L2 MSCS12B, Cours sans exercices 2008-2009

Ouardani

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Extrait

LICENCE DE SOCIOLOGIE
Sciences sociales



L2, MSCS 12B
Les probabilités & TD



Mohamed Ouardani
([e-mail])



Année Universitaire 2008/2009 TABLE DE MATIÈRES

Introduction ...................................................................................................................................................5
Les ensembles et Opération de complémentarité.........................................................................................9
Le dénombrement.......................................................................................................................................11
Arrangement ...............................................................................................................................................12
Combinaison...............................................................................................................................................14
La probabilité ..............................................................................................................................................16
Probabilités conditionnelles ........................................................................................................................20
Condition d’Événement indépendant ..........................................................................................................23
Les variables aléatoires ..............................................................................................................................26
Espérance mathématique...........................................................................................................................27
La variance .................................................................................................................................................31
Loi Bernoulli ................................................................................................................................................34
Loi binomiale...............................................................................................................................................35 Références bibliographiques
BLOSS(Thierry)etGROSSETTI(Michel),Introduction
aux
méthodes
statistiques
en
Sociologie,Paris,
éditionsPUF,Collection“Lesociologue”,1999,224pages.
CIBOIS(Philippe),L’analyse
des
données
en
sociologie,Paris,éditionsPUF,1990,221pages.
DROESBEKE(Jean/Jacques), Éléments
de
statistique, Bruxelles, éditions Ellipses, 1997,
550pages.
LEBBART(Ludovic), MORINEAU(Alain), PIRON(Marie), Statistique
exploratoire

multidimensionnelle,Paris,éditionsDunod,2000.
LIPSCHTZ(Seymour), Probabilité. Cours et problèmes, Paris, éditions McGraw/Hill, série
Schaum,1993,153pages.
PY(Bernard),Statistiquesdescriptives,éditionsEconomica,1996,353pages.
SAPORTA(Gilbert),Probabilité,
analyse
des
données
et
statistique,Paris,éditionsTechnip,2006,
622pages.
SPIEGEL(MurrayR.),Probabilité
et
statistique.
Cours
et
problèmes,Paris,éditionsMcGraw/Hill,
sérieSchaum,1981,385pages.
VOLLE(Michel),Analyse
des
données,éditionsEconomica,1997,323pages.
WONNACOTT(ThomasH.),WONNACOTT(RonaldJ.),Statistique,éditionsEconimica,1991,
919pages.INTRODUCTION
Qu’est-ce qu’une probabilité ?
Danstouteexpériencealéatoireilyasouventuneincertitudequantàlaréalisationounon
d’unévénementparticulier.Ilestalorscommoded’affecterunnombrecomprisentre0et1
(ou0et100%)àlachanceouàlaprobabilitéselonlaquellenousestimonslaréalisationde
cetévénement.
Si nous sommes sûrs ou certains que cet événement sera réalisé, nous dirons que sa
probabilité est de 1 ou 100% (en tirant au sort un individu parmi vous, quelle est la
probabilité qu’il soit un étudiant?). Mais si nous sommes sûrs qu’il ne pourra pas se
réaliser,nousdironsalorsquesaprobabilitéestzéro(entirantausortunindividuparmi
vous, quelle est la probabilité qu’il soit un étudiant en deuxième année de master de
sociologie?).Si,parexemple,laprobabilitéestde¼,nousdironsqu’ilya25%dechances
quel’événementsoitréaliséet75%dechancespourqu’ilnelesoitpas.
Qu’est-ce qu’une expérience ?
Une expérience est toute action ou processus qui engendre des résultats ou des
observations(lancédedé;tiraged’unecarte…).Uneexpérienceestqualifiéed’aléatoiresi
l’onnepeutprévoirparavancesonrésultatetsi,répétéedansdesconditionsidentiques,
ellepeutdonnerlieuàdesrésultatsdifférents.
L’ensembledetouslesrésultatspossiblesd’uneexpérienceestappeléensemble
fondamentalou
encoreunivers
des
possibles.EtnotéM(oméga).
Etonreprésenteunrésultatdecetteexpériencecommeunélémentωdel’ensembleMde
touslesrésultatspossibles.
M={ω ,ω ,ω ,…,ω }ànéléments.1 2 3 n
Ainsiàl’expériencealéatoire,quiconsisteàlancerundé,onpeutassocierl’ensemble:
M={1,2,3,4,5,6}à6éléments.
Il convient de noter ici que l’ensemble M ne se déduit pas de manière unique de
l’expériencemaisdépenddel’usagequidoitêtrefaitdesrésultats.Onpeutconvenirdene
retenirdel’expériencedulancerdudéquelesfacespairesouimpairesdudé,etonpeut
trèsbiensecontenterd’unensemble:
M’={paire,impaire}à2éléments
Notons que certains auteurs qualifient aussi d’épreuve une expérience aléatoire ou sa
réalisation.
Exemple:préleverunecarted’unpaquetde52cartes:
• lacouleurdelacarte: M={paire,impaire}
• lasériedelacarte: M’={cœur,carreau,trèfle,pique}
• lavaleurdelacarte: M’’={2,3,4,5,6,7,8,9,10,valet,dame,roi,as}
• l’ensemble
des52cartesdupaquet.8 Introduction

Qu’est-ce qu’un ensemble fondamental ?
Retenez donc qui si nous supposons pouvoir décrire l’ensemble de tous les résultats
possiblesd’uneexpériencealéatoire.NousnoteronscetensembleMetnousl’appellerons
ensemble
fondamentalouespace
échantillon.
Qu’est-ce qu’un événement ?
Unévénementestuneassertion(proposition
–
pouvant
être
positive
ou
négative
–
que
l’on
avance
et

que
l’on
soutient
comme
vraie) ou proposition logique relative au résultat de l’expérience
(exemple
:lancerundé:l’événementàdécrirepeutêtre“lenombredepointsestsupérieure
ouégaleà4”).Ondiraqu’unévénementestréaliséounonsuivantquelapropositionest
vraieoufausseunefoisl’expérienceaccomplie.
Donc,vouscomprenezbienquec’estl’expérimentateurlui/mêmequivadéciderdeceque
seralenomdurésultatenfonctiondespréoccupationsquiluisontpropres.
À la réalisation d’un événement on peut donc associer tous les résultats de l’épreuve
correspondante;ainsi“lenombredepointsestsupérieureouégaleà4”estl’ensemblede
résultatssuivants:
{4,5,6},c’est/à/direunepartiedeM.

Soit l’expérience lancée de deux dés. Et soit l’événement “la somme des points est
supérieure ou égale à 10”. Ainsi la somme supérieure ou égale à 10 est l’ensemble des
résultatssuivants:
{(4,6);(5,6);(6,6);(6,5);(6,4)},c’est/à/direunepartiedeM.

DésormaisnousidentifieronsunévénementàlapartiedeMpourlaquellecetévénement
estréalisé.
Onappelleévénement
élémentaireunepartie(ω)deMréduiteàunseulélément.
Estimation d’un événement
D’une manière générale, il y a deux manières différentes d’estimer la probabilité d’un
événement:
• Méthode dite classique ou approche a
priori: Si un événement se produit de h
manières différentes sur un nombre total de n manières possibles, toutes
équiprobables,laprobabilitédel’événementestalorsh/n.
• Méthode des fréquences ou fréquentielle ou approche a
posteriori: Si après avoir
répétéuneexpériencenfois(ngrand)nousconstatonsqu’unévénementseréaliseh
fois,laprobabilitédecetévénementesth/n.Cerésultatestaussiappeléprobabilité

empiriquedel’événementenquestion.
f
f
˛
A
A
f
LES ENSEMBLES ET OPÉRATION DE
COMPLÉMENTARITÉ
a A l’élémentaappartientàl’ensembleA
A ? B l’ensembleAestinclusdansélémentB
A U B estl’ensembledesélémentsappartenantàaumoinsundesdeuxensembles
A ∩ B estl’ensembledesélémentscommunsàAetàB
Propriétés
A∩A= A
AUA= A
A∩ =
AU = A
(A∩B)∩C =A∩(B∩C)=A∩B∩C distributivité