si on donne en fonction de l’aire, de la petite base et A = 200 cm 2 , b = 4cm et B = 6cm de la hauteur.  a èze. Applications numériques : Calculer la hauteur de ce tr p 2 - Si A = 200 cm , h = 15cm et b = 4cm  Calculer la grande base de ce trapèze. - Si A 200 cm 2 , b = 4cm et B = 6cm = Calculer la hauteur de ce trapèze. 2) Connaissant la formule du volume de la 2) Connaissant la formule du volume de la sphère : V 34 R 3 . sphère : V 43 R 3 .-r aSyi oonn  ddeo cnentet e Vs p= h1è2r0e 0a0u  c m m 3 m  cparlècsu.ler le - Exprimer le rayon en fonction du volume. - Si on donne V = 12000 cm 3 calculer le rayon de cette sphère au mm près. 3) On sait que la vitesse est égale au 3) On sait que la vitesse est égale au quotient de la distance par le temps quotient de la distance par le temps - Exprimer le temps en fonction de la La vitesse de la lumière est de 300 000 km/s : distance et de la vitesse Quelle distance parcourt la lumière en - Exprimer la distance en fonction de la 1heure ? vitesse et du temps Quel temps lui faut-il pour parcourir la distance - Applications numériques : terre-lune ? La vitesse de la lumière est de 300 000 km/s : Quelle distance parcourt-elle en 1heure ? Quel temps lui faut-il pour parcourir la distance terre-lune ? MERM 124 MERM 124 Différenciation: pour les 9B on transformera des formules, qui se ramènent finalement à une équation a une inconnue.
-traduire des problèmes en équation  Mettre chaque problème en équation c'est-à- Mettre chaque problème en équation c'est-à-dire pour chacun : dire pour chacun : - désigne une inconnue - désigne une inconnue - pose l’équation traduisant le problème - pose l’équation traduisant le problème - résous l’équation - résous l’équation - donne la réponse - donne la réponse
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9 ème – Algèbre (p 74) 1) Bastien achète un blouson à 99F, et 1) la longueur d’un rectangle est le double comme il lui reste de l’argent, il achète de sa largeur. Quelle est la largeur si le deux T-Shirts. Il dépense en tout 127F. périmètre du rectangle est de 27cm. Combien coûte chaque T-Shirt ? 2) La somme de deux nombres entiers est 24 2) Au cours d’un jeu : Sachant qu’un des deux nombres si on gagne on reçoit 10F, si on perd on dépasse l’autre de 6, trouver ces deux donne 4F. nombres. J’ai joué à ce jeu 25 fois, et j’ai perdu 2F en tout. Combien de fois ai-je 3) Partager 8400F entre deux personnes gagné ? de telle manière que la part de la première soit le quart de la part de la 3) Partager 1500F entre trois personnes deuxième. de telle manière que la deuxième ait 150F de plus que la première et que la troisième ait 30F de plus que la deuxième.
Ex : CM pages 4-5-6 Ex : CM pages 4-5-6  MERM 88-89-105-137-139 MERM 88-89-103-135-130-140 Différenciation: pour les 9B on choisit des problèmes qui amènent à des équations simples. - résoudre des équations du 1er degré à une inconnue à coefficients rationnels (ou se ramenant à des équations du 1 er degré). 1) Donner l’ensemble de solutions de chaque 1) Donner l’ensemble de solutions de chaque équation : équation : 6a + 7 = 2(3a + 4) – 1. 3x – 4 = 12 11x – 4 (x – 5) = 15x + 3 5a + 6 = 2a – 2 4t – 7 = (8t + 12) : 2 6a + 7 = 2(3a + 4) – 1.   x x x 1 14t1 x  7  4=  ((x8 t  +5 )1 2=)  1: 52x + 3 # 1 # 2 3 6 x 2 % 9 1 0 x x 2 2 4 4 y % 3 3 y % 4 1 2 3 4 2 6 4 x x x x x % 1 x # 5 1 x % 3 x # 7 2) Résoudre les équations : x(x+2)(2x-5) = 0 2 x 2 % 10 x 1 0 x 2 % 6 x # 9 1 0
MERM 100-101-163-165 MERM 98-101-102 Différenciation: En B les équations envisagées sont simples et du 1 er degré.
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