Math cours 1

Description

n1 Comment mesurer la longueur d’une courbe dans R ?1Une manière très intuitive est d’approximer cette courbe par une succession de lignes.Prenons quelques exemples :Dans De ~u à ~v Longueurp2 2 2R (u ,u )→ (v ,v ) uv¯ = (v −u ) +(v −u )1 2 1 2 1 1 2 2p3 2 2 2R (u ,u ,u )→ (v ,v ,v ) uv¯ = (v −u ) +(v −u ) +(v −u )1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3pPnn 2R (u ,u ,...,u )→ (v ,v ,...,v ) uv¯ = (v −u )1 2 n 1 2 n i ii=1Néanmoins, un problème se pose : Comment trouver les coordonnées de ~u et ~v?n2 Représentation paramétrique d’un arc de courbe dans R2.1 Définitionsnγ : [a,b] → RCAD un arc de courbe est défini par un paramètre sur un intervalleExemple : γ(t) = (cost,sint)D : a = a < a < a < ... < a = b0 1 2 nD est le découpage et le Pas de D est le max|a −a |i i−1PnLa longueur est calculée avec la formule : k γ(a )−γ(a )ki i−1 2i=12.2 Définition de la longueurLa longueur de γ est une quantité I ∈ R telle que∀ > 0, ∃δ > 0 tq pas de D≤ δ ⇒ |I−D|≤ 3 La MasseSoit une fonction f qui décrit la densité de l’arc de courbe en un pointnf : R → RnXM = k γ(a )−γ(a )k f(γ(t ))D i i−1 2 ii=13.1 DéfinitionL’intégrale de f le long de γ est une quantité I ∈ R tq∀ > 0, ∃δ > 0 tq pas de D≤ δ ⇒ |I−M |≤ DAttention : t ∈]a ,a [i i−1 iRI sera noté fγ1la dénomination exacte n’est pas courbe mais arc de courbe13.2 Comment calculervu nXut 2k γ(a )−γ(a )k = (γ(a )−γ(a )) (1)i i−1 2 i i−1i=1vu nXu2t 2= γ (t )(a −a ) (2)ij i i−1ji=1vu nuXt 2= (a −a ) γ (t ) (3)i i−1 ...

Informations

• Publié par: Seah
• Nombre de lectures: 23
• Langue: Français

Extrait

n 1 Commentmesurer la longueur d’une courbe dansR? 1 Une maniÈre trÈs intuitive est d’approximer cette courbepar une succession de lignes.

Prenons quelques exemples : Dans De~uÀ~vLongueur p 2 2 2 R(u 1 , u 2 )→(v 1 , v 2 )u¯v= (v 1 −u 1 ) +(v 2 −u 2 ) p 3 2 2 2 R(u 1 , u 2 , u 3 )→(v 1 , v 2 , v 3 )u¯v= (v 1 −u 1 () +v 2 −u 2 () +v 3 −u 3 ) pP n n 2 R(u 1 , u 2 , . . . , u n )→(v 1 , v 2 , . . . , v n )u¯v= (v i −u i ) i=1 NÉanmoins, un problÈme se pose :Comment trouver les coordonnÉes de~uet~v?

n 2 ReprÉsentationparamÉtrique d’un arc de courbe dansR 2.1 DÉfinitions n γ: [a, b]→R CADun arc de courbe est dÉfini par un paramÈtre sur un intervalle Exemple :γ(t) = (cost, sint)

D:a=a 0 < a 1 < a 2 . .< .< a n =b Dest ledÉcoupageet lePas deDest lemax|a i −a i−1 | P n La longueur est calculÉe avec la formule :kγ(a i )−γ(a i−1 )k 2 i=1

2.2 DÉfinitionde la longueur La longueur deγest une quantitÉI∈Rtelle que

∀ >0,∃δ >0tqpas deD≤δ⇒ |I−D| ≤

3 LaMasse Soit une fonctionfqui dÉcrit la densitÉ de l’arc de courbe en un point n f:R→R

n X M D =kγ(a i )−γ(a i−1 )k 2 f(γ(t i )) i=1

3.1 DÉfinition L’intÉgrale defle long deγest une quantitÉI∈Rtq

∀ >0,∃δ >0tqpas deD≤δ⇒ |I−M D | ≤

Attention :t i ∈]a i−1 , a i [ R Isera notÉf γ 1 la dÉnomination exacte n’est pascourbemaisarc de courbe

1

3.2 Commentcalculer

v n u X t 2 kγ(a i )−γ(a i−1 )k 2 = (γ(a i )−γ(a i−1 )) i=1 v n u X t 2 2 =γ(t ij )(a i −a i−1 ) j i=1 v n u X 2 t γ = (a i −a i−1 ) j (t ij ) i=1

Le passage de l’Étape 1 À l’Étape 2 se fait selon lethÉorÈme des accroissements finis: 0 γ(a)−γ( ( j ij a i−1 ) =γ j t ij )(a i −a i−1 ) Ce thÉorÈme est utilisable uniquement si : 1.γ j est dÉrivable 2.t ij ∈]a i−1 , a i [

Tout cela implique que : v m n X X u   t 2 M D =γ j (t ij )a i −a i−1 f γ(t i i=1j=1 1 Sit ij est presque Égal Àt i alors la fonction est continue. Soitγde classeC: v m n X X u    t 2 γ a−a fγ(t M D = j (t i ) i i−1i i=1j=1

(1)

(2)

(3)

(4)

n X S D =g(t i )(a i −a i−1 )oÙt∈]a i−1 , a i [ i=1 C’est unesomme de Riemann, ce qui peut amener À uneforme intÉgralessigest continue. Dans ce cas-ci, 1 ce sera vrai sifest continue vu queγest de classeCpar hypothÈse.

Tout cela nous amÈne au thÉorÈme qui suit.. .

3.2.1 ThÉorÈme 1 Sifest de continue etγde classeC, alors v Z Z n b X u t 0 2 fexiste et vautf(γ(t)) (γ(t))dt j γ a j=1 | {z } 02 kγ(t)k Attention, ceci n’est pas une dÉfinition!

2

3.2.2 Preuve R b 0 On doit prouver quef(γ(t))kγ(t)k 2 dtest unIqui convient. a Fixons >0→Trouverδ >0detq pasD < δ⇒ |I−M D | ≤ ∃δ 1 >0pas deD≤δ 1 ,alors Z b  0  f(γ(t))kγ(t)k 2 dt−S D  ≤ 2 a  On doit trouverδ 2 >0tel que lepas de D≤δ 2 ⇒ |M D −S D | ≤ 2 Regardons ce que valentM D etS D . . . v  m n s X XX u 0 0 t  (t)f(γ(t)) (a−a) M D −S D =γ j ( i t j )−nγ j ii ii−1 i=1j=1j=1 | {z } intuitivement, on sait que c’est petit

v n X u n 0 t 2 ) =(γ h: [a, b]→R h(u 1 , u 2 , . . . , u n j (u j )) j=1

2 ⇒ ∀η >0,∃δ 2 >0⇒ ku−vk ∞ < δ 2 ⇒ |h(u)−h(v)| ≤η

  n X M D −S D =h(t i,1 , t i,2 , . . . , t i,n )−h(t i , . . . , t i )|t i −t i,j | i=1 Si lepas de D≤δ 2 , on a|t i −t i,j | ≤δ 2 ⇒  h(t i,1 , t i,2 , . . . , t i,n )−h(t i , . . . , t i )  ≤η n X ⇒  M D −S D | ≤  h(t i,1 , t i,2 , . . . , t i,n )−h(t i , . . . , t i )   f(γ(t i ))  (a i −a i−1 )≤η i=1 Attention,fcontinue car : 1. dÉpenddeγ 2. onconsidÈrefsur un intervalle fermÉ

n X  ⇒  M D −S D | ≤η M(a i −a i−1 ) =ηM(b−a) = 2 i=1  ⇒η= 2M(b−a) 2 Ce qui est la dÉfinition de la continuitÉ

3

3.2.3 Exemple γ: [0,1]→R t1 γ(t) = (cost,exp )→de classeC f(x, y) =x+y Z Z 1 0 f=f(γ(t))kγ(t)k 2 dt γ0 Z 1 t t = (cost+ exp)k(−sint,exp )k 2 dt | {z } 0 √ 2 2t sin(t)+exp =. . .

n 4 Calculerla masse d’une surface dansR Soit la surfaceσ. n σ: [a, b]×[c, d]→R n f:R→R

R 4.1 DÉfinitiondef σ On approxime la surface par un parallÉllogramme en n’utilisant pas le point(a i , c j ).

M σ =Aire du parallÉllogrammef(σ(t ij ))

4.1.1 Commentcalculer l’aire du parallÉllogramme? Cette aire est construite suivant les vecteurs : (σ(a i , c j−1 )−(σ(a i−1 , c j−1 )) (σ(a i−1 , c j )−(σ(a i−1 , c j−1 ))

Aire=k¯uk k¯vksinφ 2 22 2 Aire=ku¯k kv¯k(1−cos φ) 2 22 22 =k¯uk k¯vk −k¯uk k¯vkcos φ | {z } 2 (u¯|¯v) 2 = (¯u|¯u)(¯v|v¯)−(u¯|v¯) =dt(M atA)   (¯u|u¯) (u¯|v¯) M atA=. (u¯|¯v) (¯v|v¯)

r k X X M σ =f(σ(t ij ))dt(M atrix) i=1j=1

4

(5)

(6)

(7)

(8) (9) (10)

(11) (12)

  (σ(a i−1 , c j )−σ(a i−1 , c j−1 )|σ(a i−1 , c j )−σ(a i−1 , c j−1 )). . . M atrix=. (σ(a i−1 , c j )−σ(a i−1 , c j−1 )|(σ(a i , c j−1 )−σ(a i−1 , c j−1 )). . .

(σ(a i−1 , c j )−σ(a i−1 , c j−1 )|(σ(a i , c j−1 )−σ(a i−1 , c j−1 )) =

n X = (σ l (a i−1 , c j )−σ l (a i−1 , c j−1 )) (σ l (a i , c j−1 )−σ l (a i−1 , c j−1 )) | {z }| {z } l=1 dσ dσ 3 l 4 l (a i−1 ,...)(c j ,c j−1 ) (... ,c j−1 )(a i ,c i−1 ) dv du 1 Si lepas de Dest petit et que les fonctionsσsont de classeC, les valeurs des dÉrivÉes partielles sont presque les mmes dans le carrÉ de l’intervalle quelque soit le point choisi. dσ l dσ l ∼ = (t ij ) (c j −c j−1 ) (t ij ) (a i −a i−1 ) dv | {z } du | {z } 1 2 →du DÉterminant, on va voir apparatre1et2au carrÉ p ∼ ⇒M D = Somme de Riemann def(σ(u, v))Det(M atDerivP art)

 dσ dσ (|) dv dv M atDerivP art= dσ dσ (|) dv du

 dσ dσ (|) dv du . dσ dσ (|) du du

4.1.2 ThÉorÈme 1 Sifest continue etσde classeCalors : Z ZZ Z b d f∃etf=f(σ(u, v))A σ (u, v)dudv σ σa c

4.2 Exemple:

 dσ dσ   2 (|) dv dv A σ (u, v) =Dt dσ dσ (|) dv du

 dσ dσ (|) dv du . dσ dσ (|) du du

2 f(x, y, z) =x y+z 2 σ(u, v) = (u+v, u−v ,uv) Z dσ dσ f(1=? =,1, v) =(1,−2v, u) du dv σ   2   2 2 +v1−2v+uv A σ (u, v) =Dt 2 2 . 1−2v+uv1 + 4v+u

5