M´ethodes de splitting pour les probl`emes multi-´echellesB. Bid´egaray-FesquetCours de M2R — 2006–20071 Introduction«Splitting» : un terme anglo-saxon, quelle horreur! Oui, mais je vais l’utiliser tout de mˆeme.En franc¸ais, ce terme pourraˆıt ˆetre traduit par fission, fragmentation, division, fractionnement,s´eparation, d´ecomposition. Aucun de ces termes n’est vraiment satisfaisant.On demande souvent de traduire par «pas fractionnaires», ce qui de mon point de vue constitueun contresens, car les pas de temps sont souvent entiers, c’est l’op´erateur qui est fractionn´e.Onutiliseparfois«directionsaltern´ees»,cequiestuneapplicationparticuli`eredontnousparlerons,mais qui est loin de repr´esenter l’ensemble des applications de cette m´ethode.1.1 Une ´equation scalaire sans ´echellesConsid´erons l’´equation diff´erentielle ordinaire (EDO) scalaire suivante :0(EDO) x˙ = (a+b)x, x(0) =x ,ou` a et b sont des scalaires. On connaˆıt la solution exacte de cette ´equation :0 0x(t) = exp((a+b)t)x = exp(at)exp(bt)x (m´ethode 1)0= exp(bt)exp(at)x (m´ethode 2).Nous pouvons ainsi s´eparer l’´evolution selon l’´equation (EDO) en deux temps : 0 0 y˙ =by, y(0) =x , y˙ =ay, y(0) =x , (L1) (L2) x˙ =ax, x(0) =y(t), x˙ =bx, x(0) =y(t).Pour le syst`eme (L1), on a clairement0x(t) = exp(at)x(0) = exp(at)y(t) = exp(at)exp(bt)y(0) = exp(at)exp(bt)x .Le calcul pour (L2) se fait de la mˆeme mani`ere et donne le mˆeme r´esultat. On appelle splitting deLie les deux ...